Исследование психологических закономерностей анализа и обобщения

Проблема и метод исследования

Проблема мышления всегда занимала в психологичес­ких исследованиях одно из центральных мест; в ее реше­нии всегда, как в фокусе, выражались основные противо­речия различных подходов к пониманию психического, в путях решения психологических проблем и использова­ния психологических закономерностей.

Мышление реализуется в практической или теоретичес­кой деятельности человека и всегда включает как необходи­мые компоненты и условия осуществления знания, так и действия (часто выступающие как навыки). Внешне мыш­ление выражается в использовании некоторых действий. Результаты мышления выступают в форме достигаемых (от­крываемых или усваиваемых) человеком знаний.

Эти два реальных компонента мышления, характеризу­ющие «поведение» человека и результаты мышления, не­однократно абсолютизировались и рассматривались как психологическое содержание мышления. Историческими примерами такого подхода к мышлению являются бихеви­оризм и гештальтпсихология. Если первый представил мышление как форму поведения, то гештальтпсихологи попытались представить мышление как форму модифика­ций различного феноменального содержания. Оба эти подхода к исследованию мышления имеют одну общую черту — они основываются на внешне проявляющейся ха­рактеристике мышления, выражающегося в поведении субъекта и результатах его мышления.

Исследование закономерностей в любой области означает выявление условий, определяющих изучаемое явление, «функциональных» зависимостей, однозначно определяющих его возникновение, течение и эффект (ре­зультат). Для психологического исследования мышле-

т

ния это означает прежде всего переход к пониманию мышления как процесса в его основных «функциональ­ных» (причинно-следственных) зависимостях и опреде­ляющих факторах.

Предметом психологического исследования мышле­ния (как формы познания) являются процессы анализа, синтеза, абстрагирования и обобщения в их различных формах и взаимоотношениях. Однако естественно, что ни сами эти процессы, ни их зависимости не могут про­являться иначе, как через выполняемую человеком дея­тельность.

Мышление осуществляется в практической или тео­ретической деятельности субъекта, представляющей специфическую форму взаимодействия человека с окру­жающим миром. Оно может выражаться в различных формах, выполнять различные функции в деятельности, но его основной формой, в которой оно приводит к не­которым новообразованиям (новым знаниям и действи­ям, достигаемым или усваиваемым), является решение человеком проблемных ситуаций (задач). Поэтому при исследовании процессов мышления задачи (проблем­ные ситуации) выступают как метод экспериментально­го исследования. Это значит, что при исследовании про­цессов мышления в эксперименте главным является не само по себе внешнее поведение субъекта, приводящее к решению задач, и не предметное содержание послед­них, как таковое, а состав и взаимосвязи процессов, при­водящих к открытию новых знаний.

Решение человеком возникающих перед ним проблем­ных ситуаций всегда служит достижению какой-либо его цели (практической или познавательной), то есть всегда слу­жит деятельности человека, ее правильному выполнению. В экспериментальном исследовании дня того чтобы рас­крыть закономерности процессов мышления, необходимо выявить те зависимости и опосредования, которые сущес­твуют между процессами и деятельностью субъекта, особен­ностями процессов и условиями выполнения деятельности.

В монографии излагаются результаты экспериментов, посвященных изучению закономерностей анализа и обоб­щения.

70

Психологические закономерности процесса анализа¹

Условия возникновения и средства анализа. В экспери­ментальном задании испытуемым предлагалось вычислить возможно точнее вместимость (объем внутренней части) стеклянного (просвечивающего) сосуда, частично (на J^) заполненного водой и плотно закрытого пробкой. Для вы­полнения задания испытуемым давалась также линейка, е помощью которой можно было производить необходимые измерения. Нижняя часть сосуда, частично заполненная водой, имела цилиндрическую форму, продолжением этой части была неправильная полусфера, переход к горлышку сосуда и, наконец, горлышко цилиндрической формы.

Испытуемыми являлись ученики IX—X классов и студенты I курса (всего 35 человек), которые знали формулы вычисления объемов различ­ных тел простейших форм, но не знали принципов вычисления объема верхней части сосуда. Таким образом, задание нельзя было выполнить только путем применения известных испытуемому формул вычисления объема, ибо для вычисления верхней части сосуда, имеющей неправиль­ную форму, нужно знать более сложные отношения. Поэтому для испыту­емых верхняя часть сосуда представлялась «неизмеряемой».

