Если ВАХ задана не графически, а какой-либо аналитической функцией и возникла необходимость представить ее степенным полиномом, то коэффициенты an вычисляются по известной формуле [1,10]:

an	1 dni(u)						.
				dun
	n!
						u U0
Нетрудно заметить, что a		di(u)					представляет собой крутизну
1				du
					u U0

ВАХ в рабочей точке. Значение крутизны существенно зависит от положения рабочей точки.

В некоторых случаях удобнее характеристику представлять рядом Макло-

рена

i(u) a0 a1u a2u2 ... anun .

7.2.2. Кусочно-линейная аппроксимация

Если входной сигнал изменяется по величине в больших пределах, то ВАХ можно аппроксимировать ломаной линией, состоящей из нескольких отрезков прямых. На рис. 7.1,б показана ВАХ транзистора, аппроксимированная тремя отрезками прямых.

Математическая формула аппроксимированной ВАХ

	0	при u u1 ,
		при u1 u u2 ,
i S(u u1)
	i1	при u u2 .

Данный вид аппроксимации связан с двумя важными параметрами нелинейного элемента: напряжением начала характеристики u1 и ее крутизной S . Для увеличения точности аппроксимации увеличивают количество отрезков линий. Однако это усложняет математическую формулу ВАХ.

7.3. Методы анализа нелинейных цепей

Используются следующие методы анализа нелинейных цепей:

1. Аналитические. Позволяют в каждом конкретном случае получить частные решения. К числу аналитических методов относятся:

а) спектральный. Используется для анализа нелинейных цепей при гармонических или полигармонических воздействиях;

б) линеаризации. Применяется в режиме малых сигналов; в) квазилинейный. Определяется соотношение между входным сигналом и

первой гармоникой тока. Основной характеристикой при этом является Sср –

средняя крутизна. Анализ цепи осуществляется линейными методами, нелинейность учитывается зависимостью Sср от амплитуды входного сигнала;

г) медленно-меняющихся амплитуд. Предполагается, что амплитуда высокочастотного модулированного колебания изменяется в течение его периода медленно.

2. Графический. По имеющимся графикам sвх(t) и вольт-амперной характеристике определяется график sвых(t). Метод обладает определенной наглядностью, но низкой точностью.

3. Численные методы, предполагающие применение цифровых ЭВМ. Наиболее часто используется спектральный метод.

7.4. Общее решение задачи анализа нелинейной цепи

Рассмотрим процессы, происходящие в безынерционном нелинейном устройстве, характеристика которого представлена на рис. 7.2. На вход устройства поступает гармонический сигнал

u(t) Ecos 0t .

Вследствие нелинейности характеристики i f (u) форма тока в цепи отличается от формы входного сигнала. В то же время функция, описывающая ток, является периодической и четной. Это значит, что спектр тока можно определить с помощью ряда Фурье вида

								i(t) I0 Ik cosk 0t,
					T 2			T 2		k 1
	1					1
где I0					i(t)dt			f (Ecos 0t)dt;
						T
		T T 2						T 2
	2				T 2			2		T 2
Ik					i(t)cosk 0tdt					f (Ecos 0t)cosk 0tdt .
		T			T 2			T		T 2

Рис. 7.2. Нелинейное преобразование гармонического сигнала

Получено общее решение задачи о спектре тока в безынерционной нелинейной цепи при гармоническом входном воздействии. Спектр тока содержит кроме постоянной составляющей бесконечное число гармоник с амплитудами Ik и частотами k 0. Амплитуды гармоник зависят от параметров сигнала и вида характеристики i f (u).

7.5. Определение спектра тока в нелинейной цепи при степенной аппроксимации характеристики

7.5.1. Гармонический сигнал на входе

Предположим, что рабочий участок характеристики нелинейного элемента описывается полиномом

i(u) a0 a1(u U0 ) a2 (u U0 )2 ... an(u U0 )n.

На вход поступает гармонический сигнал s(t) Ecos( 0t ). Тогда с учетом напряжения рабочей точки входное воздействие на элемент равно

u(t) U0 Ecos( 0t ).

Подставив данное выражение в формулу степенного полинома, получаем i(u) a0 a1Ecos( 0t ) a2E2 cos2( 0t ) ... anEn cosn( 0t ).

Воспользуемся известными формулами для степеней тригонометрических функций

cos2			1	(1 cos2 );	cos3				1	(3cos cos3 );
		2				4
cos4	1	(3 4cos2 cos4 );			cos5		1	(10cos 5cos3 cos5 ).
						16
8

В результате получается общее выражение для тока в нелинейной цепи

i(t) (a								1	a		E2	3	a	E4	) (a		E			3	a	E3			5	a	E5 )cos(		t )
	1			0		1		2		2	8		4			1		1	4		3		5		8	5		0
(		a	E2				a			E	4 )cos2(					t ) (			a E3					a E5			)cos3(	t ) =
2		2			8				4						0		4		3			16			5		0

I0 I1 cos( 0t ) I2 cos2( 0t ) I3 cos3( 0t ) .

