§10. Кривые на поверхности

Пусть гладкая поверхность задана уравнением . Еслиизадать как функции от параметра, который пробегает некоторый промежутоктак, что, функциииимеют непрерывные производные до порядкавключительно, а производныене обращаются в нуль одновременно ни в одной точке из, то будем иметь на поверхности гладкую линию, задаваемую уравнением

.

Равенства называютсявнутренними уравнениями линии на поверхности.

Касательный вектор линии на поверхности в точке :

.

В частности, если положить , то получим гладкую линию на поверхности, которая называется линией. Вектор является касательным к линии в точке .

Аналогично, при имеемлинию, касательный вектор которой в точке.

и линии называюткоординатными линиями. Через каждую точку гладкой поверхности проходит в точности по одной линии из каждого семейства координатных линий.

§11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательный вектор гладкой линии на гладкой поверхности в точкепараллелен плоскости, а значит, касательная к линии в точкележит в этой плоскости. Более того, имеет место

Т е о р е м а. Любая прямая плоскостиявляется касательной к некоторой линии на поверхности в точке.

Плоскость , в которой лежат касательные ко всем гладким линиям на гладкой поверхности, проходящим через точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке .Эта плоскость определяется точкой и векторами .

Нормалью к гладкой поверхности в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной плоскости.

Нормаль к поверхности определяется точкой и вектором . Несложно показать, что при замене криволинейных координат, получим вектор, коллинеарный вектору. Это значит, что направление нормали к поверхности в точке, а значит, нормаль и касательная плоскость не зависят от выбора криволинейных координат, определяются только геометрической формой поверхности.

Лекция 4. Первая и вторая квадратичная форма поверхности §12. Первая квадратичная форма поверхности

Смещая по гладкой поверхности вдоль какой-либо кривойиз точкив бесконечно близкую точкуимеем, где.

Тогда .

Векторы , а следовательно, и их скалярные произведения суть функции отии зависят лишь от выбора точки. Введем для скалярных произведений обозначения:

.

Имеем . Правая часть этой формулы является квадратичной формой по отношению к дифференциалам.

Квадратичная форма положительно определенная и называетсяпервой квадратичной формой гладкой поверхности или её линейным элементом.

Из принятых обозначений следует, что . Кроме того, применяя тождество Лагранжа, получим, поэтому.

Если задана первая квадратичная форма поверхности, другими словами, заданы функции , то хотя бы мы ничего больше не знали о поверхности (ни её формы, ни её уравнения и др.), мы можем вычислять длины кривых на поверхности, углы между ними и площади областей поверхности.

1. Длина дуги находится по формуле .

Отсюда . Так как, то получаемформулу для вычисления длины дуги

.

При этом являются функциями оти, а те в свою очередь функциями от, то есть под знаком интеграла стоит функция от.

2. Углом между пересекающимися кривыми называется угол между их касательными в точке пересечения. Если – касательные векторы к линиям в точке(символыиобозначают дифференцирование вдоль рассматриваемых линий), то уголможно найти из условия. Получаем

,

где находятся из уравнений,из уравнений, значения всех функций вычисляются в точкепересечения кривых.

В частности, для координатных линий получаем . Таким образом, координатная сеть является ортогональной тогда и только тогда, когда.

3. Для площади элементарной гладкой поверхности, заданной векторной функцией с областью определения, справедлива формула

.