3. Функції двох змінних

3.1. Поняття функції двох змінних та їх геометричне зображення

Означення. Змінна величина z називається однозначною функцією змінних x і y , якщо кожній парі значень x і y із області їх допустимої зміни за певним правилом або законом ставиться у відповідність одне значення величини z. Функціональна залежність z від x і y записується у виді :

(3.1)

Множина допустимих значень змінних x і y називається областю визначення функції z або областю допустимих значень (ОДЗ) аргументу.

Наприклад, функція є многочлен цілий відносноx і y. Це означає, що ОДЗ є вся площина ХоУ; - це є функція, область допустимих значень якої визначає круг.

Пара значень x і y визначає на площині ХоУ точку а- визначає аплікату відповідної точки. Множина точок, що відповідає множині точокгеометрично визначає деяку поверхню. Тому кажуть, щоz є функція точки і пишуть.

Границя функції. Число А називається границею функції абопри, якщо різниця-А або-А є нескінченно мала приабопри будь-якому способі прямування точки Р до точки. Позначається це так:

або .

Неперервність функції. Функція називається неперервною в точці, якщо

або

Функція називається неперервною в деякій області, якщо вона неперервна в будь-якій точці цієї області.

Неперервна в замкненій області функція досягає на ній своє найбільше і найменше значення.

Частинні похідні 1-го порядку. Нехай у функції зміннау зберігає постійне значення, а змінюється тільки х . Тоді функцію можна розглядати як функцію одногох і ставити питання про її приріст і похідну. Позначимо через прирістz, який вона набуде за умови, що у – стала, а х набуде приросту , тобто

.

Похідну отримаємо, якщо знайдемо відношення та його границю, при, тобто

;

Ця похідна, яка отримана за умови, що y залишається сталою, називається частинною похідною від z по х і позначається так:

або або.

Аналогічно визначається частинна похідна функції z по у за умови, що в цьому випадку змінна х залишається сталою, тобто

або або.

Правила знаходження частинних похідних такі самі, як і для похідних від функції одної змінної з таким зауваженням: коли шукається , тоу вважається сталою величиною, а коли шукається , тох вважається сталою величиною.

Приклад. Знайти і, якщо

.

Повний диференціал 1-го порядку. Якщо функція має у точцінеперервні частинні похідні, то її повний приріст записується у вигляді

,

(3.2)

де при. Виразпредставляє головну частину повного приросту функції. Він називається повним диференціалом функції і позначається. Отже,

(3.3)

Якщо покласти у (3.3) послідовно z=x, а потім z=y , то одержимо:

і і формула (3.3) набуде вигляду

(3.4)

Із (3.2) випливає, що при достатньо малих іповний приріст функціїz наближено дорівнює її повному диференціалу, тобто . Цей факт широко використовується при наближених обчисленнях, оскільки диференціал функції обчислюється простіше, ніж її повний приріст.

Приклад. Знайти значення повного диференціала функції при. Скористаємось формулою (3.4). Для цього знаходимо:; тоді=

.