Landsberg-1985-T1

проведенная из той же точки, дает результирующий вектор

(рис. 39, б).

Векторам противоположного направления приписывают

противоположные знаки. На рис. 40 векторы, равные по

модулю и противоположные по направлению, различаются

только знаком: А=-В.

Аналогично сложению векторов можно определить и их

вычитание: вычесть вектор -			значит прпбавить вектор про­
			~- ..	~­ --I ,
тивоположного напраВ.'IеНiIЯ. В				параллелограмме одна из
диагоналей есть сумма веIПОРОВ, изображаемых его сторо­
нами,	вторая диагональ есть их разность (рис. 41).
		iSrj			а
				/	-За
		h		I /
			/	/ .	-1,5а
			/		~
		а
Рис.	40. Векторы	Рис. 41. Векторное вы­			Рис. 42. Умноже·
различаются толь­		читание:	d=a-b		ние вектора на
ко знаком: А=-В					число

Если складывают более чем два вектора (например, если

тело совершает более чем два последовательных переме­

щения), то сумма векторов (суммарное перемещение) полу­

чится путем последовательного прибавления к первому

вектору второго, к их сумме - третьего и т. д. Если данное

перемещение повторяется два, три и т. д. раз, то получаю­

щееся перемещение имеет то же направление, что и вектор

однократного перемещения, а по модулю в два, три и т. д.

раза больше однократного перемещения. Таким образом можно ввести УJ.Uюжен.ие вектора н,а число (на скаляр): вектор, умноженный на число (на скаляр) есть вектор того же направления, если число (т. е. скаляр) положительно,

ипротивоположного направления, если число (скаляр)

отрицательно; модуль результирующего вектора равен

модулю исходного вектора, умноженному на абсолютное

значение числа (скаляра). На рис. 42 изображены векторы

а, 3а и -1,5a.

? 23.1. Докажите, что по отношению к перемещениям справед­ ливы законы: перемесТlIтельный (а+Ь=Ь+а), сочетате.1JЬНЫЙ (а+ (Ь+с)=(а+Ь)+с) н распределительный д.1JЯ умножения на чнс.'10 (т(а+Ь)=та+тЬ),

§ 24. Разложение вектора на составляющие. Любой вектор

можно представить как сумму нескольких векторов. Напри­

мер,._, перемещение тела можно представить как результат

нескольких последовательных перемещений, переводящих

тело из того же начального в то же конечное положение.

Замену одного вектора векторной суммой нескольких

других называют разложение.}! вектора на составляющие.

Составляющие вектора, ко­		~U
нечно, тоже векторы. Раз­		1	,
ложение вектора на состав­			I
ляющие можно	произве­
сти бесконечным	числом

способов, Можно, напри­ Рис. 43. Разложение скорости са­

мер, разложить вектор по молета, набирающего высоту, на

двум данным направлени­ вертикальную и горизонтальную

составляющие

ШI, Тогда разлагаемый

вектор будет служить диа-

гональю параллелограмма, а с заданными направлениями

составляющих совпадут стороны параллелограмма (рис. 43). Если задать направление только одной составляющей,

то задача о разложении вектора не будет иметь определен­ ного ответа; на рис. 44 мы видим, что можно построить

'\~n~"

А А! Az А.}' AI(. А5 Afi А 7

Рис. 44. Разложение вектора Хв, в котором задано только направление АС одной составляющей. Вектор Хн может быть представлен как суммы

~

-+-

-?-

-+

---:10-

--~

векторов AAi и AB1 , АА2 И АВ2, ААз и АВа и т. д.

сколько угодно параллелограм\юв с заданной диагональю

(разлагаемый вектор) и задаННЫ::Vl направлением одной сто­

роны (направление одной из составляющих).

? 24.1. Самолет должен призе~!Литься в пункте А, лежащем в

.. 300 км К юго-западу от аэро~рома вылета, НО предварительно

он должен сбросить ВbJ~!Пел над аэродромом В, лежащим в 400 км

К юго-востоку ОТ аэродрома вылета, Чему равен модуль переме­

--->-

щения АВ?

Чаще всего производят разложение векторов по напраI3-

леНIIЯМ осей какой-либо прямоугольной системы координат

(рис. 45, а). На рис. 45, б изображен вектор а (он же АВ).

