§15. Расширение класса квадрируемых фигур

Пусть – множество всех плоских фигур, обладающих следующим свойством: для любой фигурыи для любого числанайдутся такие две многоугольные фигуры, чтои.

Можно заметить, что:

- множество M всех многоугольных фигур евклидовой плоскости содержится в ;

- всякая фигура является ограниченной.

Из определения множества следует, что:

– числовое множество ограничено сверху и, следовательно, имеет точную верхнюю грань– внутренняя жорданова мера фигуры;

– числовое множество ограничено снизу и, следовательно, имеет точную нижнюю грань– внешняя жорданова мера фигуры.

Так как и, то имеем

.

Поскольку – произвольное положительное число, то. Числоназываютплощадью фигуры , а фигуруквадрируемой. Тем самым определяется отображение . Можно проверить, что отображениеудовлетворяет свойствам:

S1. ;

S2. ;

S3. , где– квадрат, стороной которого является единичный отрезок.

Заметим, что аксиомы S1 и S2 дают обоснование принципа равносоставленности в теории площадей плоских многоугольных фигур.

Две многоугольные фигуры называются равновеликими, если их площади равны.

Две многоугольные фигуры иназываются равносоставленными , если их можно представить как суммы одного и того же числа соответственно конгруэнтных многоугольных фигур.

Л е м м а 1. Если многоугольная фигура равносоставлена с многоугольной фигурой, а фигураравносоставлена с многоугольной фигурой, то фигурыиравносоставлены.

Очевидно, если , то. На этом свойстве основан «метод разложения» при вычислении площадей многоугольных фигур. Именно этим способом находят в школьном курсе формулы для вычисления площади параллелограмма, треугольника, трапеции.

Всякие ли две равновеликие многоугольные фигуры равносоставлены? Утвердительный ответ на этот удивительный вопрос был дан (почти одновременно) венгерским математиком Фаркашем Бойяи (1832 г.) и немецким офицером и любителем математики Гервином (1833 г.).

Т е о р е мс а Бойяи-Гервина. Две многоугольные фигуры, имеющие равные площади, равносоставлены.

Лекция 7. Величина и её измерение §16. Измерение объемов многогранных тел

Теория объемов строится аналогично теории площадей: определяется класс кубируемых тел и вводятся три аксиомы, аналогичные аксиомам площади, после чего доказывается теорема существования и единственности.

Наиболее простым классом кубируемых тел является класс M всех многогранных тел пространства.

Под многогранным телом понимается фигура, которую можно представить как объединение конечного числа тетраэдров, не имеющих общих внутренних точек.

Точка называется внутренней для фигуры, если существует шар с центром в этой точке, содержащийся в данной фигуре. Точка называется граничной для фигуры, если любой шар с центром в этой точке имеет непустое пересечение и с фигурой, и с ее дополнением.

Под суммой понимается объединение многогранных тели, не имеющих общих внутренних точек.

Пусть задано измерение отрезков с единицей измерения .

Говорят, что задано измерение объемов многогранных тел, если определено отображение , удовлетворяющее следующим аксиомам:

V1. ;

V2. ;

V3. , где– куб, ребром которого является единичный отрезок.

Куб называется единичным кубом, числоназывается объемом многогранного тела.

Справедливы следующие теоремы.

Т е о р е м а 1. Если измерение объемов многогранных тел задано, то для прямоугольного параллелепипеда с измерениями, объем равен.

Т е о р е м а 2. Для каждого фиксированного единичного отрезка существует, и при том, только одно, отображение , удовлетворяющее аксиомамV1-V3.

С л е д с т в и е. При любом способе разбиения многогранного тела на конечное множество тетраэдров сумма объемов этих тетраэдров будет одна и та же.