§16. Внутренняя геометрия поверхности

К внутренней геометрии поверхности относят такие свойства этой поверхности и фигур на ней, которые определяются только коэффициентами первой квадратичной формы.

Таким образом, к внутренней геометрии поверхности относятся длины дуг кривых на поверхности, углы между кривыми, площади областей.

Одной из основных теормем внутренней геометрии поверхности является теорема Гаусса

Т е о р е м а. Полная кривизна гладкой поверхности выражается только через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные, а значит, относится к внутренней геометрии поверхности.

Ещё одним объектом внутренней геометрии является геодезическая кривизна линии в точке на поверхности.

Гладкая линия на поверхности называется геодезической, если в каждой её точке геодезическая кривизна равна нулю. Понятие геодезической линии так же относится к внутренней геометрии поверхности.

Очевидно, линия, для которой , является геодезической тогда и только тогда, когда в каждой её точке нормаль к поверхности является главной нормалью линии.

Геодезические линии на поверхности играют роль аналогичную роли прямых на плоскости:

– подобно тому, как на плоскости из каждой точки исходит пучок прямых, на поверхности через каждую точку проходит пучок геодезических линий;

– геодезическая линия является «прямейшей» линией поверхности в том смысле, что в каждой её точке по направлению этой линии нельзя провести другую линию с меньшей кривизной;

– на плоскости кратчайшее расстояние между двумя точками дает отрезок прямой, проходящей через эти точки; на поверхности кратчайшей линией, соединяющей две точки, является геодезическая линия.

Две поверхности называются изометричными, если существует биекция одной поверхности на другую, при которой сохраняются длины дуг.

Две гладкие поверхности изометричны тогда и только тогда, когда они допускают такие параметризации, при которых в точках этих поверхностей с одинаковыми криволинейными координатами равны соответствующие коэффициены их первых квадратичных форм. А это значит, что две поверхности изометричны тогда и только тогда, когда их внутренние геометрии совпадают.

Раздел IX. Основания геометрии

Курс «Основания геометрии» является завершающим в геометрической подготовке будущих учителей математики.

Его задачами являются

− раскрытие сути современного формально-логического построения математических теорий и рассмотрение с этих позиций изученных ранее геометрических структур;

– знакомство с процессом исторического развития геометрии, динамикой целей и содержания геометрических исследований; обзор построения геометрии евклидовой плоскости на основе системы аксиом Гильберта;

– определение геометрии Лобачевского, изучение её специфических свойств;

– формирование представления о величине как основном понятии математики.

Лекция 1. Род структур. Основные математические структуры курса геометрии §1. Род структур

Можно заметить, что изученные в курсе алгебры понятия группы, поля, в курсе математического анализа − понятие поля действительных чисел, в курсе геометрии − понятия векторного и евклидова векторного пространства над полем действительных чисел, аффинного и евклидова точечного пространства, проективного, метрического и топологического пространства, определялись по одной и той же схеме, аксиоматическим методом:

− указывалось конечное множество символов , обозначающих непустые множества;

− указывалась совокупность (возможно бесконечная) символов , обозначающих отношения на множествах выбранной системы, то есть обозначающих подмножествамножеств , где− декартово произведение раз взятых сомножителей;

− задавался некоторый набор формул , полученных с помощью правил построения из математической логики.

Говорят, что набор объектов

определяет род структур.

Символы определяютбазу рода структур.

Формулы называютсяаксиомами рода структур и в дальнейшем истолковываются как высказывания и часто записываются в словесной форме.

Рассмотрим еще раз с этих позиций основные математические структуры курса геометрии.