Проведем из точек А и В перпендикуляры к осям х и у. Точка пересечения перпендикуляра с осью называется проекциеU соотвеТСТI3УЮlЦей точки (А или В) на данную

63

ось (Х или У). На рисунке УI{азаны Iюординаты этих проекциЙ. Разность ХВ-ХА обозначается ах и называется nроекцией вектора а на ось х; аналогично, разность

УВ-УА обозначается ау и называется nроекцией вектора а

н.а ось У. Проекции называют также компонентами вектора

по координатным осям (ах - компонента BeI{TOpa а по оси

хит. д.). Проекции (компоненты) являются скалярами.

уzJ-'		y/~~		!1 1\
ах	31	УА -t~~-,А		31 • '~~		~~;
		318	.Z'A	А(	Аг	Bz	81 1&-'
а)			б)		8)
Рис. 45. а) Пример разложения вектора на					составляющие,		параллель­
ные координатным		осям.	6) и в)	Проекции	вектора	на KoopДHHaТlIЫC

оси

Для вектора, изображенного на рис. ~5, б, ХВ<ХА, вследствие чего проекция на ось Х отрицательна (ах<О); поскольку Ув>уА" проекция на ось У положительна (all>O). На рис. 45, б показаны длины отрезков, заключенных

между проекциями на ось начала и конца вектора. Эти дли­ НЫ должны выражаться положительными числами. Поэтому

значение длины отрезка между проекциями точек А и В на ось Х указано в виде -ах (само йх<О; -ах>О). Отметим, что проекция вектора а, изображенного на рис. 45, в,

положительна, а проекция вектора Ь отрицате.JIьна.

Дадим еще одно определение проекции вектора. На рис. 45, в показаны векторы а и Ь и их проекции на произ­ вольную ось Х. Проекция вектора а (т. е. ах) равна длине

отрезка А1А 2, взятой со знаком плюс (так как ах>О); проекция вектора Ь (т. е. Ьх) равна длине отрезка В2В1,

взятой со знаком минус (так как Ьх<О). Напомним, что на рисунке проставлена длина отрезка В 2В1, которая выража­ ется положительным числом, равным -Ьх.

Из рис. 45, в видно, что длина отрезка А1А 2 (т. е. ах)

равн" длине отрезка, изображающего вектор а (т. е. модулю

вектора а), умноженной на косинус угла а между направле­

нием оси Х и направлением вектора. Следовательно, ах=

=а cos а. Длина отрезка В281 равна длине отрезка, изоб­

ражающего вектор Ь (Т. е. модулю вектора Ь), умноженной

на косинус угла n-~. ПроеIЩИЯ вектора Ь равна этой

длине, ВЗЯтОЙ со знаком минус. Следовательно, Ь,,= =-Ь соs(л-~)=Ь cos~.

Таким образом, независимо от TOГO~ какой угол образует

направление вектора с направлен.Ием оси Х, проекция 1361{-

тора на ось определяется формулой

ах = а cosa.

(24.1)

Если «<л/2, то ах>О, если «>л/2, то ах<О. При «=л/2

проекция вектора равна нулю.

Очевидно, что модуль и направление вектора (а следова­

тельно, и сам вектор) .полностью определяются заданием

проекций вектора на координатные оси *). В частности, для

Рис. 46. Проектирование движения точки М иа оси координат

векторов, лежащих в плоскости Х, у, модуль определяется

формулой а = Va~ +a~. «Длины» и знаки проекций опреде­

ляют направление вектора.

Пусть какая-либо точка движется по прямой. Выберем какую­ нибудь систему координат ху и спроектируем движущуюся точку на оси координат (рис. 46). На рисунке показаны проекции Мх и Му точки,

занимающей в даиный момент положение М. При движении точки будут

двигаться и ее проекцин. Если точка М совершила перемещение АВ, то за то же время ее проекции совершили перемещения АхВх , АуВу · по соответственным осям. Из построения видно, что nроекции nереJtещенuя движущейсн точки М равны nереJtещеНUЯJt ее nроекций М" и Му по осям ~оординат. Если точка двигалась равномерно, то п]>оекции также дви­ гались равномерно. Разделив перемещения точки и ее проекций на время t движения точки, найдем скорости и. их и иу точки М и ее проекций

М" и Му•

.