Для выполнения задания нужно было использовать воду, налитую в сосуд. Объем воды можно вычислить, когда она расположена в цилин­дрической части сосуда. При переворачивании сосуда вода, объем кото­рой вычислен, перемещается в «неизмеряемую» часть (определяя тем са­мым ее объем) и оставляет свободной цилиндрическую часть, объем кото­рой также можно вычислить. Складывая объем воды и объем свободной от воды цилиндрической части сосуда, можно легко найти весь искомый объем.

Таким образом, для вычисления вместимости сосуда нужно было вы-■ делить воду и использовать ее как средство измерения объема.

Чаще всего мы измеряем жидкость с помощью того сосуда, в котором она находится. Для выполнения же предложенного задания нужно было использовать обратное отношение между сосудом и жидкостью — вода вместо объекта измерения должна была стать средством измерения; путем соотнесения «неизмеряемой» и измеряемой частей сосуда можно было сделать соизмеряемыми с помощью переливающейся воды. Переворачивание сосуда для вычислениия его объема как бы символизи­рует «переворачивание» сложившихся привычных отношении на основе выделения нового значения условия задачи.

Используемая экспериментальная модель для исследования условий возникновения и средств анализа является достаточно типичной формой творческого мышления, наблюдаемого в жизни. Она находит свое выра­жение во всех случаях употребления различных объектов в их новых, нео-бычных значениях и всегда ведет к выделению новых (чаще неизвестных)

¹ Психологическое содержание процесса анализа включает реализацию исследовательской активности в решении новой задачи.

свойств и качеств. Примеры, характеризующие рассматриваемую в экс­периментах модель творческого мышления, достаточно широко пред­ставлены в экспериментальных работах по психологии мышления, вы­полненных Г. А. Ругером (1910), М. Вертгеймером (1945), К. Дункером (1926; 1935). Н. Манером(1930),Л. Секеем(1940; 1943; 1950), А. Н.Леон­тьевым (1954), Я. А. Пономаревым (1958) и др. Примеры подобного рода, выраженные в форме «задач-головоломок», описаны и проанализирова­ны в работах С. Л. Рубинштейна (1958; 1959).

В предварительных опытах было обнаружено, что при выполнении задания испытуемые вначале применяют известные им способы вычисле­ния объемов: выделяют различные части сосуда и начинают их вычисле­ние по соответствующим формулам. В задании требуется «вычислить об­ъем»; испытуемым известны простейшие способы вычисления объема, поэтому перед ними не возникала необходимость анализа условий. Этот этап выполнения задания можно назвать этапом применения испытуе­мым известных знаний и основанных на них действий. Здесь перед испы­туемым еще не возникает проблемы. Большей частью при обычных усло­виях задания он не выходит за узкие рамки сложившихся способов де­йствия, иногда продолжая решение в течение часа и более.

Специальное выделение воды, налитой в сосуд, путем ее подкраши­вания (обычно наливалась чистая вода) также не вело к ее использованиюв выполнении задания. Не использовалась жидкость и в тех случаях, когдасосуд оставлялся открытым (рядом лежала пробка), несмотря на то, чтопри каждом поворачивании сосуда вода выливалась и «мешала» испытуе­мому производить измерения. В этих опытах испытуемые видели воду идаже ощущали ее влажность, но, несмотря на это, они либо не замечали еекак одно из условий задания, либо она «мешала» им действовать обычнымспособом. <, .

Были проведены три основные серии экспериментов.

В первой серии мы изменили условие задания, обозна­чив на стенке сосуда объем цилиндрической части. Такое выделение одного из условий задания, связанного с опре­деленным способом действия, закрепляло этот способ, и испытуемый не мог выявить его несоответствие данным условиям. Здесь не только не выделялась вода как одно из условий задания, но не возникало и потребности в анализе данных условий. Задание испытуемыми не выполнялось.

Во второй серии экспериментов в условие задания была дополнительно включена неправильной формы пробка, опущенная внутрь сосуда. При таком изменении условия испытуемый уже не мог применить привычные ему спосо­бы измерения вместимости сосуда, так как некоторая часть сосуда была занята «неизмеряемой» пробкой.

Результаты экспериментов, выполненных под руково­дством А. М. Матюшкина и приведенных в ст. «Об услови­ях возникновения анализа», показали, что процесс анали­за условий задания возникает в проблемной ситуации в ре­зультате выделения испытуемым несоответствия

имеющихся способов действия (способов измерения объе­ма) новым условиям, которые предъявляют новые требо­вания к способам действия. Выделение неизмеряемой час­ти сосуда (особенно пробки неправильной формы) вызы­вает это несоответствие и ведет к возникновению анализа условия задания.

