Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

		2	− 2		∂	μ	∂μ (∂	ν	εν (x)) = 0 .		(1.286)
		D
										D =1	или
Это уравнение	имеет					два решения: или
∂μ∂μ (∂νεν (x)) = 0 .	Решение						D =1 тривиально.			Чтобы	найти

εν (x) , обратимся к соотношениям (1.284) и (1.285). Действуя на

(1.284) ∂λ∂λ , получаем

∂λ∂λ∂νεμ (x) + ∂λ∂λ∂μεν (x) = D2 ∂λ∂λ∂kεk (x)ημν.

Но из (1.286) следует, что ∂λ∂λ∂kεk (x) = 0 , поэтому

∂λ∂λ∂νεμ (x) + ∂λ∂λ∂μεν (x) = 0,

∂ν∂λ∂λεμ (x) = −∂μ∂λ∂λεν (x).

Если подействовать на (1.285) ∂μ , то получим

	λ	2			∂μ∂ν (∂	λ	ελ (x))
∂μ∂		∂λεν (x) =		−1
		D					.

(1.287)

(1.288)

(1.289)

Правая часть этого уравнения симметрична по индексам μ и ν, поэтому симметричной должна быть и левая часть. Однако, как было

показано, ∂ν∂λ∂λεμ (x) = −∂μ∂λ∂λεν (x) .	Поэтому единственный
способ согласования этих уравнений	– считать	D = 2 или
∂μ∂λ∂λεν (x) = 0 . Следовательно, ∂μ∂ν (∂λελ (x)) = 0 .
Попытаемся решить уравнение ∂μ∂ν (∂λελ (x)) = 0 .		Общим ре-

шением этого уравнения является функция, удовлетворяющая соотношению

∂λελ (x) = A + Bλ xλ .	(1.290)
Это означает, что εμ (x) имеет следующий	общий вид:

εμ (x) = aμ +bμνxν + cμνλxνxλ

. (1.291)

91

Для ненулевых xνxλ тензор cμνλ симметричен по индексам μ и

ν. Это тривиально показать, используя тот факт, что ν и λ – «слепые» переменные, и при суммировании можно обозначить νλ через λν:

cμνλ xν xλ = cμλν xλ xν ,

cμνλ x	ν	x	λ	= cμλν x	ν	x	λ	.	(1.292)

Теперь мы имеем форму εμ (x), с которой можно производить из-

менение масштаба метрики.

Если подставить общее решение для εμ (x) в первоначальное уравнение для εμ (x) :

∂

ε

(x) + ∂

ε

(x) =

2

∂kε

k

(x)η

D

(1.293)

ν

μ

μ

ν

μν ,

то можно получить ограничения на коэффициенты bμν и cμνλ . Сначала найдем

∂νεμ (x) = ∂ν (aμ + bμρxρ + cμρβxρxβ ) =

= ∂ν (bμρxρ + cμρβxρxβ ) = bμρδρν + cμρβδρνxβ + cμρβxρδρν =

(1.294)

= bμν + (cμνρ + cμρν )xρ = bμν + 2cμνρxρ.

Подставляя ∂νεμ (x) в (1.289), получаем

bμν + 2cμνρxρ +bνμ + 2cνμρxρ = D2 bλλημν + D4 cλρλ xρημν.

(1.295)

Сравнивая коэффициенты при xρ в обеих частях (1.295), получаем следующие ограничения на bμν и cμνλ :

b

+b

=

2

η

bλ, c

+ c

=

2

η

cλ .

(1.296)

μν

νμ

D μν

λ

μνρ

νμρ

D μν

λρ

Запишем bμν в виде

92

bλ

bλ

bλ

bμν

= bμν −

λ

ημν

+

λ

ημν = Mμν +

λ

ημν.

D

D

D

(1.297)

Если подставить (1.297) в первое из соотношений (1.296), то

bλ

bλ

2

bλ,

M

+

λ

η + M

+

λ

η =

η

M

= −M

.

