7.2. Способы аппроксимации характеристик нелинейных элементов

Характеристики реальных нелинейных элементов, которые определяют обычно с помощью экспериментальных исследований, имеют сложный вид и представляются в виде таблиц или графиков. В то же время для анализа и расчета цепей необходимо аналитическое представление характеристик, т.е. представление в виде достаточно простых функций. Процесс составления аналитического выражения для характеристик, представленных графически или таблично, называется аппроксимацией.

При аппроксимации решаются следующие проблемы:

1.Определение области аппроксимации, которая зависит от диапазона изменения входных сигналов.

2.Определение точности аппроксимации. Понятно, что аппроксимация дает приблизительное представление характеристики в виде какого-либо аналитического выражения. Поэтому необходимо количественно оценить степень приближения аппроксимирующей функции к экспериментально определенной характеристике. Чаще всего используются:

показатель равномерного приближения – аппроксимирующая функция

~

f (t) не должна отличаться от заданной функции f (t) более чем на некоторое число , т.е.

~

f (t) f (t) ;

показатель среднего квадратического приближения – аппроксимирующая

~

функция f (t) не должна отличаться от заданной функции f (t) в среднем квадратическом приближении более чем на некоторое число , т.е.

	1	t	~	2
			f	(t) f (t) dt ;
	t
		0

узловое приближение (интерполяционное) – аппроксимирующая функция

~

f (t) должна совпадать с заданной функцией f (t) в некоторых выбранных точках.

Существуют различные способы аппроксимации. Наиболее часто для аппроксимации ВАХ применяют аппроксимацию степенным полиномом и кусоч- но-линейную аппроксимацию, реже – аппроксимацию с использованием показательных, тригонометрических или специальных функций (Бесселя, Эрмита и др.).

7.2.1. Аппроксимация степенным полиномом

Нелинейную вольт-амперную характеристику в окрестности рабочей точки U0 представляют конечным числом слагаемых ряда Тейлора:

i(u) a0 a1(u U0) a2(u U0)2 ... an(u U0)n.

Количество членов ряда определяется требуемой точностью аппроксимации. Чем больше членов ряда, тем точнее аппроксимация. На практике необходимой точности добиваются, используя аппроксимацию полиномами второй и третьей степени. Коэффициенты a0, a1,a2,...,an – это числа, которые достаточно просто определяются из графика ВАХ, что иллюстрируется примером.

Пример.

Аппроксимировать представленную на рис. 7.1,а ВАХ i f (u) в окрестности рабочей точки U0 0,4 В степенным полиномом второй степени, т.е. полиномом вида

i a0 a1(u 0,4) a2(u 0,4)2 .

Выберем область аппроксимации u от 0,2 В до 0,6 В. Для решения задачи необходимо определить три коэффициента a0,a1,a2. Поэтому ограничимся тремя узловыми точками (в середине и на границах выбранного диапазона), для которых составляем систему трех уравнений:

0,07 a0 a1(0,2 0,4) a2(0,2 0,4)2 ; 0,25 a0 a1(0,4 0,4) a2(0,4 0,4)2; 0,53 a0 a1(0,6 0,4) a2(0,6 0,4)2.

	а	б
Рис. 7.1. Аппроксимация ВАХ транзистора:
а – степенным полиномом; б – тремя отрезками прямых
Решая систему уравнений,		определяем a0 0,25 мА,		a1 1,15мА В,
a2 1,25 мА В2 . Следовательно,		аналитическое выражение,		описывающее
график ВАХ, имеет вид
	i 0,25 1,15(u 0,4) 1,25(u 0,4)2 .

Заметим, что аппроксимация степенным полиномом используется в основном для описания отдельных фрагментов характеристик. При значительных отклонениях входного сигнала от рабочей точки точность аппроксимации может значительно ухудшиться.