Анализ данного выражения позволяет сделать следующие выводы:

1. Спектр тока содержит гармонические составляющие с частотами 0,0 , 2 0 , 3 0 , ,n 0 и начальными фазами , 2 , 3 , ,n , т.е с частотами и начальными фазами, кратными частоте и начальной фазе воздействия.

2.Номер гармоники в спектре тока не может быть выше степени аппроксимируемого полинома.

3.Амплитуды гармонических составляющих спектра зависят от амплитуды входного сигнала и коэффициентов степенного полинома. Постоянная составляющая (нулевая гармоника) и амплитуды четных гармоник определяются коэффициентами полинома с четными номерами, а амплитуды нечетных гармоник – коэффициентами полинома с нечетными номерами.

Полученное выражение сохранит свою структуру при поступлении на вход нелинейного элемента амплитудно-модулированного сигнала или сигнала с угловой модуляцией. В формуле будут фигурировать не постоянные значения E и

, а функции E(t) и (t). Общая структура спектра изменится. В то же время

начальная фаза первой гармоники сохраняет закон модуляции фазы входного сигнал, а если характеристика нелинейного элемента может быть с достаточной точностью аппроксимирована полиномом второй степени, то первая гармоника спектра сохранит также и форму входного амплитудно-модулированного сигнала.

Пользуясь полученными результатами и структурной схемой нелинейного устройства, можно предложить общую идею построения некоторых радиотехнических устройств. Так, если фильтр нелинейного устройства с квадратичной характеристикой настроить на частоту первой гармоники тока (на частоту входного сигнала), то получится схема усилителя мощности. Если фильтр нелинейного устройства настроить на частоту второй гармоники тока, то получится схема удвоителя частоты сигнала. Если в качестве фильтра использовать фильтр низких частот с АЧХ, обеспечивающей подавление всех гармоник, кроме нулевой, то получится схема квадратичного детектора.

7.5.2. Бигармонический сигнал на входе

Свойство нелинейной цепи обогащать спектр сигнала хорошо проявляется, если сигнал представляет собой сумму некоторого числа гармонических колебаний с различными частотами.

Предположим, что рабочий участок характеристики нелинейного элемента описывается полиномом второй степени

i(u) a0 a1(u U0) a2(u U0)2 .

На вход поступает бигармонический сигнал, формула которого совместно с напряжением рабочей точки имеет вид

u(t) U0 E1 cos 1t E2 cos 2t .

Подставив данное выражение в формулу степенного полинома, получаем

i(u) a					0	a			(E cos t E									2	cos			2	t) a			2	(E		cos t E							2	cos			2		t)2 .
								1	1						1													1			1
Выполним элементарные преобразования:
i(u) a	0		a E					cos			t a E					2	cos			2	t a			2	E2 cos2					t a			2	E2 cos2							2		t
			1			1			1					1											1				1					2
2a2E1E2 cos 1tcos 2t ;
i(u) (a				1	a			E2		1		a		E	2) a E					cos t a E									cos			t			1	a			E2 cos2 t
		0	2				2	1	2				2	2			1		1					1		1		2			2			2				2	1				1

1a2E22 cos2 2t a2E1E2 cos( 1 2)t a2E1E2 cos( 1 2)t. 2

Из полученного выражения видно, что в спектре тока нелинейного элемента кроме постоянной составляющей (слагаемое в скобках) и гармоник с частотами, кратными частотам входного воздействия, имеются гармоники с комбинационными частотами 1 2 и 1 2.

Таким образом, с помощью нелинейного элемента с такой характеристикой можно построить схему преобразователя частоты. Для этого достаточно использовать в составе нелинейного устройства высокодобротный полосовой фильтр, настроенный на частоту 1 2 (или на частоту 1 2). На вход уст-

ройства подается гармонический сигнал, частота 1 которого должна быть преобразована, и вспомогательный сигнал с частотой 2 (сигнал гетеродина).

7.6. Определение спектра тока в нелинейной цепи при кусочно-линейной аппроксимации характеристики

При воздействии на нелинейный элемент сигнала с большой амплитудой и выборе рабочей точки на нижнем изгибе вольт-амперной характеристики целесообразно применить метод кусочно-линейной аппроксимации данной характеристики (рис. 7.3). Аналитическое выражение ВАХ при этом имеет вид

0 при u U1 ,

i

S(u U1) при u U1 .

Напряжение U0 (см. рис. 7.3) – это напряжение рабочей точки, U1 – напряжение отсечки.

