- •М.Д. Бабич, с.І. Куприков
- •1. Невизначений інтеграл
- •1.1. Первісна функція. Невизначений інтеграл.
- •1.2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •1.3. Таблиця основних невизначених інтегралів
- •Покажемо на прикладах, що наведені табличні інтеграли будуть вірні, коли - незалежній змінній і коли- диференційовній функції відx.
- •1.4. Основні методи інтегрування
- •1.5. Інтегрування раціональних дробів
- •1.6. Інтегрування простих ірраціональностей
- •1.7. Інтегрування тригонометричних функцій
- •1.8. Інтегрування деяких трансцендентних функцій
- •2. Визначений інтеграл
- •2.1. Визначений інтеграл як границя інтегральної суми
- •2.2. Обчислення визначеного інтеграла. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •2.3. Основні властивості визначеного інтеграла.
- •2.4. Методи обчислення визначених інтегралів
- •2.5. Застосування визначеного інтеграла
- •3. Функції двох змінних
- •3.1. Поняття функції двох змінних та їх геометричне зображення
- •3.2. Локальні екстремуми функції двох змінних
- •Дослідимо цю функцію всередині трикутника
- •4. Диференціальні рівняння
- •4.1. Основні поняття. Задача Коші.
- •4.2. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними
- •4.3. Лінійні диференціальні рівняння. Однорідні диференціальні рівняння
- •4.4. Диференціальні рівняння другого порядку
- •Диференціальні рівняння другого порядку, що допускають пониження порядку
- •4.5. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.
- •4.6. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами
- •4.7. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами
- •5. Числові та функціональні ряди
- •5.1. Числові ряди. Ознаки збіжності
- •5.2. Знакозмінні ряди
- •5.3. Функціональні ряди
- •5.4. Степеневі ряди. Радіус збіжності
- •5.5. Ряди Тейлора і Маклорена
- •Контрольна робота № 2
- •Рекомендована література
1.7. Інтегрування тригонометричних функцій
Важливе значення у прикладних питаннях деяких природничих наук мають інтеграли.
(1.16) |
де m і n цілі невід’ємні числа.
Тут можливі такі випадки:
а) хоча б один із показників m або n непарне число. В цьому випадку інтеграл (1.16) знаходиться підстановкою , якщоn-непарне, і підстановкою , якщоm-непарне. Якщо ж m і n обидва непарні, то можна брати будь-яку з цих підстановок.
Приклад. Знайти інтеграл.
=.
б) обидва показники m і n парні числа. В цьому випадку інтеграл (1.16) береться за допомогою тригонометричних тотожностей пониження степеня, а саме, формул подвійного аргументу:
, ,
Приклад. Знайти інтеграл.
.
В теорії рядів Фур’є важливу роль відіграють інтеграли виду:
(1.17) |
Всі ці інтеграли обчислюються на основі наступних тригонометричних формул:
,
.
Приклад. Знайти інтеграл.
.
1.8. Інтегрування деяких трансцендентних функцій
Вище ми розглядали інтеграли від раціональних функцій , де зміннібули раціональні та ірраціональні вирази або функції. Важливим є клас інтегралів від раціональних функцій, змінними в яких є деякі трансцендентні функції. Розглянемо такі інтеграли.
1. . Цей інтеграл раціоналізується до алгебраїчного виду підстановкою. Звідси. Таким чином.
Приклад. Знайти інтеграл.
.
2. Інтеграл - зводиться до раціонального алгебраїчного виду підстановкою. Звідси,,. В результаті одержується.
Приклад. Знайти інтеграл.
=.
Зауваження. Підстановка дає можливість звести до раціонального алгебраїчного виду інтеграл (1.16) у тому випадку, коли хоча б один, або обидва показникиm і n від’ємні.
Приклад. Знайти інтеграл.
.
Інтеграл виду зводиться до раціонального алгебраїчного виду універсальною підстановкою. Звідси,,,.
Отже .
Назва універсальна підстановка говорить про те, що вона може бути застосована при знаходженні інтеграла від будь-яких співвідношень тригонометричних функцій і. Однако, найбільш ефективною вона є в тих випадках, коли функціїімають перші степені і представлені у вигляді суми чи різниці. Застосування цієї підстановки до випадків, колиімають парні степені приводить до раціональних дробів з високими степенями. Тому, в таких випадках краще застосовувати підстановку, або якусь іншу.
Приклад. Знайти інтеграл.
.
4. Інтеграл виду підстановкоюзводиться до одного із таких інтегралів:
а) ; б); в)які в свою чергу, підстановками відповідно,,зводиться до інтегралів виду.
Приклад. Знайти інтеграл.
2. Визначений інтеграл
2.1. Визначений інтеграл як границя інтегральної суми
Нехай функція неперервна на відрізкупричомуі. Фігура , що обмежена кривою, віссю ОХ та ординатаминазивається криволінійною трапецією.
Нехай S-площа (рис 1). Розіб’ємо відрізокнап- довільних частин точками і в точкахпроведемо ординати до перетину із кривою. Тоді криволінійна трапеція розіб’ється нап полосок, кожну з яких можна вважати за прямокутник з основою . У кожному із проміжківвізьмемо точку, а значенняприймемо за висоту відповідного прямокутника. Тоді площа такого прямокутника буде рівна, а площа ступінчатої фігури, що складається ізтаких прямокутників, буде
, або
(2.1) |
де - означає знак сумування.
Сума із (2.1) називається інтегральною сумою для функції. Очевидно, що приівсі прямокутникиграниці будуть прямувати до ординат функції, а сума- площі. Отже, має місце твердження.
Якщо при ііснує скінченна границя інтегральної суми(2.1), яка не залежить від розбиття відрізка та вибору точок, тоця границя називається визначеним інтегралом функції на відрізку , тобто
.
Але, оскільки , то звідси випливаєгеометричний зміст визначеного інтеграла, а саме: визначений інтеграл від невід‘ємної функції на відрізку дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції (в даному випадку), тобто
(2.2) |