- •Лекция 2. Понятие кривой. Гладкие кривые. Канонический репер. Формулы Серре-Френе §2. Понятие кривой
- •§3. Гладкие кривые
- •§4. Касательная к кривой
- •§5. Длина кривой
- •§6. Канонический репер
- •§7. Формулы Серре-Френе
- •Лекция 3. Понятие поверхности. Гладкие поверхности. Координатная сеть на поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности §8. Векторная функция двух скалярных аргументов
- •§9. Понятие поверхности
- •§10. Кривые на поверхности
- •§11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Лекция 4. Первая и вторая квадратичная форма поверхности §12. Первая квадратичная форма поверхности
- •§13. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна линий на поверхности
- •§14. Индикатриса Дюпена
- •Лекция 5. Понятие внутренней геометрии поверхностей §15. Главные направления на поверхности. Полная и средняя кривизна поверхности. Формула Эйлера
- •§16. Внутренняя геометрия поверхности
- •Раздел IX. Основания геометрии
- •Лекция 1. Род структур. Основные математические структуры курса геометрии §1. Род структур
- •§2. Основные математические структуры курса геометрии
- •Лекция 2. Теория рода структур. Модель системы аксиом. Основные свойства системы аксиом §3. Теория рода структур
- •§4. Модель системы аксиом
- •§5. Основные свойства системы аксиом
- •Лекция 3. Основные этапы истории развития геометрии. «Начала» Евклида. Проблема пятого постулата и ее решение §6. Основные этапы истории развития геометрии. «Начала» Евклида
- •Лекция 4. Система аксиом Гильберта евклидовой геометрии §7. Обзор аксиоматики Гильберта евклидовой геометрии
- •I. Аксиомы принадлежности.
- •II. Аксиомы порядка.
- •III. Аксиомы конгруэнтности.
- •IV. Аксиомы непрерывности.
- •Лекция 5. Аксиоматика плоскости Лобачевского. Элементарные теоремы планиметрии Лобачевского §8. Независимость аксиомы параллельных от остальных аксиом евклидовой геометрии
- •§9. Элементарные теоремы геометрии Лобачевского
- •§10. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского
- •Лекция 6. Определение длины отрезка. Понятие площади плоской фигуры.
- •§11. Длина отрезка как результат процесса измерения
- •§12. Определение длины отрезка на основе расстояния между точками
- •§13. Аксиоматическое определение длины отрезка
- •§14. Площадь многоугольной фигуры
- •§15. Расширение класса квадрируемых фигур
- •Лекция 7. Величина и её измерение §16. Измерение объемов многогранных тел
- •§17. Расширение класса кубируемых фигур
- •§18. Понятие величины и её измерение
- •Литература
§4. Модель системы аксиом
Для каждого рода структур
возникает вопрос о применимости его теории: «Существуют ли конкретные множества , на которых указан конкретный смысл отношенийтак, что все аксиомывыполняются?».
В случае положительного ответа на этот вопрос, эти конкретные множества и конкретные отношения называются моделью M рода структур или интерпретацией системы аксиом . При этом говорят, что на множествах определена структура данного рода структур.
Примеры моделей систем аксиом.
I. Одна из моделей поля действительных чисел строится на базе множества бесконечных десятичных дробей с определенными для них сложением, умножением и порядком [12].
Эта модель называется арифметической моделью поля действительных чисел.
II. Легко построить арифметическую модель -мерного векторного пространства, взяв в качестве множествадекартову-ю степень множества– поля действительных чисел, и определив сложение векторов и умножение вектора на число по следующим правилам:
.
III. Определив в арифметической модели -мерного векторного пространства скалярное умножение векторови по следующему правилу: , получим арифметическую модель евклидова-мерного векторного пространства.
IV. Для построения арифметической модели системы аксиом Вейля -мерного аффинного пространства, нужно взять в качестве множеств базы: ,.
Отображение каждой паре точекиставит в соответствие вектор.
Тогда для точки и векторасуществует единственная точка , что.
Для любых трех точек ,,имеем:
,
,
,
.
Таким образом, аксиомы Вейля -меного аффинного пространства выполняются.
V. Из примеров III и IV ясно как построить арифметическую модель евклидова -мерного точечного пространства.
VI. Построим модель системы аксиом проективного -мерного пространства над полемдействительных чисел. В качестве множестварассмотрим множество классов, состоящих из ненулевых матриц-строк издействительных чисел, таких, что все матрицы одного класса отличаются друг от друга числовыми множителями. В качествевозьмем– арифметическую модель-мерного векторного пространства.
Тогда отображение можно определить следующим образом. Векторупоставим в соответствие класс, содержащий матрицу-строку. Выполнение аксиом 1-2 проективного пространства очевидно.
VII. На всяком непустом множестве X можно задать метрику, положив, например, . Легко проверить выполнение аксиом метрического пространства.
Таким образом, имеем бесконечно много моделей метрического пространства.
VIII. Легко построить бесконечно много моделей топологического пространства, определяя на всяком непустом множестве X антидискретную топологию, полагая или дискретную топологию, полагая– семейство всех подмножеств множества X.
С помощью координат векторов в некотором базисе легко устанавливается изоморфизм любой модели -мерного векторного пространства с арифметической моделью.
Аналогично, с помощью координат векторов в ортонормированном базисе легко установить изоморфизм любой модели -мерного евклидова векторного пространства с арифметической моделью.
Задание аффинной системы координат в любой модели аффинного -мерного пространства позволяет установить изоморфизм этой модели с арифметической моделью.
Аналогично, задание прямоугольной системы координат в любой модели евклидова -мерного точечного пространства позволяет установить ее изоморфизм с арифметической моделью этого пространства.
Задание базиса в векторном пространстве любой модели проективного -мерного пространства позволяет установить изоморфизм этой модели с построенной выше моделью проективного-мерного пространства.