Пусть на вход рассматриваемого элемента поступает гармонический сигнал s(t) Ecos 0t. Тогда с учетом напряжения рабочей точки входное воздействие на элемент равно

u(t) U0 Ecos 0t.

Рис. 7.3. Принцип формирования тока в нелинейной цепи при кусочно-линейной аппроксимации ВАХ

Как видно из рис. 7.3, ток i(t) нелинейного элемента имеет вид периодической последовательности импульсов, описываемых четной функцией. Определим амплитуды гармонических составляющих спектра этого тока. Для этого необходимо определить математическое выражение для импульсов тока i(t) и воспользоваться разложением тока в ряд Фурье.

1. Угол , соответствующий изменению тока от максимального значения до нуля, называется углом отсечки. Из рис. 7.3 видно, что максимальное значение тока i(t) равно Im , а длительность импульсов тока – 2 . Очевидно, что при

фазовом		угле		входное воздействие равно U1 U0 Ecos . Тогда
cos	U1	U0	.
		E

2. Пользуясь аналитическим выражением для ВАХ, можно записать
i(t) S(U0				Ecos 0t U1)				при		t .
Преобразуем данное выражение следующим образом:
	U	1	U	0
i(t) SE cos 0t					SE(cos 0t cos ) при t .						(7.1)
			E
3. Определим значение амплитуды тока i(t), т.е. значение Im . Для этого
воспользуемся рис. 7.3.						U		U
							1		0
Im S[E (U1				U0)] SE 1						SE(1 cos ).
								E

4. Подставив в (7.1) значение SE, получим математическое выражение для импульсов тока

	i(t)	Im	(cos 0t cos )	при t .
		1 cos

5. Ряд Фурье для тока i(t) имеет вид

i(t) I0 Ik cos(k 0t).

k 1

Коэффициенты ряда, т.е. амплитуды гармонических составляющих, равны

1 T 2

2 T 2

I

0

i(t)dt;

Ik

i(t)cos(k 0t)dt.

T

T

T 2

T 2

Перепишем данные выражения, выполнив замену переменной t 0t:

1

1

I0

i( 0t)d( 0t);

Ik

i( 0t)cos(k 0t)d( 0t).

2

Пользуясь полученными выражениями, определим амплитуды нулевой и

первой гармонических составляющих спектра тока.

Амплитуда нулевой гармоники

1

1

Im

I0

i( 0t)d( 0t)

[cos(

0t) cos ]d( 0t)

2

01 cos

Im

cos( 0t)d( 0t) cos d( 0t)

(1 cos )

0

0

Im

(sin cos ).

(1 cos )

Окончательно получим

sin cos

I0

Im

.

(1 cos )

Амплитуда первой гармоники

1

2

Im

I1

i( 0t)cos( 0t)d( 0t)

[cos( 0t) cos ]cos( 0t)d( 0t)

01 cos

2Im

2

cos

( 0t)d( 0t) cos

cos( 0t)d( 0t) .

(1 cos )

0

0

Учитывая, что cos2 xdx

x

sin2x

, получаем

2

4

sin2

sin cos

cos2( 0t)d( 0t)

;

0

2

4

2

2

Ik Im

cos cos( 0t)d( 0t) sin cos .

		0
	I1		2Im					sin cos
Тогда									sin cos .
		(1 cos ) 2				2
Окончательно получаем							sin cos
			I1 Im							.
							(1 cos )

Аналогично можно получить амплитуды остальных гармонических составляющих спектра тока нелинейного элемента. Характерно, что при k 1 можно записать общее выражение для амплитуды k -й гармоники:

2(sink cos k cosk sin ). k (k2 1)(1 cos )

Как видно из полученных выражений, амплитуды гармоник спектра тока зависят от угла отсечки и максимальной величины импульсов тока Im .

Величины

0

( )

I0

sin cos

,

Im

(1 cos )

1

( )

I1

sin cos

,

Im

(1 cos )

k

( )

Ik

2(sink cos kcosk sin )

(7.2)

Im

k (k2

1)(1 cos )

называют коэффициентами Берга.

Коэффициенты Берга k ( ) определяют зависимость амплитуды k -й гармоники тока от угла отсечки при Im const, причем угол отсечки изменяется за счет изменения амплитуды входного сигнала E и смещения U0.

	Пользуются также функциями Берга	k ( )	Ik		Ik	(1 cos ), которые
			SE		Im

определяют зависимость амплитуды k -й гармоники тока от угла отсечки при

Econst, причем угол отсечки изменяется за счет изменения смещения. Коэффициенты и функции Берга связаны между собой следующим обра-

зом:

k ( ) k ( )(1 cos ).

На рис. 7.4 приведены графики k ( ) для k = 0, 1, 2, 3, 4	и k ( ) для
k = 0, 1, 2, 3.