§12. Определение длины отрезка на основе расстояния между точками

Исходя из вейлевской аксиоматики евклидова пространства, можно ввести расстояние между точками: . Тогда длиной отрезкапри выбранной единице измеренияназовем число.

Можно проверить, что длина отрезка, определенная таким образом, обладает свойствами I – IV, сформулированными выше.

Возникает естественный вопрос: совпадают ли между собой в вейлевской схеме построения геометрии определение длины отрезка на основе процесса измерения и на основе расстояния между точками. Вопрос этот решается теоремой единственности, которая достаточно просто доказывается в аксиоматической теории длины.

§13. Аксиоматическое определение длины отрезка

Пусть – множество всех отрезков,– множество всех положительных чисел.

Говорят, что задано измерение отрезков, если определено отображение , удовлетворяющее следующим аксиомам:

Д1. ;

Д2. ;

Д3. .

Отрезок называетсяединицей измерения. Число называетсядлиной отрезка при заданной единице измерения.

Т е о р е м а 1. Для каждой фиксированной единицы измерениясуществует, и притом только одно, отображение , удовлетворяющее аксиомам Д1 – Д3.

Отметим, что теорема существования и единственности является не только важным принципиальным результатом, проливающим свет на понятие длины отрезка, но также служит важным средством получения новых фактов. Так как существует только одно отображение , удовлетворяющее аксиомам Д1-Д3, то все дальнейшие свойства длины отрезка должны однозначно определяться этими аксиомами.

Например, можно доказать свойство о поведении длины отрезка при замене единицы измерения. Пусть иизмерения отрезков соответственно для единиц измеренияи. Тогдаи. Обозначимотображениев, определенное формулой.

Так как отличается отпостоянным множителем, то легко заметить, что,как иудовлетворяет аксиомам Д1-Д2. Кроме того,. Тогда, в силу теоремы существования и единственности измерения длин при выбранной единице измерения, следует, что. Поэтому.

Доказательство этого свойства с непосредственным использованием процесса измерения значительно сложнее.

Отметим, что каждая из аксиом Д1-Д3 не зависит от остальных аксиом.

§14. Площадь многоугольной фигуры

Построение понятия площади во многом аналогично определению длины отрезка. Однако, имеется существенное отличие, которое заключается в том, что если длина определяется для любого отрезка, то площадь определяется не для любой плоской фигуры. Должен быть выделен класс плоских фигур, для которых определяется площадь (класс квадрируемых фигур). В зависимости от классаквадрируемых фигур будем получать разное понимание площади.

Пусть M – множество всех многоугольных фигур на евклидовой плоскости. Под многоугольной фигурой будем понимать фигуру, которую можно представить как объединение конечного числа треугольников, не имеющих общих внутренних точек.

Точка называется внутренней для фигуры, если существует круг с центром в этой точке, содержащийся в данной фигуре. Точка называется граничной для фигуры, если любой круг с центром в этой точке имеет непустое пересечение и с фигурой, и с ее дополнением.

Множество всех граничных точек фигуры называется ее границей. Очевидно, что граница многоугольной фигуры состоит из конечного числа замкнутых ломаных.

Можно показать, что многоугольник, определяемый как часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной, является многоугольной фигурой. Обратное, конечно, неверно.

Если две многоугольных фигуры ине имеют общих внутренних точек, то объединениеназовемсуммой многоугольных фигур ии обозначим.

Пусть на плоскости задано измерение отрезков с единицей измерения . Говорят, что задано измерение площадей многоугольных фигур, если определено отображение, удовлетворяющее следующим аксиомам:

S1. ;

S2. ;

S3. , где– квадрат, стороной которого является единичный отрезок.

Квадрат называется единичным квадратом, числоназывается площадью многоугольной фигуры.

Т е о р е м а 1. Если измерение площадей многоугольных фигур задано, то для прямоугольника со сторонами длиныиплощадь равна.

С л е д с т в и е. Если измерение площадей многоугольных фигур задано, то:

– для трапеции числоравно произведению её средней линии на высоту;

– для треугольника числоравно половине произведения стороны на соответствующую высоту;

– для параллелограмма числоравно произведению стороны на соответствующую высоту.

Заметим, что в школьном курсе геометрии доказательство существования измерения площадей отсутствует, ставится лишь вопрос как вычислить площадь фигур.

Т е о р е м а 2. Для каждого фиксированного единичного квадрата существует, и притом только одно, отображение , удовлетворяющее аксиомам S1-S3.

С л е д с т в и е. При любом способе разбиения многоугольной фигуры на конечное множество треугольников сумма площадей этих треугольников будет одна и та же.