Процесс анализа рождается из необходимости рас­крыть новые элементы условия задачи, на основе которых можно было бы построить новое действие, позволяющее определить неизвестное. Новое действие не вырастает не­посредственно из старого (известного) действия: его воз­никновение всегда опосредовано раскрытием новых усло­вий, являющихся основаниями нового действия.

Необходимость анализа, возникающая в проблемной ситуации, не всегда определяет его направление и не озна­чает, что в его результате будут выделены такие элементы ситуации, которые позволили бы построить на их основе действие, отвечающее требованиям задания. Дальнейшее движение мысли определяется теми средствами, которые использует испытуемый при анализе условий проблемной ситуации.

Третья серия экспериментов была посвящена исследо­ванию психологического значения специально выделен­ных признаков анализируемого объекта, выступающих в качестве средств анализа. Проблема «средств анализа» более подробно исследовалась в других экспериментах, из­ложенных в ст. А. М. Матюшкина «К характеристике средств анализа». С этой целью мы дополнили условие за­дания предыдущей серии тем, что нанесли на внешней стороне измеряемого сосуда деления с цифрами, обозна­чающими объем жидкости.

Мы исходили из того, что для использования жидкости в качестве средства измерения объема сосуда необходимо выделение существенного (значимого) в данных условиях признака жидкости — ее измеряемое™. Лишь на основе выделения этого качества жидкости возможно построение нового действия по измерению объема сосуда, соотве­тствующего заданным условиям.

В результате экспериментов третьей серии было обна­ружено, что обозначение объема воды значительно уско­ряет процесс выделения ее значения для измерения объема сосуда. Обозначенный объем жидкости используется как

71

признак, по которому испытуемый раскрывает ее «новое» значение. В этом смысле отмеченный признак выступает для испытуемого как средство анализа проблемной ситуа­ции, позволяющий выделить новое условие задания.

Таким образом, как показали проведенные экспери­менты, необходимым условием возникновения анализа в про­блемной ситуации является выделение испытуемыми несо­ответствия известных, наличных, способов действия усло­виям выполнения задания. Одним из основных путей анализа условий является использование таких признаков объекта, которые позволяют раскрыть его новое значение для требуе­мого действия. Эти признаки выступают в процессе мышле­ния в качестве средства анализа.

На основании проведенных экспериментов в условиях выполняемого задания были выделены три рода факторов, имеющих различное значение в процессе мышления.

1. Условия задания, связанные с известными (наличны­ми) способами действия. Их выделение (в эксперимен­тах — специальное) ведет к «застреванию» субъектав использовании этих действий, к «фиксации», к отсу­тствию условий возникновения проблемной ситуациии процесса анализа.

2. Условия задания, связанные с неизвестными для субъ­екта действиями. Их специальное выделение в заданииведет к несоответствию известных действий этим усло­виям, к невозможности их использования в выполне­нии задания, к возникновению проблемной ситуации,требующей анализа условий задания.

3. Условия задания, известные для субъекта и выделенныев задании как признаки, свойства, качества объектов,значимые для построения нового действия, но никогдаранее не использовавшиеся в таком действии. Эти из­вестные признаки выступают в мышлении как средствавыделения нового значения объекта для требуемого но­вого действия, как средства анализа.

Таким образом, в проведенных экспериментах процесс мышления был расчленен (прежде всего в его последо­вательности) на отдельные звенья, определяемые различ­ными в функциональном отношении факторами, выделе­ние которых позволило в дальнейшем исследовании со­здавать более сложные экспериментальные ситуации.

74

Процесс анализа и обобщение отношений

Зависимость обобщения отношений от процесса анализа.

Задачей дальнейших экспериментов являлось исследова­ние зависимости обобщения отношений от процесса ана­лиза при овладении человеком новой системой знаний.

В качестве материала для экспериментального иссле­дования были взяты позиционные системы счисления.

Системой счисления называется совокупность немногих названий и знаков, позволяющая обозначать любое число. В позиционных систе­мах счисления при обозначении числа не только сама цифра, но и зани­маемое ею место в числе (позиция) имеет-значение. В основе построения числа в позиционной системе счисления лежит закономерность, включа­ющая ряд отношений. Если эти отношения выразить формулой, то тогда любое число любой позиционной системы счисления можно представить как

где буквы а, Ь, с, d являются любыми цифрами числа, к — основанием системы счисления, а п указывает на количество цифр в числе. Основой закономерности построения числа в позиционной системе счисления яв­ляется принцип образования единиц разрядов. Основание системы счис­ления, умноженное на единицу разряда, составляет одну единицу следую­щего высшего разряда.

