сигнала. Однако его ослабление можно компенсировать предварительным или последующим усилением.

5.7.5. Устойчивость цепей с обратной связью

а. Понятие об устойчивости

Система устойчива, если, выведенная из состояния равновесия, она в него возвращается. По существу в устойчивой системе при нулевом входном сигнале выходной сигнал затухает при любых начальных условиях, т.е.

lim sвых (t) 0	при sвх(t) 0.
t

Применение обратной связи тесно связано с проблемой обеспечения устойчивости. Устойчивость может быть нарушена в силу наличия в структуре цепи реактивных элементов (паразитные емкости монтажа, индуктивности проводов, межэлектродные емкости транзисторов), способных накапливать энергию и создавать дополнительные фазовые сдвиги. Поэтому при проектировании и исследовании различных цепей большое значение имеют методы определения устойчивости цепи.

В настоящее время известно несколько критериев устойчивости, различающихся в основном по форме, а не по содержанию. В основе их лежит идея устойчивости решений однородного дифференциального уравнения, описывающего свободные (собственные) колебания цепи после исчезновения возмущающих сил, т.е.

a

n

dnuвых(t)

a

n 1

dn 1uвых(t)

... a

duвых(t)

a

u

вых

(t) 0.

dtn

dtn 1

1

dt

0

Решение уравнения, как известно, имеет вид

n

uвых(t) Aiepit ,

i 1

где Ai – постоянные числа, определяемые из n начальных условий; pi – корни характеристического уравнения

Q(p) a	n	pn a	n 1	pn 1 ... a p a	0	,	a	n	0, a	0	0, n 1.
				1

Корни характеристического уравнения являются в общем случае комплексными числами, т.е. pi i j i .

Для устойчивой цепи входящие в решение дифференциального уравнения экспоненты должны быть затухающими. Это значит, что корни характеристического уравнения должны быть либо отрицательными вещественными числами, либо комплексными числами с отрицательными действительными частями.

Таким образом, можно сформулировать следующий основной критерий ус-

тойчивости линейных цепей: линейная цепь устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны.

Пользоваться этим критерием для систем, описываемых дифференциальными уравнениями выше второго порядка, затруднительно. Поэтому были разработаны специальные критерии устойчивости, позволяющие судить об устойчивости любой цепи без решения характеристического уравнения.

б. Критерий устойчивости Гурвица

Критерий швейцарского математика А. Гурвица относится к алгебраическим критериям устойчивости. Он позволяет судить об устойчивости системы по результатам анализа соотношений между коэффициентами характеристического уравнения без определения его корней:

Для того чтобы корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы выполня-

лись неравенства

1 0, 2 0, 3

0, … , n 0.

Здесь 1, 2, 3,… – последовательные определители, равные

an 1

an 3

an 1

an 3

an 5

1 an 1;

2

,

3

an

an 2

an 4

, . . . .

an

an 2

0

an 1

an 3

Последовательные определители равны главным диагональным минорам

матрицы Гурвица

an 1

an 3

an 5 0

an

an 2

an 4 0

H

0

an 1

an 3 0

,

ai 0

при i 0

и i n.

...

0

0 a0

Последний столбец матрицы H содержит лишь один отличный от нуля

элемент a0, расположенный на главной диагонали. Поэтому

n a0 n 1.

Следовательно, условия устойчивости можно записать в виде 1

0, 2 0,

3 0, … , n 1 0, a0 0.

Данный критерий позволяет проверить устойчивость системы при заданных параметрах (коэффициентах дифференциального уравнения). В то же время им невозможно пользоваться при экспериментальных исследованиях, когда известны только частотные характеристики прямой и обратной цепей. Трудно также определить параметры, изменение которых приводит к устойчивости цепи.

Пример.

Резонансный усилитель с положительной ОС при определенных условиях может работать как автогенератор гармонических колебаний. На рис. 5.14 представлена схема такого автогенератора, называемого LC- генератором.

