5.2.2. Временные характеристики

Основными характеристиками линейных цепей во временной области являются импульсная и переходная характеристики. Эти характеристики позволяют определить выходной сигнал для любого входного воздействия, не обращаясь к спектральному представлению сигналов.

Импульсная характеристика цепи h(t)– это реакция цепи на сигнал, опи-

сываемый дельта-функцией (t). Другими словами, выходной сигнал, формируемый линейной цепью при поступлении на ее вход сигнала в виде дельтафункции, является импульсной характеристикой. На практике сигнал в виде дельта-функции – это импульс прямоугольной формы, имеющий большую амплитуду (в пределах линейного участка характеристики цепи) и длительность, которая намного меньше постоянной времени цепи.

Переходная характеристика цепи g(t)– это реакция цепи на сигнал, пред-

ставляющий собой единичный скачок (t). Таким образом, выходной сигнал, формируемый линейной цепью при поступлении на ее вход сигнала в виде резкого перепада, является переходной характеристикой.

Функциональная связь между временными характеристиками h(t) и g(t) обусловлена взаимной зависимостью дельта-функции и единичного скачка (производная и интеграл):

		dg(t)	t
	h(t)		и g(t) h(t)dt.
		dt
			0

Взаимная зависимость частотной и временных характеристик будет рассмотрена ниже.

Анализ линейных цепей с использованием частотных характеристик и анализ с использованием временных характеристик равносильны по результатам. Выбор одного из этих подходов диктуется простотой вычислений, исходными данными в части, касающейся сигналов и цепей, и характером необходимых результатов.

Рассмотрим некоторые линейные цепи и их характеристики.

5.3. Дифференцирующая и интегрирующая цепи

На рис. 5.1,а представлена схема линейного четырехполюсника в виде последовательной RC-цепи с постоянной времени RC. На входе цепи действует напряжение uвх(t), а выходное напряжение uвых(t) может сниматься либо с сопротивления R, либо с конденсатора C. Определим зависимость выходного напряжения от входного для каждого из этих случаев. В соответствии со вторым законом Кирхгофа можно составить уравнение

	uвх(t) Ri(t)	1	i(t)dt, или	Cuвх(t) i(t) i(t)dt.
		C

Выполним анализ данного уравнения при большом и малом значениях .

1. Постоянная времени	– малая величина.
Тогда Cuвх(t) i(t)dt	или i(t) C	duвх	(t)
				.
		dt

В этом случае выходное напряжение, снимаемое с сопротивления R, будет

равно uR(t) duвх(t). Следовательно, если выходное напряжение снимать с dt

сопротивления, то при малых значениях постоянной времени последовательная RC-цепь может дифференцировать входной сигнал.

2. Постоянная времени – большая величина.

Тогда Cu

(t) i(t)

или i(t)

Cuвх(t)

1

u

вх

(t).

вх

R

В этом случае выходное напряжение, снимаемое с конденсатора C, будет

равно uc(t)

1

i(t)dt

1

uвх(t)dt. Следовательно, если выходное напряже-

C

ние снимать с конденсатора, то при больших значениях постоянной времени последовательная RC-цепь может интегрировать входной сигнал.

Схема дифференцирующей цепи представлена на рис. 5.1,б, интегрирующей цепи – на рис. 5.1,в.

Рис. 5.1. Последовательная RC-цепь (а), дифференцирующая (б) и интегрирующая (в) цепи

5.3.1. Дифференцирующая цепь

Определим частотный коэффициент передачи K( j ) дифференцирующей цепи. Комплексная амплитуда тока в цепи определяется законом Ома

I	Uвх	.
	R 1 j C

Следовательно, комплексная амплитуда выходного напряжения равна

Uвых IR Uвх	j	.
	1 j

Отсюда:

частотный коэффициент передачи K( j )

Uвых

j

;

(5.2)

Uвх

1 j

K( )

амплитудно-частотная характеристика

;

1 2 2

фазочастотная характеристика

( )

arctg .

2

Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рис. 5.2,а.

Как следует из графика АЧХ, дифференцирующая цепь является фильтром

верхних частот. Определим частоту среза с

на уровне 1

0,707:

2

K( с)

с

1

;

с2 2 1;

с 1 .

2

2

2

1 с

Для приближения к точному дифференцированию необходимо, чтобы на всех частотах спектра входного сигнала соблюдалось неравенство 1. Тогда K( j ) j – частотная характеристика идеальной дифференцирующей цепи.

5.3.2. Интегрирующая цепь

Определим частотный коэффициент передачи K( j ) интегрирующей цепи. Если комплексная амплитуда тока в цепи равна

I

Uвх

,

R 1

j C

то комплексная амплитуда выходного напряжения равна

1

1

Uвых I

U

вх

1 j

.

j C

Отсюда:

Uвых

K(j )

1

частотный коэффициент передачи

; (5.3)

Uвх

1 j

амплитудно-частотная характеристика

K( )

1

;

1 2 2

фазочастотная характеристика

( ) arctg .

Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рис. 5.2,б.

Как следует из графика АЧХ, интегрирующая цепь является фильтром нижних частот. Частота среза также равна 1 .

Для приближения к точному интегрированию необходимо, чтобы на всех частотах спектра входного сигнала соблюдалось неравенство 1. Тогда K( j ) 1 – частотная характеристика идеальной интегрирующей цепи.