Каждый человек, обучавшийся в школе, знаком с десятичной пози­ционной системой счисления, которая в настоящее время является об­щепринятой системой счисления в большинстве стран. Основанием де­сятичной системы счисления, выраженным в единице второго разряда, является число 10. Любое число десятичной системы счисления можно выразить как

(например, 4325 =4х10⁴"' + 3 хЮ⁴"² + 2 х10⁴"³ + 5).

Для обозначения любого числа в десятичной системе требуется де­сять знаков — цифр (0,1, 2, 3 ,4, 5, 6, 7, 8, 9).

Другие позиционные системы счисления отличаются от десятичной по своему основанию (единице второго разряда) и количеству цифр, необходимых для обозначения числа. Если взять пятеричную систему счисления, то любое число и ней можно выразить как

(например, 3214=3 х5³ + 2 х5² + 1 х5 + 4).

Для обозначения любого числа в пятеричной системе счисления дос­таточно пяти цифр.

75

Таким образом, в основе построения числа в любой позиционной системе счисления лежит одна и та же закономерность, составляющая по­зиционный принцип. Это позволило нам использовать позиционные системы счисления как экспериментальный материал для исследования процесса общения.

В средней школе дети обучаются десятичной системе счисления. Однако в школе не изучают другие (недесятичные) позиционные системы счисления, поэтому в экспериментах можно было использовать материал других систем счисления как новый материал.

Эксперименты носили характер последовательного решения испыту­емым системы задач, требующих выделения отношений, составляющих закономерность, и построения действий обозначения числа, основанных на этих отношениях.

Для письменного обозначения и устного называния чисел недесятич­ных систем счисления в экспериментах использовались цифры и назва­ния, взятые из десятичной системы счисления. Испытуемыми являлись студенты и аспиранты, не изучавшие специальных курсов по теории чи­сел и не знакомые с другими системами счисления, кроме десятичной.

В предварительных экспериментах перед испытуемым ставилось задание обозначить число в пятеричной системе счисления с помощью пяти цифр (0,1,2,3,4). Все испыту­емые владели способом обозначения чисел в десятичной системе. Несмотря на что, ни один из них не мог выпол­нить поставленного задания, т. е. использовать известный им способ действия в новых условиях. Выполнение зада­ния требовало анализа новых условий обозначения, в ко­тором раскрывалась закономерность построения числа в условиях пятеричной системы счисления.

В основной серии экспериментов вначале перед испы­туемым ставилась задача найти формулу любого числа в де­сятичной системе. В процессе выполнения этого задания (включающего ряд задач) испытуемый раскрывал отноше­ния, составляющие закономерность построения числа в десятичной системе и включающие принцип построения числа в любой позиционной системе счисления.

После этого перед испытуемым ставилось задание об­означить число 17 в пятеричной системе счисления, т. е. с помощью пяти цифр (0,1,2, 3,4). Ни один из испытуемых не мог сразу выполнить поставленного задания и начинал вновь анализировать условия обозначения. Анализируя новые условия обозначения, испытуемые соотносили их с условиями обозначения в десятичной системе. (Напр.: Здесь, когда дальше нет цифр, должен начинаться второй ряд: 1, 2, 3, 4, 0; I, 2, 3, 4, 0. Это второй ряд... Посмотрим, а как обозначаются числа в десятичной системе? Там еди­ница и нуль — это десять. Выходит, что здесь единица с ну-

76

лем — это будет 5... Когда я пишу один—это один (едини­ца). Когда один с нулем — это 10... В десятичной дальше две единицы (11) — это одиннадцать. А здесь тогда 11 — это 6,12 - 7,13 - 8,14 - 9... 32 - 17. Вот и все.)

Соотнесение образуемого числового ряда пятеричной системы с соответствующими элементами ряда десятич­ной системы позволяло испытуемому найти способ об­означения числа в пятеричной системе, заключающийся в продолжении ряда от известного числа. Но найденный способ ещб не основывался на выделении закономерности построения числа в пятеричной системе, поэтому при вы­полнении следующего задания, требующего перехода в высший разряд, испытуемый продолжал анализ новых условий обозначения. Для этого он строил и затем анали­зировал числовой ряд в пятеричной системе счисления.

Анализируя числовой ряд, испытуемые выделяли еди­ницы разрядов новой системы счисления и, соотнося их друг с другом, раскрывали принцип образования разрядов и основание системы счисления (5) как новую единицу об­разования числа. Принцип образования разрядов состав­ляет ядро выделяемой закономерности, ее основное отно­шение. Поэтому на его основе испытуемый действительно мог «найти любое число», хотя и не раскрыл еще других от­ношений, составляющих закономерность.

