Из свойств преобразования Фурье известно, что произведению двух спектров соответствует свертка сигналов, соответствующих данным спектрам. Таким образом, можно записать

sвх(t) Sвх( j );

h(t) K( j )

sвх(t) h(t) Sвх( j )K( j ).

Следовательно, спектру Sвых( j ) Sвх( j )K( j ) соответствует сигнал

sвых(t)	sвх(t )h( )d ,
что и требовалось доказать.

6.3.Приближенные методы анализа линейных цепей

6.3.1.Приближенный спектральный метод

Приближенный спектральный метод применяется в случае, если эффективная ширина спектра сигнала эф значительно отличается от ширины по-

лосы пропускания цепи пр . Другими словами, данный метод используется

при расчете прохождения узкополосного сигнала через широкополосную цепь ( эф пр) и при прохождении широкополосного сигнала через узкопо-

лосную цепь ( эф пр).

а. Прохождение узкополосного сигнала через широкополосную цепь

Данная проблема представляет практический интерес в связи с тем, что сигналы помех, воздействующие на реальную радиотехническую цепь, часто относятся к классу узкополосных.

Рассмотрим широкополосную цепь с частотной характеристикой

K(j ) K( )e j ( ). На вход цепи поступает узкополосный сигнал со спек-

тральной плотностью Sвх( j ) Sвх( )e j s( ), амплитудный спектр которого сосредоточен в небольшой области вокруг центральной частоты 0 (рис.6.3,а).

а	б

Рис. 6.3. Иллюстрации к приближенному спектральному методу

Выходной сигнал рассматриваемой цепи равен

		1
	sвых(t)		Sвх( j )K( j )e j td .
		2

В общем случае вычисление этого интеграла может вызвать определенные трудности. Однако если учесть условия задачи, то расчет можно упростить.

Как следует из рис.6.3,а, в пределах амплитудного спектра Sвх( ) ампли- тудно-частотная, а также фазочастотная характеристики цепи изменяются незначительно. Поэтому можно записать

K( j ) K( j 0) K( 0)e j ( 0),

где K( 0) – значение АЧХ на частоте 0. Тогда

		1
sвых(t)						Sвх( j )K( 0)e j ( 0)e j td ;
		2
	j (			)		1		j t		j (		)
sвых(t) K( 0)e			0				Sвх( j )e		d K( 0)sвх(t)e		0		.
						2
Окончательно получаем							sвых(t) K( j 0)sвх(t).

Вывод.

Узкополосный сигнал на выходе широкополосной цепи не изменяется по форме. Изменяется только амплитуда сигнала и возможен сдвиг по фазе. Такой вывод можно сделать непосредственно из рис. 6.3,а. Широкополосная цепь практически без искажения пропускает все спектральные составляющие, про-

порционально изменяя их амплитуды и сдвигая на одинаковую величину по фазе.

б. Прохождение широкополосного сигнала через узкополосную цепь

Данная проблема также представляет практический интерес в связи с тем, что работа цепи часто происходит при наличии импульсных помех. Эффективная ширина спектра таких помех может значительно превышать ширину полосы пропускания цепи.

Рассмотрим узкополосную цепь с частотной характеристикой K( j ), на вход которой поступает широкополосный сигнал со спектральной плотностью Sвх(j ). Узкополосная цепь способна выделять спектральные составляющие входного сигнала, сосредоточенные только в небольшой области вокруг центральной частоты 0.

Как видно из рис. 6.3, б, в пределах полосы пропускания цепи амплитудный спектр Sвх( ) сигнала изменяется незначительно. Поэтому можно записать

Sвх( j ) Sвх( j 0) Sвх( 0)e j s ( 0) ,

где Sвх( 0) – значение амплитудного спектра входного сигнала на частоте 0. Тогда

1

sвых(t)

Sвх( 0)e j s( 0)K( j )e j td ;

2

j

s

(

) 1

j t

j

s

(

)

sвых(t) S( 0)e

0

Kвх( j )e

d S( 0)h(t)e

0

.

2

Окончательно получаем

sвых(t) S( j 0)h(t).

Вывод.

Реакция узкополосной

цепи

на широкополосный

сигнал определяется

только импульсной характеристикой цепи. Входной сигнал по существу не влияет на выходной сигнал. Такой вывод можно сделать непосредственно из рис. 6.3,б. Узкополосная цепь пропускает спектральные составляющие входного сигнала только в пределах своей амплитудно-частотной характеристики, которой во временной области соответствует импульсная характеристика.

6.3.2.Метод комплексной огибающей

Впроцессе обработки сигналов при передаче сообщений не обязательно полностью сохранять структуру сигнала, достаточно лишь сохранить закон изменения того параметра (амплитуду, частоту, фазу), в котором заключена пере-

даваемая информация. Этот факт создает условия для упрощения методов анализа прохождения сигналов через линейные цепи.

Радиосигналы, используемые для передачи информации, относятся к классу узкополосных. Для анализа прохождения таких сигналов через узкополосные цепи можно использовать понятие аналитического сигнала, имеющего, как известно, следующий вид:

z(t) s(t) js1(t) A(t)e j 0t .

Здесь s1(t) – сигнал, полученный из исходного сигнала с помощью преобразо-

вания Гильберта; A(t) A(t)ej (t) – комплексная огибающая, которая содержит информацию о законах изменения амплитуды и фазы колебания.

Таким образом, решаемая задача сводится по существу к анализу результата преобразования комплексной огибающей входного сигнала при прохождении его через линейную цепь. Задачу в такой постановке можно решить спектральным и временным методами.

a. Спектральный метод для комплексной огибающей

Задача решается с использованием обозначений для аналитических сигналов и соответствующих спектральных плотностей, приведенных на рис. 6.4.

z				j 0t	,	z				j 0t	;
	вх	(t) A (t)e					вых	(t) A (t)e
			вх						вых
sвх(t) Sвх( j );						sвых(t) Sвых( j );
zвх (t) Sz.вх (j );						zвых (t) Sz.вых ( j );
Aвх (t) SА.вх ( j );							Aвых (t) SA.вых(j ).