Можно показать, что nроекция скорости точки равна скорости дви­

!Жения ее nроекции. Точно так же мОжНо показать, что при неравномер­

ноМ движевии точки по прямой проекции ее мгновенной скорости и ускорения равны мгновенныМ скоростям и ускорениям ее проекциЙ.

'") Мы рассматриваем свободные векторы, т. е. векторы, которые мо­

гут перемещаться как угодно, оставаясь паралJiельными самим себе.

(ПрuJte<l. ред.)	.
3 элементарный Учебиик физики, т. 1	65

Обратно, еCJIИ известны перемещения, СКОРОСТИ пли ускорения проек­

ций движущейся точки на оси координат, то МОЖно найти перемещение,

скорость или ускорение, складывая получившиеся составляющие иско­

мого вектора по правилу параллелограмма.

Таким образом, вместо того чтобы рассматривать движение точки в

произвольном направлении, мы всегда можем рассматривать движение

только ВДQ.JlЬ определенных прямых - осей координат. В ряде случаев

выбор осей подсказывается самими условиями задачи. Например, изу­

чая Движение брошенного тела, удобно выбрать oc~, координат по вер­

тикали и ПО горизонтали,

§ 25. Криволинейное движение. Если точка движется по

криволинейной траектории, то перемещением точки по­ прежнему будем называть отрезок, соединяющий ее началь­

ное и конечное положения. Перемещение не будет лежать

на траектории, как это было при пря­

молинейном движении (рис. 47). Тем

не менее и при криво.1инеЙном дви­

жении. можно произвести разметку

траектории и «привязку» отдельных

положений движущейся точки к со­

ответственным моментам времени.

Нужно только отсчитывать путь не

по прямой, а вдоль криволинейной

траектории, как показано на рисунке.

~одуль скорости криволинейного

Рис. 47. Разметка кри,

волинейной траекто-

рии. Перем;;щение iB

ТочКи между ее поло­

жениями А и В не

лежит на траектории

движения определяется так же, ка/<

и модуль скорости прямолинейного движения: как отношение ПУТИ"прой­

денного точкой вдоль траектории за

достаточно малый промежуток вре­ мени, к этому промежутку. Пока

речь идет только о модуле скорости

И О пройденном пути, при криво-

линейном движении можно ввести

те же понятия равномерного и неравномерного (В ча­

стности, равнопеременного) движения, что и для пря­

молинейного движения. Точно так же можно ПОльзо­

ваться для расчета пути и модуля скорости теми же форму­

лами, что и для прямолинейного движения. Различие появ­

ляется только тогда, когда мы учитываем иаправление дви­

жения.

§ 26. CKOPOCT~ Криволинейного движения. Какое же направ­

лениё приписать скорости криволинейного движения? Ведь

при криволинейном движении нет определенного направле- .

ния движения. ~ы ответим на эадан~ый вопрос, введя .по-

66

нятие мгновенного направления скорости, подобно тому как

в § 15 мы ввели понятие мгновенной скорости прЯМолиней­

ного движения.

Для этого будем рассматривать I<риволинейное движение

за малые промежутки времени. Чем меньшие промежуТl<И

времени мы будем выбирать, тем меньше будет отличаться

соответственный малый уча­

сток траектории от ПРЯМОЛII­

нейного отрезка, например от

своей хорды. За достаточно малый промежуток вре:v!ени

данное движение будет неот­

личимо от прямолинейного.

Кроме того, для малого участ­

ка пути хорда будет практиче­

ски неотличима от касатель­

ной, проведенной в любой точ­

ке этого участка траектории.

Поэтому мгновенным направ­

лением скорости считают на­

правление касательной в той

точке траектории, где в дан­

ный момент находится движу­

щееся тело. Обычно слово

Рис. 48. Искры из-под предме­

та, обтачиваемого на точильиом круге, летят по касательной к

кругу

«мгновенное» опускают и говорят просто о направлении

скорости.