Для того чтобы найти формулу числа, недостаточно знать принцип образования разрядов. Нужно еще рас­крыть способ соединения различных разрядов в числе, форму их выражения не как отдельных чисел, а как таких единиц счета, из которых состоит любое число.

Мы предлагали далее испытуемому задачу, требующую анализа отношений, необходимых для выделения законо­мерности, выражаемой в формуле. Мы требовали найти со­держание числа, выраженного в пятеричной системе с по­мощью единиц 111 (5). Решая эту задачу на основе выделен­ного в предыдущей задаче принципа образования разрядов, испытуемый (разлагает число на составляющие его едини­цы разрядов (1111 = 125 + 25+ 5 + 1 = 156) и раскрывает в этом процессе принцип соединения разрядов в числе.

Выделение основных отношений, составляющих законо­мерность построения числа в пятеричной системе, позволя­ло испытуемому без особого труда найти общую формулу для любого числа пятеричной системы. «Это уже нетрудно, — за­являет испытуемый, — только вместо 10 здесь 5...».

77

В качестве контрольного эксперимента мы ставили пе­ред испытуемыми задания, требующие обозначения числа в других (новых) позиционных системах счисления (тро­ичной, четверичной и др.) и нахождения формулы постро­ения числа для любой позиционной системы счисления.

Как показали результаты проведенных экспериментов, выделение закономерности построения числа в пятерич­ной системе счисления позволяет испытуемому использо­вать эту закономерность для обозначения числа и в услови­ях других позиционных систем. Испытуемые теперь уже не анализировали принципов построения числа в новых условиях, а использовали ранее раскрытую закономер­ность, учитывая те изменения, которые произошли в усло­виях задания. Испытуемые могли теперь написать также формулу числа для любой системы.

В чем же заключаются причины того, что испытуемые не могли использовать закономерности, выделенной ими в условиях десятичной системы, и, напротив, использовали ее на основе анализа условий обозначения в пятеричной системе?

Анализируя условия обозначения в десятичной системе счисления, испытуемые выделяли лишь отношения, необ­ходимые для выполнения задания в данных конкретных условиях. Раскрываемая закономерность оказалась слитой с теми конкретными отношениями, которые составляют принцип построения числа в десятичной системе. Выпол­нение задания в новых условиях требовало более высокого уровня обобщения, составляющего выделение закономер­ности, построения любого числа в любой позиционной системе счисления. А для выделения этой более общей за­кономерности необходимо проанализировать основные различия позиционных систем счисления, заключенные в их основании. Путь выделения более общей закономер­ности и выражен в процессе анализа пятеричной системы счисления, когда испытуемые невольно сопоставляли вы­деленную ими закономерность с закономерностью по­строения числа в десятичной системе, выделяли их разли­чия и на этой основе достигали нового уровня обобщения.

Одно из условий обобщения отношений. Проведенная се­рия экспериментов не позволила ответить на вопрос о том, почему испытуемые не использовали отношения, выде-

78

ленные в десятичной системе, в новых условиях обозначе­ния (в пятеричной системе)¹.

С целью ответа на этот вопрос была проведена серия экспериментов, в которой после нахождения испытуемым формулы построения числа десятичной системы мы тре­бовали объяснения (анализа) формулы, и только затем ста­вили перед испытуемым обычную задачу — обозначать число в пятеричной системе.

Для анализа формулы перед испытуемым ставились вопросы, требующие как соотнесения отдельных ее эле­ментов, так и выделения их значения для действия обозна­чения числа. Вопросы испытуемому задавались исходя из контекста его анализа формулы и носили характер «уясня­ющих» вопросов.

Результаты экспериментов показали, что анализ фор­мулы числа десятичной системы позволяет испытуемому использовать выделенные отношения при обозначении числа в пятеричной системе счисления².

Как показали эксперименты, анализируя найденную формулу, испытуемый выделяет «основные показатели» числа: a, b,c,d— цифры, «и» их количество и 10. Причем 10 как элемент формулы числа выделяется в особом значении такой единицы числа, через которую нужно выразить каж­дый его разряд. Соотнося различные разряды числа с чис­лом 10 (как единицей счета в десятичной системе), испы­туемый раскрывает значение 10 в образовании различных разрядов числа, т. е. собственно устанавливает некоторую связь раскрываемой закономерности с действием обозна­чения.

Соотнося показатель степени «л» с разрядом числа и за­тем с местом цифры в числе, испытуемый устанавливает связь между выделенной закономерностью и ее конкрет­ным выражением в числе, теми признаками числа, на основе которых строится действие обозначения.

