- •Лекция 2. Понятие кривой. Гладкие кривые. Канонический репер. Формулы Серре-Френе §2. Понятие кривой
- •§3. Гладкие кривые
- •§4. Касательная к кривой
- •§5. Длина кривой
- •§6. Канонический репер
- •§7. Формулы Серре-Френе
- •Лекция 3. Понятие поверхности. Гладкие поверхности. Координатная сеть на поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности §8. Векторная функция двух скалярных аргументов
- •§9. Понятие поверхности
- •§10. Кривые на поверхности
- •§11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Лекция 4. Первая и вторая квадратичная форма поверхности §12. Первая квадратичная форма поверхности
- •§13. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна линий на поверхности
- •§14. Индикатриса Дюпена
- •Лекция 5. Понятие внутренней геометрии поверхностей §15. Главные направления на поверхности. Полная и средняя кривизна поверхности. Формула Эйлера
- •§16. Внутренняя геометрия поверхности
- •Раздел IX. Основания геометрии
- •Лекция 1. Род структур. Основные математические структуры курса геометрии §1. Род структур
- •§2. Основные математические структуры курса геометрии
- •Лекция 2. Теория рода структур. Модель системы аксиом. Основные свойства системы аксиом §3. Теория рода структур
- •§4. Модель системы аксиом
- •§5. Основные свойства системы аксиом
- •Лекция 3. Основные этапы истории развития геометрии. «Начала» Евклида. Проблема пятого постулата и ее решение §6. Основные этапы истории развития геометрии. «Начала» Евклида
- •Лекция 4. Система аксиом Гильберта евклидовой геометрии §7. Обзор аксиоматики Гильберта евклидовой геометрии
- •I. Аксиомы принадлежности.
- •II. Аксиомы порядка.
- •III. Аксиомы конгруэнтности.
- •IV. Аксиомы непрерывности.
- •Лекция 5. Аксиоматика плоскости Лобачевского. Элементарные теоремы планиметрии Лобачевского §8. Независимость аксиомы параллельных от остальных аксиом евклидовой геометрии
- •§9. Элементарные теоремы геометрии Лобачевского
- •§10. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского
- •Лекция 6. Определение длины отрезка. Понятие площади плоской фигуры.
- •§11. Длина отрезка как результат процесса измерения
- •§12. Определение длины отрезка на основе расстояния между точками
- •§13. Аксиоматическое определение длины отрезка
- •§14. Площадь многоугольной фигуры
- •§15. Расширение класса квадрируемых фигур
- •Лекция 7. Величина и её измерение §16. Измерение объемов многогранных тел
- •§17. Расширение класса кубируемых фигур
- •§18. Понятие величины и её измерение
- •Литература
§13. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна линий на поверхности
Пусть на гладкой поверхности классазадана гладкая линия. При смещении точкипо этой линии имеем. Отсюда находим
.
Пусть – единичный вектор нормали к поверхности в точке, тогда
.
Обозначив , получаемвторую квадратичную форму поверхности:
.
Можно получить другое выражение второй квадратичной формы и её коэффициентов. Дифференцирование тождества дает. Отсюда
Вектор кривизны гладкой кривой в точкена поверхности можно разложить на две составляющие:
а) вектор нормальной кривизны, параллельный нормали к поверхности в точке ;
б) вектор геодезической кривизны,принадлежащий касательному векторному пространству в точке.
Вектор ортогонален к вектору касательной к линии, так как векторыи ортогональны . Следовательно, вектор коллинеарен вектору . Имеем
.
Числа иназываются соответственнонормальной и геодезической кривизной линии на поверхности в точке .
Таким образом, нормальная кривизна линии на поверхности в точке– это проекция вектора кривизнылинии на единичный векторнормали к поверхности.
Если линия на поверхности задана в естественной параметризации , то имеем
.
Тогда .
Заменив первой квадратичной формой, получаем
.
Видим, что нормальная кривизна линии на поверхности в точке зависит от точки (ибо функциикриволинейных координат принимают в точке определенные значения) и от направлениякасательной к кривой в точке (ибо числитель и знаменатель – однородные функции отипорядка 2). Таким образом, все кривые, проходящие через данную точку и имеющие один и тот же касательный вектор, имеют одну и ту же нормальную кривизну в этой точке. То есть нормальная кривизнаесть характеристика поверхности в данной точке в данном направлении, поэтому её называютнормальной кривизной поверхности в точке в данном направлении.
Для сечения поверхности плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности в точке (нормального сечения) либо , либо. В первом случае, во втором. Таким образом, абсолютная величина нормальной кривизны равна кривизне нормального сечения.
Направление на поверхности в точке называетсяасимптотическим, если нормальная кривизна поверхности в этом направлении равна нулю. Таким образом, асимптотическое направление на поверхности в точке определяется уравнением .
Выясняя число асимптотических направлений в точке на поверхности, получим, что
а) при любое направление в точке на поверхности является асимптотическим;
б) при в тчке на поверхности нет асимптотических направлений;
в) при в тчке на поверхности существуют два асимптотических направления;
г) при в тчке на поверхности существует одно асимптотическое направление.
Имеет место
Т е о р е м а. Для того, чтобы любое направление в точке гладкой поверхности было асимптотическим, необходимо и достаточно, чтобы поверхность в окрестности точки являлась частью плоскости.
Линия на поверхности называется асимптотической, если в каждой её точке касательный вектор имеет асимптотическое направление.
Т е о р е м а. (характеристическое свойство асимптотических линий). Для того, чтобы линия на поверхности была асимптотической, необходимо и достаточно, чтобы она была промежутком прямой или, чтобы в каждой её точке соприкасающаяся плоскость совпадала с касательной плоскостью поверхности.