Частицы вращающегося точильного камня ДВИЖУТСЯ по

окружностям. Коснемся вращающегося камня концом сталь­

ного прутка (РИС. 48). мы увидим искры - мелкие раска­

ленные частицы, отрывающиеся от камня и летящие с той скоростью, которую они имели в последний момент движе­ ния вместе с камнем. Переставляя пруток по окружности

камня, увидим, что направление вылета искр различно

в разных точках и всегда совпадает с касательной к окруж­

ности в той точке, где пруток прикасается к камню.

?26. t. Для того чтобы брызги от велосипедных колес не попадали

•на седока, над колесами устанавливают щитки в виде дуги окруж­

иости С центром на оси колеса. Изобразите схематически велоси­

пед с седоком и отметьте на PIf{;YHK~ наименьшие размеры щит­

IЮв, при' которых седок будет защищен от брызг.

§ 27. Ускоре1ше при криволинейном движении. Рассматри­

вая криволинейное движение тела, мы увидим, что его СКО­ рое1'Ь в разные моменты различна. Даже в том случае, когда

модуль скорости не меняется, все же имеет место изменение

61

§ 16);

направления скорости. В общем случае меняются и модуль

инаправление скорости.

Таким образом, при криволинейном движении скорость

непрерывно изменяется, так что это движение происходит

с ускорением. Для определения этого ускорения (по модулю

.		и	направлению)		требу-
Vf	.	• ется найти		изменение
_-C~-=~-.....-		скорости ка" ве"тора,
Vf		т. е. найти приращение
~----~		модуля скорости			и	из­
		менение ее направл ения.
		.	Пусть,	например,
Рис. 49. Изменение скоростн при кри'		точка, двигаясь кри-
ВOJIииеАном двнженин		волинейно		(рис.		49),
		имела в некоторый мо­
		мент скорость f11'			а через

малый промежуток времени - скорость f'1. Приращение

скорости есть разность между векторами 1:12 и 1:11. Так

как эти векторы имеют различное направление, то нужно

взять их векторную разность. Приращение скорости выра­ зится вектором /:J.1:I *), изображаемым стороной параллело­

грамма с диагональю 1:12 и другой стороной f1f. Ускорением а

называется отношение приращения скорости к промежутку

времени t, за который это прйращение произошло. Значит,

ускорение

/111

а=т,

По направлению а совпадает с вектором /:J.f1.

Выбирая t достаточно малым, придем к понятию мгно· венного ус"орения (ер. 'Ори произ~ольном t вектор а

будет представлять среднее ускорение за промежуток BP~'

мени t.

Направление ускорения при криволинейном движении

не совпадает с направлением скорости, в то время как для

прямолинейного движения эти направления совпадают (или

противоположны). Чтобы найти направление ускорения

при криволинейном движении, достаточно сопоставить на­

правления скоростей в двух близких точках траектории.

Так как скорости направлены по касательным к траекто­

рии, то по виду самой траектории можно сделать заключе·

*) Греческой буквой А (дельта) обозначают приращение скалярной

либо векторной величииы; например. AA=As-А1 - ПРИр'ащение моду­

ля вектора А. AA=A,-A1 - приращение вектора А. (ПрuJtеч. ред.)

68

ние, в какую сторону от траектории направлено ускорение.

Действительно, так как разность скоростей 'lJ S-'lJl В двух

близких точках траектории всегда направлена в ту сторо­

.ну, куда искривляется траектория, то, значит, и ускорение

всегда направлено в сторону

вогнутости траектории. На­

пример, когда шарик ка­

тится по изогнутому желобу

(рис. 50), его ускорение на участках АВ и ве направлено

так, как показывают стрелки,

причем это не зависит от того,

катится шарик от А к С или

вобратном направлении. Рассмотрим равномерное

движение точки по криволи­

нейной траектории. Мы уже

знаем, что это - ускоренное

движение. Найдем ускорение. Для этого· достаточно рас-

Рис. 50. Ускорения при криво­

линеilном движении всегда на·

правлены в сторону вогнутости

траектории

смотреть ускорение для частного случая равномерного

движения по окружности. Возьмем два близких положения А и В движущейся точки, разделенных малым промежутком времени t (рис. 51, а). Скорости движущейся ТОЧки в А и В

о

Рис. 51. К выводу формулы для центростремительного ускорения

равны по модулю, но различны по направлению. Найдем

разность этих скоростей, пользуясь правилом треуголь-.