¹ В одной из серий экспериментов испытуемые переходили к нахожде­нию формулы числа десятичной системы после неудачных попыток об­означить числа в пятеричной системе. Результаты этих экспериментовизложены в ст.: Матюшкин А. М. Анализ и обобщение отношений //Процессы мышления и закономерности анализа, синтеза и обобще­ния. - М.: Изд-во АПН СССР, 1960.

² Протоколы этих экспериментов приведены в ст. .Матюшкин А. М. Одноиз условий процесса обобщения отношении // Доклады АПНРСФСР. - 1959 — № 1.

79

Обозначая число, мы не пользуемся прямо показателем степени для выражения его разрядов. Действие обозначе­ния числа опирается при этом на признаки самого числа. Таким признаком, обозначающим разряд, является место, занимаемое цифрой в числе. Поэтому установление связи между найденной закономерностью и теми признаками числа, на основе которых строится действие обозначения, выражает установление связи с действием обозначения. В результате установления этой связи выделенная законо­мерность приобретает новый «смысл» так же, как и де­йствие обозначения приобретает новое качество: оно как бы «переосмысливается» через эту закономерность.

Установив значение найденной закономерности для действия обозначения, испытуемый может использовать ее для выполнения задания в новых условиях, т. е. может обозначать число в другой системе счисления. Задание, поставленное перед испытуемым, воспринимается им не как совершенно новое, а как известное ему, но данное в не­сколько измененных условиях. Поэтому для его выполне­ния испытуемый анализирует лишь те различия, которые вносятся новыми условиями в известную ему закономер­ность.

Факты, полученные в этой серии экспериментов, пока­зали, что происходящее в процессе анализа выделение зна­чения отношений, составляющих закономерность постро­ения числа, для действия обозначения является одним из условий, которые необходимы для использования раскры­той закономерности в новых условиях.

Этапы и звенья анализа в процессе обобщения отношений. В предыдущих экспериментах, исследуя зависимость об­общения отношений от процесса анализа на материале различных позиционных систем счисления (нумерации), мы требовали от испытуемого выражения выделяемых от­ношений в формуле любого числа. Однако обобщение от­ношений не всегда должно включать выделение формулы и соответственно символизацию основных элементов об­общаемых отношений.

Одна из особенностей методики предыдущих экспери­ментов заключалась в том, что при обозначении чисел в других системах счисления использовались цифры, взятые из десятичной системы и тесно связанные в своих значе­ниях с десятичной словесной системой нумерации. Так, записывая (и словесно обозначая) в пятеричной системе

\

счисления 32 (тридцать два), испытуемый должен был подразумевать 17. Поэтому в дальнейших экспериментах мы решили использовать такой сопоставимый с использо­ванным материал, который бы не требовал выделения формул и был бы менее связан со словесной системой ну­мерации. В качестве такого материала в экспериментах ис­пользовались счеты (счетный прибор), основанные на раз­личных позиционных системах счисления¹.

На счетах числовое содержание разрядов выражается рядами косто­чек, а единица каждого разряда обозначается одной косточкой соотве­тствующего ряда. Число на различных счетах обозначается с помощью косточек, имеющих одинаковую внешнюю форму и различающихся по своему числовому содержанию в зависимости от основания системы счисления и ряда, на котором расположена косточка. Сумма косточек первого ряда счетов составляет единицу второго разряда и является осно­ванием той системы счисления, на которой основаны счеты.

Основные отношения, необходимые для выполнения действия об­означения числа на счетах десятичной системы, выражаются:

а) в содержании единиц различных разрядов, обозначенных ря­дами косточек (1,10,100,1000 и т. д.);

б) отношениях между соседними разрядами, составляющимипринцип образования новых разрядов и основной принципобозначения числа на счетах, выраженный в правиле обозна­чения числа — десять косточек (на любом ряду счетов) заменя­ются одной косточкой соседнего верхнего ряда, а одна косточ­ка любого ряда может заменяться десятью косточками сосед­него нижнего ряда.

Действие обозначения числа на счетах одной системы счислении не требует выделения каких-либо других отношений.

Эксперименты носили характер последовательного ре­шения испытуемым системы задач, требующих выделения отношений, необходимых для обозначения числа на тех или иных счетах.

В экспериментах от испытуемого требовалось вначале (первое задание) выделить отношения между разрядами на счетах десятичной системы, достаточные для выполнения действия обозначения числа на этих счетах. Второе зада­ние требовало от испытуемого применения выделенных отношений в новых условиях. Необходимо было обозна­чить числа на других счетах, также основанных на позици­онном принципе, но отличающихся от первых другим ко-личеством косточек на каждом ряду (пять, три и т. п.).

