- •М.Д. Бабич, с.І. Куприков
- •1. Невизначений інтеграл
- •1.1. Первісна функція. Невизначений інтеграл.
- •1.2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •1.3. Таблиця основних невизначених інтегралів
- •Покажемо на прикладах, що наведені табличні інтеграли будуть вірні, коли - незалежній змінній і коли- диференційовній функції відx.
- •1.4. Основні методи інтегрування
- •1.5. Інтегрування раціональних дробів
- •1.6. Інтегрування простих ірраціональностей
- •1.7. Інтегрування тригонометричних функцій
- •1.8. Інтегрування деяких трансцендентних функцій
- •2. Визначений інтеграл
- •2.1. Визначений інтеграл як границя інтегральної суми
- •2.2. Обчислення визначеного інтеграла. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •2.3. Основні властивості визначеного інтеграла.
- •2.4. Методи обчислення визначених інтегралів
- •2.5. Застосування визначеного інтеграла
- •3. Функції двох змінних
- •3.1. Поняття функції двох змінних та їх геометричне зображення
- •3.2. Локальні екстремуми функції двох змінних
- •Дослідимо цю функцію всередині трикутника
- •4. Диференціальні рівняння
- •4.1. Основні поняття. Задача Коші.
- •4.2. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними
- •4.3. Лінійні диференціальні рівняння. Однорідні диференціальні рівняння
- •4.4. Диференціальні рівняння другого порядку
- •Диференціальні рівняння другого порядку, що допускають пониження порядку
- •4.5. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.
- •4.6. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами
- •4.7. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами
- •5. Числові та функціональні ряди
- •5.1. Числові ряди. Ознаки збіжності
- •5.2. Знакозмінні ряди
- •5.3. Функціональні ряди
- •5.4. Степеневі ряди. Радіус збіжності
- •5.5. Ряди Тейлора і Маклорена
- •Контрольна робота № 2
- •Рекомендована література
1.5. Інтегрування раціональних дробів
Відношення двох многочленівівідповідноm-го і n-го степеня називається дробно-раціональною функцією або раціональним дробом.
Раціональний дріб називається правильним, якщо . Якщо ж, то раціональний дріб називається неправильним. В цьому випадку розділившинаодержимо:
(1.10) |
де і- многочлени відповідноm-n-го та k- го степенів, причому , тобто дріб- правильний.
Знаменник розкладається на добуток лінійних і квадратних множників, перші з яких лінійні відповідають дійсним кореням, а другі (квадратні) – комплексно спряженим кореням. Кратні корені характеризуються відповідними степенями цих множників.
Елементарними раціональними дробами називаються такі правильні раціональні дроби.
а) ; б);; в); г);
де А, а, М, N, p, q – дійсні числа, а тричлен не має дійсних коренів.
Отже, правильний раціональний дріб, у якого тобтомає дійсний корінь кратностіі два комплексно спряжені корені кратності, розкладається на суму елементарних дробів так:
(1.11) |
Якщо має більше дійсних і комплексно-спряжених коренів, то розклад (1.11) відповідно розширюється.
Нехай потрібно знайти інтеграл
(1.12) |
Згідно з (1.10) інтеграл виду (1.12) запишеться так
(1.13) |
Інтеграл від многочлена обчислюється за табличним інтегралом 1, а інтеграл від правильного дробу, згідно з (1.11) зводиться до обчислення інтегралів від елементарних раціональних дробів.
Розглянемо ці інтеграли. Скористаємось наведеними вище перетвореннями диференціала і табличними інтегралами 2 і 1. Тоді для елементарних дробів а) і б) будемо мати:
І. ;
ІІ. ;
ІІІ. Обчислення інтеграла від елементарного дробу в) базується на виділенні у знаменнику дробу ( в квадратному тричлені) повного квадрату, тобто
В результаті одержимо:
(1.14) |
Далі можливі такі випадки: якщо т=0, тоді при інтеграл зводиться до інтегралу 11, а при- до інтегралу 12. Якщо ж, тоді інтеграл (1.14) зводиться до інтегралів 13 і 11, або до інтегралів 13 і 12. Як це робиться , покажемо на конкретних прикладах.
Приклад 1.
Приклад 2.
;
Приклад 3.
Приклад 4.
Зауваження. Перетворення, які були зроблені у чисельниках прикладів 3, 4 пов’язані із виділенням у них похідних або диференціалів знаменників та зведенням їх до інтеграла 13.
IV. Інтеграл виду:
де
підстановкою зводиться до суми двох інтегралів
, де ;
Перший із цих інтегралів обчислюється згідно з інтегралом 1, а другий за рекурентною формулою.
(1.15) |
Приклад.
=
.
Питання інтегрування неправильного раціонального дробу розглянемо на такому прикладі:
Виділимо цілу частину дробу
=.
Розкладемо правильний дріб на елементарні і зведемо вираз до спільного знаменника. .
Прирівняємо коефіцієнти при невідомих і розв’яжемо систему рівнянь.
В результаті:
=.
1.6. Інтегрування простих ірраціональностей
Функція називається раціональною від змінних, якщо над цими змінними і дійсними числами виконується скінчене число операцій додавання, віднімання, множення і ділення. Змінніможуть бути і функціями. Наприклад, функціяє раціональною функцією відносно функції, тобто
.
Розглянемо способи інтегрування таких функцій.
Інтеграл раціоналізується підстановкою.
Звідси . Отже
Приклад. Знайти інтеграл.
=
=
Інтеграл більш загального виду
раціоналізується підстановкою .
Звідси ,, або. Отже
.
Приклад. Знайти інтеграл.
+ .
Інтеграл виду знаходиться підстановкою,
; . В залежності від значеньa,b,c, він зводиться до одного із табличних інтегралів 9 або 10.
Приклад. Знайти інтеграл.
=
=