Рис. 5.14. Схема LC-генератора

Дифференциальное уравнение резонансного усилителя с трансформаторной положительной ОС имеет вид

	d2uвых(t)	2 экв	duвых(t)
	dt2		dt

Здесь

2рuвых(t) 0,

uвых(t) – напряжение на выходе генератора;p – резонансная частота контура;

1 1

экв

2C Rн

SM

– эквивалентный коэффициент затухания.

L

Запишем характеристическое уравнение p2 2 экв p 2р 0.

В соответствии с критерием Гурвица получаются следующие условия устойчивости:

	1 2 экв 0;	2		2 экв	0	2 экв	2р 0.
				1	2р

Система будет устойчивой при следующих соотношениях между параметрами схемы:

1

1

SM

2

0;

1

SM

;

1

M

;

1

.

Rн

L

Rн

L

SR

2C

p

L K

0

н

Окончательно получим K0 1.

Таким образом, рассматриваемая система с положительной обратной связью устойчиво работает как усилитель, если коэффициент усиления разомкну-

той цепи удовлетворяет условию Ko 1. В свою очередь при Ko 1 система находится на границе устойчивости, а при Ko 1 – в неустойчивом состоянии, т.е. работает как генератор.

Последние условия являются условиями работы LC-генератора и называются "баланс амплитуд". При Ko 1 генератор работает в переходном режиме (при включении питания), при Ko 1 – в стационарном режиме.

в. Критерий устойчивости Найквиста

Критерий американского ученого Найквиста относится к частотным критериям. Для анализа устойчивости используется частотный коэффициент передачи цепи с обратной связью

	Koc( j )	K( j )	.
	1 K( j ) ( j )
Глубина и	характер обратной связи		определяется величиной
1 K( j ) ( j ).
При K( j ) ( j ) 1 цепь с обратной связью приближается к границе ус-
тойчивости. При	K( j ) ( j ) 1 цепь с положительной ОС работает в неус-

тойчивом режиме (в режиме самовозбуждения). Поэтому в основу рассматриваемого критерия положен геометрический метод определения следующих условий:

K( ) ( ) 1 и ( ) ( ) 2k .

Для этого рассматривается коэффициент передачи цепи с разомкнутой обратной связью K р( j ) K( j ) ( j ) A( ) jB( ) и строится годограф K р( j ) как функция частоты на плоскости [A( ), B( )].

Формулировка критерия Найквиста.

Система с обратной связью будет устойчивой, если годограф коэффициента передачи разомкнутой системы не охватывает точку (1, 0) на комплексной плоскости [A( ), B( )].

На рис. 5.15,а приведен годограф устойчивой системы, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка, а на рис. 15.15,б – годограф неустойчивой системы.

а	б

Рис. 5.15. Годографы устойчивой (а) и неустойчивой (б) цепей с ОС г. Критерий устойчивости Михайлова

Критерий русского ученого Михайлова относится к аналитическим критериям. Для анализа устойчивости используется характеристическое уравнение цепи с обратной связью, т.е. уравнение вида

Q(p) an pn an 1pn 1 ... a1p a0 .

Подставив в данное уравнение p j , где – действительная переменная, получим

Q( j ) an( j )n an 1( j )n 1 ... a1( j ) a0 A( ) jB( ).

Годограф функции Q( j ) A( ) jB( ), получающийся на комплексной плоскости [A( ), B( )] при изменении частоты от 0 до , называется кривой (годографом) Михайлова.

Формулировка критерия Михайлова.

Для того чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы годограф функции Q( j ) при изменении от 0 до последовательно прошел против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, начинаясь на действительной оси (при 0 Q( j ) a0 ).

На рис. 5.16,а приведены годографы устойчивых систем, описываемых дифференциальными уравнениями различного порядка, а на рис. 5.16,б – годографы неустойчивых систем.