¹ Более подробное описание методики экспериментов и эксперимен­тальных фактов содержится в ст.: Матюшкш Л. М. К характеристике анализа в процессе обобщений отношений // Доклады АПН РСФСР. — 1959. -№1.

80

81

Второе задание являлось контрольным, позволяющим проверить возможность применения испытуемым извес­тного из счетов десятичной системы принципа обозначе­ния числа. Естественно, что возможность такого примене­ния известных отношений и основанных на них действий выражала бы наличие обобщения. Таким образом, показа­телем обобщения в эксперименте являлась возможность (способность) испытуемого использовать в новых услови­ях раскрытые ранее отношения.

В случае отсутствия обобщения (когда испытуемый не мог сразу выполнить задания на «пятеричных счетах») сис­тема заданий в этих условиях служила процессу выделения новых отношений, процессу становления обобщения. Контрольным заданием тогда являлось другое задание, требующее обозначения числа на новых счетах.

Анализируя условия обозначения на счетах десятичной системы (первое задание), испытуемые раскрывали при­нцип обозначения числа — правило обозначения числа на этих счетах («десять косточек нижнего ряда равны одной косточке соседнего высшего»). Иногда испытуемые фор­мулировали это положение в более общей форме («все кос­точки нижнего ряда равны одной косточке высшего»).

Однако в новых условиях (второе задание) испытуемые не могли использовать этого принципа (не обозначали сразу числа на пятеричных счетах) и им приходилось вновь раскрывать принцип позиционного построения счетов. Только после анализа условий обозначения на пятеричных счетах испытуемые достигали такого уровня обобщения отношений, на основе которого они сразу обозначали чис­ла и на других счетах.

Результаты проведенной серии экспериментов показа­ли, что большая простота материала (по сравнению с сис­темами нумерации) при обозначении чисел на счетах об­легчает испытуемому процесс обобщения отношений и ес­тественно приводит к сокращению этапов анализа, необходимых для достижения обобщения. Можно выде­лить два этапа анализа, в результате которых испытуемый приходит к достижению обобщения отношений на счетах. Эти этапы характеризуются последовательным решением следующих двух задач:

а) выделение числового значения косточек второго разряда на счетах пятеричной системы;

82

б) выделение отношения между соседними разряда­ми (в пять раз больше) и его зависимости от коли -чества косточек на ряду счетов.

Эксперименты позволили расчленить каждый этап анализа на его отдельные звенья.

Так, решая первую задачу, испытуемые пытаются ис­пользовать действия, основанные на числовых значениях разрядных косточек счетов десятичной системы. Однако эти действия не соответствуют новым условиям обозначе­ния. Попытки испытуемых использовать известные де­йствия в новых уловиях составляют начальное звено про­цесса анализа, в результате которого испытуемые раскры­вают несоответствие известных действий требованиям ловых условии и переходят к из анализу. (Так испытуемые переходят к анализу условий обозначения на счетах пяте­ричной системы.)

Второе звено первого этапа анализа выражается в «про­извольном назначении» испытуемыми числового содер­жания косточек на новых счетах. Здесь также не выделяет­ся никаких новых зависимостей. В результате этого звена анализа испытуемые раскрывают условия новой задачи — они обнаруживают, что на каждой проволоке новых счетов по пять косточек.

Завершающее (третье) звено первого этапа анализа со­ставляет выделение нового отношения (в пять раз больше), на основе которого испытуемый раскрывает новые число­вые значения косточек второго ряда.

На основе выделенных значений испытуемые могли обозначать числа на новых счетах в пределах двух разря­дов, но не могли обозначить большего числа, требующего перехода в следующий разряд.

Выполнение этого задания составляет второй этап про­цесса анализа. Испытуемые вначале пытаются использо­вать для определения числового содержания косточек третьего разряда отношения, выделенные на десятичных счетах (в десять раз больше). Но так как на предыдущем этапе ими было выделено количество косточек на каждом ряду новых счетов (пять), то числовое значение косточек третьего ряда нередко определялось как равное пятидеся­ти. Эти попытки неадекватного использования ранее вы­деленных отношений в новых условиях и составляют пер­вое звено второго этапа анализа.

83

Во втором звене анализа испытуемые вновь раскрыва­ют отношение (в пять раз больше) между соседними разря­дами при определении числового содержания косточек третьего разряда (25).

В результате второго этапа анализа выделенное отно­шение отвлекается от тех конкретных условий (отношения между первым и вторым разрядом), в которых оно было первоначально выделено, и используется испытуемым при образовании любого следующего разряда на счетах пяте­ричной системы.

