- •Лекция 2. Понятие кривой. Гладкие кривые. Канонический репер. Формулы Серре-Френе §2. Понятие кривой
- •§3. Гладкие кривые
- •§4. Касательная к кривой
- •§5. Длина кривой
- •§6. Канонический репер
- •§7. Формулы Серре-Френе
- •Лекция 3. Понятие поверхности. Гладкие поверхности. Координатная сеть на поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности §8. Векторная функция двух скалярных аргументов
- •§9. Понятие поверхности
- •§10. Кривые на поверхности
- •§11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Лекция 4. Первая и вторая квадратичная форма поверхности §12. Первая квадратичная форма поверхности
- •§13. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна линий на поверхности
- •§14. Индикатриса Дюпена
- •Лекция 5. Понятие внутренней геометрии поверхностей §15. Главные направления на поверхности. Полная и средняя кривизна поверхности. Формула Эйлера
- •§16. Внутренняя геометрия поверхности
- •Раздел IX. Основания геометрии
- •Лекция 1. Род структур. Основные математические структуры курса геометрии §1. Род структур
- •§2. Основные математические структуры курса геометрии
- •Лекция 2. Теория рода структур. Модель системы аксиом. Основные свойства системы аксиом §3. Теория рода структур
- •§4. Модель системы аксиом
- •§5. Основные свойства системы аксиом
- •Лекция 3. Основные этапы истории развития геометрии. «Начала» Евклида. Проблема пятого постулата и ее решение §6. Основные этапы истории развития геометрии. «Начала» Евклида
- •Лекция 4. Система аксиом Гильберта евклидовой геометрии §7. Обзор аксиоматики Гильберта евклидовой геометрии
- •I. Аксиомы принадлежности.
- •II. Аксиомы порядка.
- •III. Аксиомы конгруэнтности.
- •IV. Аксиомы непрерывности.
- •Лекция 5. Аксиоматика плоскости Лобачевского. Элементарные теоремы планиметрии Лобачевского §8. Независимость аксиомы параллельных от остальных аксиом евклидовой геометрии
- •§9. Элементарные теоремы геометрии Лобачевского
- •§10. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского
- •Лекция 6. Определение длины отрезка. Понятие площади плоской фигуры.
- •§11. Длина отрезка как результат процесса измерения
- •§12. Определение длины отрезка на основе расстояния между точками
- •§13. Аксиоматическое определение длины отрезка
- •§14. Площадь многоугольной фигуры
- •§15. Расширение класса квадрируемых фигур
- •Лекция 7. Величина и её измерение §16. Измерение объемов многогранных тел
- •§17. Расширение класса кубируемых фигур
- •§18. Понятие величины и её измерение
- •Литература
III. Аксиомы конгруэнтности.
Если даны отрезок и луч, то существует точка, принадлежащая лучу, такая, что отрезокконгруэнтен отрезку. Единственность точкиможно доказать.
Если отрезки и конгруэнтны одному и тому же отрезку, то отрезокконгруэнтен отрезку.
Если точка лежит между точкамии, алежит между точкамии, и отрезокконгруэнтен отрезку, а отрезокконгруэнтен отрезку, то отрезкииконгруэнтны.
Пусть даны , лучи полуплоскостьс границей. Тогда в полуплоскостисуществует единственный луч, такой, что, кроме того.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника конгруэнтны соответственно сторонам и углу между ними другого треугольника, то конгруэнтны соответственные углы при других вершинах треугольника.
Основываясь на аксиомах первых трех групп, можно доказать:
Отношение конгруэнтности отрезков является отношением эквивалентности на множестве отрезков.
В равнобедренном треугольнике углы при основании конгруэнтны.
Считая конгруэнтными два треугольника, у которых соответственные стороны и соответственные углы конгруэнтны, можно доказать три признака конгруэнтности треугольников.
Отношение конгруэнтности углов является отношением эквивалентности на множестве углов.