ника (рис. 51, б). Треугольники ОАВ и О'А'В' подобны,

как равнобедренные треугольники с равными углами при

вершине. Длину стороны А'В', изображающей приращение

скорости за промежуток времени t, можно положить равной at, где а - 'модуль искомого ускорения. Сходственная ей сторона АВ есть хорда дуrи АВ; вследствие малости дуги'

69

длина ее хорды может быть приближенно принята равной

длине дуги, т. е. vt. Далее, O'A'=O'B'=v; OA=OB=R.

где R - радиус траектории. Из подобия треуголъников

следует, что отношения сходственных сторон в них равны:

at v

ы=7['

откуда находим модуль искомого ускорению

vll

а=/[. (27.1)

Направление ускорения перпендикулярно к хорде АВ.

ДЛЯ достаточно малых промежутков времени можно счи­

тать, что касательная к дуге практически совпадает с ее

хордой. Значит, ускорение можно считать направленным перпендикулярно (нормально) к касательной к траектории,

т. е. по радиусу к центру окружности. Поэтому такое

ускорение называют нормальным или центростремитель­

ным ускорением. .

Если траектория - не окружность,' а произвольная

кривая линия, то в формуле (27.1) следует взять радиус

окружности, ближе всего подходящей к кривой в данной

точке. Направление нормальногоускорения и в этом случае

будет перпендикулярно к касательной к траектории в дан­ ной точке. Если при криволинейном движении ускорение

постоянно по модулю и направлению, его можно найти

как отношение приращения скорости к промежутку вре­

мени, за который это приращение произошло, каков бы ни

был этот промежуток времени. Значит. в этом случае уско­

рение можно найти по формуле

a=fJ-;fJо,

(27.2)

аналогичной формуле (17.1) для прямолинейного движения с постоянным ускорением. Здесь 'lJo - скорость тела в на­

чальный момент, а 'lJ - скорость в момент времени t.

§ 28. Движение относительно разных систем отсчета. В § 2 МЫ объяснили, что одно и то-же движение тела' имеет раз­ личный характер в зависимости от того, к какой системе

отсчета отнесено это движение. Рассмотрим случай, когда

одна из систем отсчета движется относительно другой посту­

пательно. Ясно, что в этом случае вторая система движется

относительно первой также поступательно.

Для примера возьмем за такие системы отсчета Землю

,И железнодорожную платформу, движущуюся по прямому

10

участку пути. Пусть по платформе идет человек. Как, зная движение человека относительно платформы и движение платформы относительно Земли, найти движение человека

относительно Земли?

.

Если перемещение человека относительно платформы изображается вектором 8i, а перемещение платформы отно­ сительно Земли изображается вектором 82, то, как видно

Рис. 52. Сложение перемещений при движениях относительно раЗНЫJli

систем отсчета

из рис. 52, перемещение человека относительно Земли изоб­

разится вектором 8, представляющим собой диагональ па­

раллелограмма, построенного на векторах 8i и 82 как на

сторонах; это значит, что выполняется векторное равенство

8=81+8в. (28.1)

Так же можно найти перемещение тела и в других слу­

чаях: можно показать, что при переходе от одной системы

отсчета к другой nеремещеlluе тела u neремещеllue CUCfneMb4

отсчета складываются вектОРll0.

. Если движение человека относительно платформы и дВи­ жение платформы относительно Земли - прямолинейные и равномерные, то движение человека относительно Земли

также будет прямолинейным и равномерным. В этом случае.

разделив обе части равенства (28.1) на промежуток време­

ни t, в течение которого произошли перемещения, найдем

fJ=Vl+Vj,

(28.2)

где Vi - скорость человека относительно платформы, V:! -

скорость платформы относительно Земли и V - скорость человека относительно Земли. Значит, в этом случае ско­

.рость тела u скорость системы отсчета также складьюают­

ся вектОРll0.

Можно доказать, \то формула (28.2) справедлива и для

неравномерных движений, если под величинами Vi, V2" fI

понимать мгновенные скорости тела и системы отсчета.

Если платформа движется равномерно и прямолинейно,

то, как бы ни двигался человек по платформе, его скорость

отноСительно Земли будет отличаться от скорости отно-

71