При необходимости обозначения чисел на других сче­тах («двоичных», «троичных и т. д.) большинство испытуе­мых сразу использовали» выделенное ими отношение в его общей форме (увеличить во сколько раз, сколько косточек на каждом ряду новых счетов), отвлеченное (абстрагиро­ванное) от конкретных условий тех счетов (десятичных и пятеричных), в которых оно было выделено. Перед ис­пытуемыми не ставилось задачи — найти принцип постро­ения любых позиционных счетов. Обобщение этого отно­шения происходило в самом процессе анализа условий об­означения на пятеричных счетах, где испытуемые, пытаясь использовать отношения, раскрытые на десятичных сче­тах, невольно соотносили условия обозначения на разных счетах, приходя таким образом к выделению общей зави­симости, характерной для различных счетов.

Уже на первом этапе анализа испытуемые выделяли те отношения, на основе которых возможно выполнение де­йствия в новых условиях. Однако лишь их абстрагирова­ние от конкретных условий, в которые они включены, по­зволяло достигнуть уровня обобщения, позволяющего вы­полнять действие в новых условиях, содержащих эти отношения.

- Два пути обобщения отношений. Прямым продолжени­ем изложенных экспериментов являлось исследование условий анализа и обобщения отношений при постановке перед человеком теоретической (познавательной) задачи (системы задач). В предыдущих экспериментах необходи­мость процесса обобщения испытуемыми отношений определялась заданием, требующим выполнения практи­ческого действия обозначения чисел на новых счетах. В из­лагаемых экспериментах испытуемые должны были рас­крыть обобщаемые отношения в известных для них усло­виях (на десятичных счетах). Необходимость обобщения

84

отношений в этих условиях нельзя вызвать постановкой практических заданий обозначения чисел на десятичных счетах. (Все участвовавшие в экспериментах испытуемые могли выполнять это задание.)

В экспериментах мы требовали от испытуемого обосно­вать тот способ обозначения, которым он владел. Необхо­димость выделения новых отношений в этих условиях определялась системой вопросов, требовавших «теорети­ческого» обоснования содержания известных испытуемо­му отношений (в десять раз больше) и числового содержа­ния значений косточек на десятичных счетах. Соотве­тственно перед испытуемыми ставились, например, такие вопросы: «Почему числовое содержание косточек на со­седних рядах счетов изменяется в последовательности 1, 10,100,1000 и т. д.?», «Чем определяется отношение (в де­сять раз больше (меньше), существующее между единица­ми соседних разрядов счетов?».

Отношения, выделенные в вопросах и требовавшие об­основания, составляют содержание принципа обозначе­ния числа на десятичных счетах. Поэтому их обоснование является одновременно обоснованием известного де­йствия.

В качестве контрольного задания, позволявшего судить о достигнутом обобщении отношений, перед испытуемыми ставились задания, требовавшие обозначения чисел на счетах других систем счисления (пятеричных, троичных и т. д.).

Результаты экспериментов показали, что в тех случаях, когда испытуемые решали поставленные перед ними зада­чи, они достигали такого уровня обобщения отношений, который позволял им обозначать числа на любых других позиционных счетах. В тех же случаях, когда испытуемые не смогли решить поставленных задач (не смогли обосно­вать известный способ обозначения чисел на десятичных счетах — 1 случай), они были вынуждены раскрывать обоб­щаемые отношения в процессе последующего обозначе­ния чисел на других счетах¹.

Результаты проведенных экспериментов отчетливо по­казали второй возможный путь процесса обобщений. В условиях наших экспериментов этот путь процесса обоб-щения выражался в решении испытуемыми ряда задач,

¹ Экспериментальные данные изложены в ст.: МатюшкинА. М. О двух пу­тях обобщения отношении // Доклады АПН РСФСР. — 1959. — № 3.

85

требующих обоснования известного принципа обозначе­ния на счетах одной (десятичной) позиционной системы счисления.

Процесс анализа, развивающийся по этому пути, про­ходит два основных этапа. Первый этап анализа заключа­ется в выделении необходимости обобщаемых отношений для обоснования принципа обозначения числа на счетах; второй этап составляет процесс установления зависимости отношений между разрядами от количества косточек на каждом ряду счетов.

Как показали эксперименты, различие в путях процес­са анализа, ведущего к обобщению, определяется:

1. тем заданием (практическим или теоретическим),которое ставится перед испытуемым (или возни­кает перед человеком);

2. тем исходным (начальным) уровнем обобщения,с которого начинается процесс анализа.