Диференціальні рівняння другого порядку, що допускають пониження порядку

1. Рівняння виду , що не містить шуканої функції та її похідних.

Якщо права частина рівняння залежить лише від , то рівняння розв‘язується послідовним інтегруванням. Дійсно, приймаючи до уваги, що, ми приходимо до рівняння

або .

Інтегруючи праву та ліву частини, отримуємо

.

Цілком аналогічно, вважаючи, що і підставляючи замістьйого значення, будемо мати.

Знов інтегруючи, отримаємо:

.

Отже, загальний розв‘язок знаходиться шляхом двократного інтегрування (або, як кажуть, двократної квадратури).

Частинний розв‘язок, що задовільняє початковим умовам ,знаходиться тим же шляхом, але враховуються початкові умови:

Так, для отримаємо:,

а оскільки , то, підставляючи замістьзначення, будемо мати

; .

Тоді

.

Знов покладаючи , отримаємо

, звідки

(оскільки є стала).

Приклад. Знайти частинний розв‘язок рівняння при заданих початкових умовах;.

;

Покладемо тепер ; тоді.

.

Інтегруємо другий раз:

;

.

Поклавши і зважаючи, що, отримаємо, що. Звідси маємо частинний розв‘язок:

_або .

2. Рівняння виду , або, що не містить явно шуканої функції:

Таке рівняння розв‘язується за допомогою заміни , звідки.

Підставивши ці значення у вихідне рівняння, ми отримуємо

а це вже є рівняння першого порядку відносно . Проінтегрувавши це рівняння, ми знайдемо його загальний розв‘язок, а потім із співвідношенняотримаємо загальний розв‘язок вихідного рівняння

.

Приклад. .

Робимо заміну ; підставляючи у вихідне рівняння, отримуємо рівняння першого порядку:

.

Відокремлюємо змінні

.

; .

. Взявши тангенси від обох частин, отримаємо

(за формулою ).

Повертаємось до вихідної змінної:

; ;.

Обчислюємо цей інтеграл:

;

Звідси маємо загальний розв‘язок

3. Рівняння виду або, що не містить явно незалежної змінної :

Для знаходження розв‘язку такого рівняння знов використовується заміна , але тепер вважаємофункцією:::.

В результаті відносно функції вихідне рівняння перетворюється в рівняння першого порядку:

.

Інтегруючи це рівняння, знаходимо як функціюта довільної сталої:

; .

Інтегруючи останнє рівняння, отримуємо загальний інтеграл вихідного рівняння: .

Приклад.

Знайти розв‘язок рівняння , що задовольняє початковим умовам

; .

Рівняння не містить явно незалежної змінної ; робимо заміну:

.

Підставляємо ці значення у вихідне рівняння.

; ;;.

Підставляємо початкові умови:

; , звідки;;.

Знов підставляємо початкові умови:

.

Звідси отримуємо частинний розв‘язок:

.

4.5. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.

Загальні поняття.

Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку називається рівняння виду

.

де та- задані неперервні на інтерваліфункції. Якщо в цьому інтервалі функція, то рівняння називається однорідним, якщо ж, то неоднорідним. Існування неперервних нафункційтазабезпечує існування та єдиність розв‘язку задачі Коші з довільними початковими умовами при довільному.

Для однорідного рівняння мають місце наступні теореми:

Теорема 1. Якщо є частинний розв‘язок однорідного лінійного диференціального рівняння

,

то добуток , де- довільна стала, також є розв‘язком цього рівняння.

Теорема 2. Якщо тає частинні розв‘язки однорідного рівняння, то їх суматакож є розв‘язком цього рівняння.

Нагадаємо, що функції називаються лінійно залежними наякщо існують числа, одночасно не рівні нулю, такі, що лінійна комбінація

.

Якщо ця тотожність виконується лише в тому випадку, коли всі , то функціїназиваються лінійно незалежними.

Якщо функцій лише дві, то критерій лінійної незалежності буде виконуватись, якщо їх відношення . Так, наприклад, функціїіє лінійно незалежними на будь-якому інтервалі, оскільки.

Означення. Система з двох лінійно незалежних на інтервалі розв‘язків,однорідного лінійного диференціального рівняння другого порядку з неперервними накоефіцієнтами називається фундаментальною системою розв‘язків цього рівняння.

Перевірити лінійну незалежність розв‘язків можна також за допомогою визначника Вронського. Це визначник, складений з частинних розв‘язків та їх похідних. Для рівняння другого порядку він має такий вид .

Теорема. Для того, щоб розв‘язки талінійного однорідного диференціального рівняння були лінійно незалежними в(в інтервалі неперервності коефіцієнтів рівняння), необхідно і достатньо, щобне обертався в нуль в жодній точці з.

Теорема (про структуру загального розв‘язку однорідного лінійного диференціального рівняння). Якщо функції таутворюють фундаментальну систему розв‘язків однорідного лінійного диференціального рівняння другого порядку з неперервними накоефіцієнтами, то загальний розв‘язок рівняння має вигляд

, де , а- довільні сталі.

Отже, щоб розв‘язати лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку треба знайти його фундаментальну систему розв‘язків.

Можна показати, що інтегрування неоднорідного рівняння зводиться до інтегрування відповідного однорідного, якщо відомий частинний розв‘язок неоднорідного рівняння. Має місце наступна теорема.

Теорема(про структуру загального розв‘язку неоднорідного рівняня). Загальний розв‘язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння дорівнює сумі довільного частинного розв‘язку цього рівняння і загального розв‘язку відповідного однорідного рівняння.