Рис. 6.4. Обозначения сигналов и спектров

В общем случае центральная частота p АЧХ цепи не совпадает с цен-

тральной частотой 0 амплитудного спектра сигнала (рис. 6.5). Однако для простоты рассуждений можно положить, что эти частоты равны. Полученный результат затем нетрудно будет скорректировать для более общего случая.

Рис. 6.5. Амплитудные спектры сигналов и АЧХ цепи

В соответствии со спектральным методом можно записать

			1		1
	zвых	(t)		Sz.вых( j )ej t d		Sz.вх( j )K( j )ej td .
			2		2

Известна связь между спектром аналитического сигнала и спектром комплексной огибающей, которая устанавливается соотношением

Szвх ( j ) SA.вх[ j( 0)].

Тогда

	zвых	(t)	1		S		[j( )]K( j )ej td .
			2			A.вх
							0

Введем новую переменную 0. В этом случае выражение для zвых(t ) примет вид

1

j t

j

t

zвых (t)

S

( j )K

[ j(

)] e

d

e

0

.

2

0

A.вх

j 0t

Учитывая, что z

и изменяя обозначение на

,

вых

(t) A (t)e

вых

можно записать

Aвых (t) 21 SA.вх ( j )Kнч ( j )ej td ,

где Kнч( j ) K[ j( 0)] – частотная характеристика низкочастотного аналога цепи.

Данное выражение является обратным преобразованием Фурье от спектра комплексной огибающей сигнала на входе цепи. Это позволяет записать следующее выражение для этого спектра:

SA.вых ( j ) SA.вх ( j )Kнч ( j ).

(6.5)

Как видно из полученного выражения, определение спектральной плотности комплексной огибающей выходного сигнала осуществляется путем умножения спектральной плотности комплексной огибающей входного сигнала на частотную характеристику низкочастотного аналога цепи (см. спектральный метод анализа).

Обобщая полученный результат, отметим, что таким же образом можно получить спектр (разложение в ряд Фурье) комплексной огибающей периодического сигнала. При этом необходимо иметь в виду, что спектр периодического сигнала на выходе линейной цепи получается перемножением спектра входного сигнала на значения частотной характеристики низкочастотного аналога цепи на соответствующих частотах.

Таким образом, можно предложить следующую последовательность определения выходного сигнала sвых(t) рассматриваемым методом:

1. Определение входного аналитического сигнала zвх(t) Aвх(t)e j 0t.

2. Вычисление спектра комплексной огибающей входного сигнала SAвх( j ) по формуле прямого преобразования Фурье.

3.Определение частотной характеристики низкочастотного аналога цепи

Kнч( j ) K[ j( 0)].

4.Расчет спектра комплексной огибающей выходного сигнала SAвых( j )

по формуле (6.5).

5. Определение комплексной огибающей выходного сигнала A

(t) по

формуле обратного преобразования Фурье.

вых

6. Определение

выходного аналитического

сигнала по

формуле

z

(t)e

j 0t

, в результате чего

определяется выходной

сигнал

вых

(t) A

s

(t) A

вых

(t)cos

t.

вых

0

вых

Вычисления по данной методике для узкополосных сигналов и цепей зна-

чительно проще, чем при непосредственном определении sвых(t).

Заметим, при наличии расстройки центральных частот амплитудного спек-

тра

сигнала

и АЧХ

цепи в пределах ее

полосы

пропускания,

т.е. при

0 p 0 (рис. 6.5) частотная характеристика низкочастотного аналога цепи будет иметь вид Kнч[ j( ) K[ j( 0 )].

б. Временной метод для комплексной огибающей

Импульсная характеристика реальной цепи связана с частотной характеристикой следующей зависимостью:

h(t) 1 K( j )e j td . 2 0

Аналитическая функция импульсной характеристики – это комплексное число вида zh(t) h(t) jh1(t), в котором h1(t) – преобразование Гильберта от h(t). С другой стороны, учитывая связь между спектром сигнала и спектром соответствующего аналитического сигнала, можно записать следующее выражение для аналитической функции zh(t) импульсной характеристики:

			1
		zh(t)			2K(
			2
					0
					1
	Следовательно,	h(t) 2Re				K
				2
						0

j )e j td .

( j )e j td .

Введем новую переменную 0. В этом случае выражение для h(t) примет вид

		1
	h(t) 2Re			K[ j( 0)]e j( 0)td .
		2
				0

При 0 значение K[ j( 0)] 0, поэтому нижний предел интегрирования можно изменить на . Таким образом,

1 h(t) 2Re K

2

[ j( 0)]e j td e j 0t .

Учитывая,

что

K[ j( 0)] Kнч( j )

и изменяя обозначение на ,

можно записать

1

h(t) 2Re

K

нч

( j )e j td e j 0t 2Re h

нч

(t) e j 0t,

2

1

нч( j )e j td – импульсная характеристика низкочастотно-

где hнч (t)

K

2

го аналога узкополосной цепи.

Для определения комплексной огибающей выходного сигнала цепи вос-

пользуемся полученным ранее соотношением

SA.вых ( j ) SA.вх ( j )Kнч ( j )

и свойствами преобразования Фурье.

Известно, что

SA.вых ( j ) SA.вх ( j )Kнч ( j )

.

A

(t) A

(t) h (t)

вых

вх

нч

Следовательно, можно записать окончательное выражение для комплексной огибающей выходного сигнала цепи