Литература

1. Анциферова Л. И. Роль анализа в познании причинно-следственныхотношений // Процессы мышления и закономерности анализа, син­теза и обобщения: Сб. науч. тр. — М., 1960.

2. Выготский Л. С. Мышление и речь // Избранные психологическиеисследования. — М.: Изд-во АПН РСФСР, 1956.

3. Богоявленский Д. Н. Психология усвоения знаний в школе / Д. Н. Бо­гоявленский, Н. А. Менчинская. — М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959.

4. Ленард Ф. Количества в математике / Ф. Ленард, А. Чор // Математи­ка в школе. — 1959. — № 3.

5. Леонтьев А. Н. Опыт экспериментального исследования мышления//Доклады на совещании по вопросам психологии. — 1954.

6. Матюшкин А. М. Об условиях возникновения анализа // ДокладыАПН РСФСР. - 1959.

7. Пономарев Я. А. Взаимоотношение прямого (осознаваемого) и побоч­ного (неосознаваемого) продуктов действия // Вопросы психоло­гии. - 1959. -Мв 4.

8. Рубинштейн С. Л. О мышлении и путях его исследования. — М-Изд-во АН СССР, 1958 - Т. 1.

9. Рубинштейн С. Л. Принцип детерминизма и психологическая теориямышления // Психологическая наука в СССР: Сб. науч. тр! — М.:Изд-во АПН РСФСР, 1958.

10. Шеварев П. А. Обобщенные ассоциации в учебной работе школьни­ка. - М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959.

11. Duncker К. A qualitative (experimental and theoritical) study of productivethinking (solving of comprehensive problems) // J. genetic, psychology. —1926. -\Ы. 33- №4.

12. Duncker K. On problem-solving //Psychol. monographs. — N. -Y, 1945. —\bl. 58. - №5 (Whole № 270).

13. MaierN. R. F. Reasoning in humans. 1. On direction. J. сотр. psychology,1930.

14. RugerH. A. The psychology of efficiency // Arch, psychology. — 1910. —■\bl.2.-NH5. "

15. Szekety L. Studien zur Psychologie des Denkens: zur Topologic deseinfalls // Acta psychologica. — 1940. — № 5.

16. SzekelyL. The dynamic ofthought motivation// American J. psychology. —1943.-\bl.56.-Nsl.

17. Szekety L. Productive processes in learning and thinking // Actapsychologica. — 1950. — N° 7.

18. Szekefy 1. Knowledge and thinking // Acta psychologica. — 1950. — № 7.

19. WertheimerM. Productive thinking. — N.-Y.: Harper, 1945.

119

(например, 4 325 =

Анализ и обобщение отношений.

К характеристике анализа в процессе обобщения отношений

Задачей нашей работы являлось исследование зависи­мости обобщения отношений от процесса анализа.

В качестве материала для экспериментального иссле­дования были взяты позиционные системы счисления.

Системой счисления называется совокупность немно­гих названий и знаков, позволяющих обозначать любое число. В позиционных системах счисления при обозначе­нии числа имеет значение не только сама цифра, но и за­нимаемое ею место в числе (позиция). Позиция цифры в числе указывает на содержание единицы разряда, а циф­ра является как бы его коэффициентом. При отсутствии того или иного разряда ставится «О». В основе построения числа в позиционной системе счисления лежит законо­мерность, включающая ряд отношений. Если эти отноше­ния выразить формулой, то любое число любой позицион­ной системы счисления можно представить как

ak"'¹ +bkⁿ '² + ... + ck+d,

где а, Ь, с, d—любые цифры числа, «к» — основание систе­мы счисления, а и — количество цифр и числе. Закономер­ность построения числа в позиционной системе счисле­ния, таким образом, включает в себя отношение между основанием системы счисления и местом цифры в числе, выражаемое в формуле зависимостью между кип (муль­типликативный принцип образования разрядов числа) и отношение, составляющее способ образования разрядов в числе с помощью сложения (аддитивный принцип). Основой закономерности построения числа в позицион­ной системе счисления является принцип образования единиц разрядов. Основание системы счисления, умно­женное на единицу разряда, составляет одну единицу сле­дующего, высшего разряда.