Введя понятие смежных углов, прямого угла, как угла, конгруэнтного смежному с ним, можно доказать, что все прямые углы конгруэнтны.
Введя сравнение отрезков и углов, можно доказать, что внешний угол треугольника больше каждого угла треугольника, не смежного с ним.
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
Определив середину отрезка и биссектрису угла, можно доказать, что любой отрезок имеет единственную середину, любой угол имеет единственную биссектрису.
Определив сумму и разность отрезков, можно доказать, что во всяком треугольнике каждая сторона меньше суммы и больше разности двух других сторон.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше каждого катета.
Три медианы (соответственно три высоты, три биссектрисы) треугольника пересекаются в одной точке.
IV. Аксиомы непрерывности.
Здесь мы приводим изложение, принятое в учебной литературе, отличное от схемы Гильберта.
4.1. (Аксиома Архимеда). Пусть и– какие-либо два отрезка. На лучесуществует конечное множество точек.таких, что выполняются условия:
а) ;
б) отрезки конгруэнтны отрезку;
в) точка лежит междуи.
4.2. (Аксиома Кантора). Пусть на прямой дана бесконечная последовательность отрезков, удовлетворяющая условиям:
а) каждый последующий отрезок содержится в предыдущем;
б) для любого наперед заданного отрезка найдется, что.
Тогда существует точка , принадлежащая каждому из отрезков последовательности (можно доказать, что такая точка единственная).
Можно доказать, что аксиомы 4.1 и 4.2 при сохранении аксиом I и III групп эквивалентны предложению Дедекинда:
Пусть точки отрезка разбиты на два классаи, то естьи, так что выполняются условия:
точка принадлежит классу, точка– классу; классы содержат точки, отличные от и;
каждая точка класса, отличная от, лежит междуи любой точкойвторого класса.
Тогда существует единственная точка , такая, что точки, лежащие между и, принадлежат классу, а точки, лежащие междуи, – классу.
Относительно точки говорят, что онапроизводит сечение (дедекиндово сечение) отрезка, ее называют дедекиндовой точкой.
Теорию, построенную на аксиомах I-IV группы, называют абсолютной геометрией. К ней, в частности, относятся теория измерения отрезков и углов, теоремы о пересечении прямой и окружности, двух окружностей. Особо выделим следующие теоремы абсолютной геометрии.
Т е о р е м а. (Первая теорема Саккери-Лежандра). Сумма углов треугольника меньше или равна двум прямым углам.
Т е о р е м а. Через точку вне прямой можно провести прямую, не пресекающуюся с данной прямой.
V. Аксиома параллельных.
5.1. (Предложение Плейфера). Через точку вне прямой можно провести не более одной прямой, не пересекающейся с данной.
Две прямые плоскости, не имеющие общей точки, называются параллельными прямыми.
Из аксиомы параллельных и теоремы 12 следует, что через точку вне прямой проходит единственная прямая, параллельная данной.
Опираясь на аксиомы I-V группы можно установить существование подобных фигур, доказать теорему Пифагора, развить теорию измерения площадей и многое другое, что составляет содержание евклидовой геометрии плоскости.
С современной точки зрения аксиоматика Гильберта представляется чрезвычайно сложной и неоправданно громоздкой. Надо обладать большим терпением, чтобы с помощью этой аксиоматики добраться до узловых теорем геометрии и при этом не запутаться в огромном количестве промежуточных
лемм, теорем и следствий.
В теории этой аксиоматики достаточно сложно вводятся понятия расстояния между точками, длины отрезка, величины угла. Недостатком является и то обстоятельство, что она никак не связана с понятием векторного пространства, которое в наше время играет в математике важную роль. Немецкий математик Герман Вейль в 1918 году предложил аксиоматику евклидова пространства, основанную на широком применении понятия вектора. Можно доказать, что аксиоматики Гильберта иВейля эквивалентны, то есть, теории, определяемые ими, совпадают.