Ограничение спектра сигнала наивысшей частотой m свидетельствует о непрерывности сигнала. Это значит, что ряд сходится к функции s(t) при любом значении t.

Ширина спектра сигнала s(t) и ширина спектра базисных функций Gk (t), используемых для представления этого сигнала рядом Котельникова, одинаковы и равны 2 m (рис. 3.20). Это соотношение определяется предельным случаем основного условия, фигурирующего в теореме Котельникова, а именно

t 12 fm .

Интервал t между выборками при дискретизации сигнала можно взять меньше, чем 12 fm . Тогда ширина спектра Sgk ( j ) базисной функции будет

больше, чем ширина спектра S( j ) сигнала. Это приведет к повышению точности воспроизведения сигнала, если граничная частота спектра сигнала определялась путем отсечения составляющих, выходящих за ее пределы. Заметим, что для сигналов с конечной длительностью граничная частота определяется всегда приблизительно, так как их спектр занимает бесконечную полосу частот.

Если же интервал между выборками взять больше, чем 12 fm , то ширина спектра Sgk ( j ) будет меньше ширины спектра сигнала, что может привести к

искажению сигнала при его восстановлении по выборкам.

Таким образом, уменьшение интервала между выборками при дискретизации сигнала с ограниченным спектром по сравнению с t 12 fm допустимо. При практическом применении дискретизации сигнала выбирают интервал дискретизации в 2 – 5 раз меньше, чем 12 fm .

3.6.3. Дискретизация сигнала с конечной длительностью

Сигнал с конечной длительностью с имеет спектр с бесконечно большой шириной. Однако на практике всегда можно определить частоту, вне которой составляющие спектра обладают малой энергией по сравнению с энергией сигнала. Условно эту частоту можно считать граничной частотой fm спектра. В этом случае сигнал длительностью с приближенно можно представить некоторым числом N выборок с шагом t 12 fm , причем

N c 1 2 fm c 1.t

Число 2 fm c называют иногда числом степеней свободы сигнала, или базой сигнала.

Таким образом, сигнал с конечной длительностью можно аппроксимировать рядом Котельникова с конечным числом членов, т.е.

	N	sin m(t k t)
	s(t) s(k t)
			.
	k 0	m(t k t)

Сигнал s(t), представленный в виде такого ряда, воспроизводится точно только в точках отсчетов k t. В промежутках между отсчетами возникает ошибка аппроксимации, которая возрастает у краев интервала с. С увеличением граничной частоты fm возрастает база сигнала и он аппроксимируется точнее.

На рис. 3.21 показан пример аппроксимации прямоугольного импульса при различных fm.

В первом случае (рис. 3.21,а) граничную частоту приняли	на уровне час-
тотного предела первого лепестка амплитудного спектра	сигнала,	т.е.
fm 1 c . При этом N 2fm c 1 3. Во втором случае (рис. 3.21,б)		– на

уровне второго лепестка спектра, т.е. fm 2 c . При этом N 2 fm c 1 5.

Рис. 3.21. Дискретизация сигнала конечной длительности

Как видно из рисунка, точность аппроксимации сигнала возрастает с увеличением граничной частоты спектра, которая учитывается при определении количества слагаемых ряда Котельникова.

3.6.4.Спектр дискретизированного сигнала

Впроцессе дискретизации аналогового сигнала s(t) формируется дискретизированный сигнал sд(t), представляющий собой совокупность отсчетных

значений s(k t) в дискретные моменты времени. Определим связь спектра S( j ) аналогового сигнала со спектром Sд( j ) дискретизированного сигнала.

Дискретизированный сигнал можно представить в виде последовательности -функций, взвешенных значениями отсчетов s(k t) аналогового сигнала

(рис. 3.22), т.е.

sд(t)	s(n t) (t n t).		(3.28)
n
Учитывая, что (t n t) 0	только при t n t, можно записать
sд(t) s(t)		(t n t).
		n

Сумма в данном выражении – это периодическая функция, которая может быть представлена в виде следующего ряда Фурье:

		jk дt
(t n t)			.
	Cke
n	k

Коэффициенты ряда равны

	1	t 2		jk дt		1
Ck	t		(t)e		dt		,
		t 2				t

где д 2 – частота дискретизации.

t

При вычислении коэффициентов Ck учтено селектирующее свойство - функции и тот факт, что в интервал интегрирования ( t2, t2) попадает только одна -функция при n 0.

Таким образом, периодическая последовательность -функций может быть представлена в виде следующего комплексного ряда Фурье:

1

(t n t)

e jk дt .

Тогда

n

t k

s(t)

jk

t

1

jk

t

sд(t) s(t)

(t n t)

e

д

s(t)e

д

.

t

t

n

k

k

Как следует из свойств преобразования Фурье, умножение сигнала на e jk дt приводит к сдвигу спектра этого сигнала вправо на величину k д. Поэтому спектр дискретизированного сигнала можно записать следующим образом:

	1
	Sд( j )		S[ j( k д)].	(3.29)
		t
			k

Таким образом, спектр дискретизированного сигнала представляет собой бесконечный ряд сдвинутых копий спектра аналогового сигнала s(t). Величина сдвига соседних копий спектра равна частоте дискретизации д (рис. 3.22).

Рис. 3.22. Дискретизированный сигнал и его спектр

Характер спектра дискретизированного сигнала демонстрирует частотновременную дуальность преобразования Фурье: периодический сигнал – дискретный спектр, периодический спектр – дискретный сигнал.

Способ восстановления непрерывного сигнала по дискретным отсчетам наглядно демонстрирует рис. 3.22. Для этого необходимо пропустить дискретный сигнал через идеальный фильтр нижних частот с частотой среза, равной половине частоты дискретизации. Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра показана пунктиром.

Точное восстановление сигнала возможно, если сдвинутые копии спектра не перекрываются. Из рис. 3.22 видно, что для этого необходимо, чтобы частота дискретизации как минимум в 2 раза превышала верхнюю граничную частоту в спектре сигнала, т.е. д 2 m t 12 fm (см. формулировку теоремы Котельникова).

Заметим, что представление сигнала в форме (3.28) упрощает спектральный анализ дискретных сигналов. Спектральную плотность Sд( j ) можно определить непосредственно по совокупности временных отсчетов без обращения к спектру аналогового сигнала:

Sд( j ) sд(t)e j tdt

s(n t) (t

n

	(t n t)s(n t)e j tdt
n
n t)e j tdt			j n t .
		s(n t)e

n

Следует отметить, что из-за наличия в формуле (3.29) множителя 1/∆t спектральная плотность дискретизированного сигнала имеет размерность, совпадающую с размерностью сигнала.