120

Каждый человек, обучавшийся в школе, знаком с деся­тичной позиционной системой счисления, которая в на­стоящее время принята в большинстве стран. Основанием десятичной системы счисления, выраженным в единице второго разряда, является число 10. Любое число десятич­ной системы счисления можно выразить как

3-Ю⁴"² + 210⁴"³ + 5).

Для обозначения любого числа в десятичной системе требуется десять знаков — цифр (1, 2, 3,4,5, 6,7, 8,9, 0).

Другие позиционные системы счисления отличаются от десятичной по своему основанию (единице второго раз­ряда) и количеству цифр, необходимых для обозначения числа. Если взять пятеричную систему счисления, то лю­бое число в ней можно выразить как

(например, 3 214 = 3-5³ +2-5² + 1-5 + 4). Для обозначения любого числа в пятеричной системе счисления достаточно пяти цифр.

Таким образом, в основе построения числа в любой по­зиционной системе счисления лежит одна и та же законо­мерность, составляющая позиционный принцип. Это по­зволило нам использовать позиционные системы счисле­ния как экспериментальный материал для исследования процесса формирования обобщения.

В средней школе дети не изучают недесятичные пози­ционные системы счисления, поэтому можно было ис­пользовать в экспериментах другие системы счисления как новый материал. Это позволило избежать обычной труд­ности экспериментального исследования процесса мыш­ления — искусственных построений, систем, создаваемых специально для эксперимента.

Эксперименты носили характер последовательного ре­шения испытуемым системы задач, требующих выделения отношений, составляющих закономерность, и соотве­тствующих действий обозначения числа, основанных на этих отношениях.

121

Было проведено три серии экспериментов.

В первой серии экспериментов от испытуемого требо­валось сначала найти формулу числа в десятичной систе­ме. Затем испытуемый должен был обозначать числа в условиях пятеричной системы счисления. Второе зада­ние являлось контрольным и позволяло проверить харак­тер обобщения, достигнутого испытуемым. В тех же случа­ях, когда испытуемый не мог выполнить сразу второго за­дания, оно служило процессу обобщения, а контрольным заданием тогда являлось обозначение числа в других неде­сятичных системах счисления.

Во второй серии экспериментов от испытуемого перво­начально требовалось обозначать числа в новой (пятерич­ной) системе счисления, а так как испытуемый не мог вы­полнить этого задания, то ему предлагалось найти форму­лу числа в десятичной системе, чтобы на этой основе обозначать числа в пятеричной системе.

Контрольным заданием здесь также являлось обозна­чение числа в условиях других позиционных систем счис­ления.

В третьей серии экспериментов от испытуемого требо­валось не только найти формулу числа в десятичной систе­ме (как в первой серии), но и обосновать выделенные в формуле отношения. Контрольное задание оставалось прежним.

Таким образом, в излагаемых сериях экспериментов изменялись условия и пути процесса анализа, приводяще­го к обобщению, что естественно изменяло и характер са­мого процесса обобщения.

Для обозначения чисел недесятичных систем счисле­ния в экспериментах использовались цифры и названия, взятые из десятичной системы счисления. Испытуемыми являлись студенты и аспиранты, не изучавшие специаль­ных курсов по теории числа и не знакомые с другими сис­темами счисления, кроме десятичной.

В экспериментах приняло участие 45 человек (по 15 че­ловек в каждой серии).

В предварительных экспериментах перед испытуе­мым ставилось задание, требующее обозначить число в пятеричной системе счисления с помощью пяти цифр (1, 2, 3, 4, 0). Все испытуемые владели способом обозна­чения числа в десятичной системе. Несмотря на это, ни

122

один из них не мог выполнить поставленного задания, т. е. использовать известный ему общий способ построе­ния числа в позиционной системе счисления в новых условиях при изменении основания позиционной систе­мы. Выполнение задания потребовало от испытуемых длительного и сложного процесса анализа новых усло­вий обозначения, в котором раскрывалась закономер­ность построения числа в условиях пятеричной системы счисления.

Было выдвинуто предположение, что испытуемый не может использовать известного ему способа обозна­чения в новых условиях по той причине, что в процессе анализа он не достиг необходимого уровня обобщения отношений, лежащих в основе требуемого нового спосо­ба обозначения. Для проверки этого предположения была проведена первая серия экспериментов.