D

D

μν

μν

νμ

μν

D μν

λ

μν

νμ

(1.298)

Таким образом, bμν

можно представить как сумму антисимметрич-

ной матрицы Mμν и симметричной матрицы ημνΛ .

Тогда

b

+b

= M

+ η Λ + M

+ η Λ = 2η Λ = 2η

1

bλ.

(1.299)

μν

νμ

μν

μν

νμ

νμ

μν

μν D λ

Итак, тензор bμν

содержит две компоненты, связанные, соответ-

ственно, с лоренцевскими преобразованиями и масштабными преобразованиями:

bμν = Mμν + ημνΛ .

(1.300)

Возвращаясь к ограничениям на cμνλ , имеем

c

+ c

=

2

η

c

λ

(1.301)

μνρ

νμρ

D μν

λρ .

Если вспомнить, что отличие от нуля члена

xνxλ

в εμ (x) требует

симметрии cμνλ

по индексам ν и λ, то

c

=

2

η

cλ

−c

=

2

μνρ

2

D

μν

λρ

2

νμρ

=

η

cλ

−

η

cλ

+

η

cλ

−c

=

D

μν

λρ

D

νρ

λμ

D

ρμ

λν

μρν

(1.302)

=

2

η

cλ

−

2

η

cλ

+

2

η

cλ

−c .

D μν λρ

D νρ

λμ

D

ρμ

λρ

μνρ

Таким образом, при общем конформном преобразовании

93

x	→ x′	= x			+	a	+ Λx +	M	μν	xν	+
μ	μ		μ			μ	скейлинг
						трансляции		вращения, сдвиги
		+	4		(ημνcρ + ημρcν −ηνρcμ )xρxν .						(1.303)
			D

специальные конформные преобразования

Если теория симметрична относительно таких преобразований, то с этой симметрией должны быть ассоциированы сохраняющиеся токи. Это так называемые дилатонные токи. Дилатонный ток – общее свойство теории, включающей гравитационные эффекты, он связан со скалярным полем – дилатоном.

Обратимся теперь к обсуждению CPT как другой фундаментальной симметрии квантовой теории поля.

94

Глава 2

CPT КАК ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

2.1. Введение

Представление о CPT-симметрии (C – зарядовое сопряжение, P – пространственная инверсия, T – обращение времени) как о симметрии релятивистской квантовой теории поля возникло в работе Г. Людерса, в которой он утверждал, что зарядовое сопряжение и пространственная инверсия подразумевают одинаковые ограничения на форму гамильтониана, описывающего взаимодействия. Поэтому CPT-симметрия имеет более фундаментальный базис, чем C, P или T. В. Паули наиболее прозрачно сформулировал CPT-симметрию в контексте тех условий, которым должны удовлетворять гамильтонианы или лагранжианы. О формулировке Паули CPT-симметрии говорят как о «лагранжевой CPT-теореме». Р. Иост предложил общее доказательство CPT-симметрии, основанное на том, что пространственно-временная инверсия связана с тождественностью в комплексной группе Лоренца, однако эта инверсия не связана с тождественностью для вещественной группы Лоренца. Анализ Иоста называют «аксиоматической CPT-теоремой». Швингер обсуждал CPT и теоремы о спине и статистике с точки зрения его принципа дифференциального действия.

Учебники по квантовой теории поля выводят CPT-теорему путем вычисления каждой симметрии и рассмотрения их произведения. Это, вообще говоря, правильный подход. Однако надо иметь в виду, что каждое C-, P-, T-преобразование может иметь произвольную фазу, поскольку они не связаны с тождественным преобразованием, в то время как CPT, связанное с тождественным преобразованием, произвольной фазы содержать не может. Весьма интересно проследить, почему CPT фундаментальна, в отличие от симметрий C, P и T. Как будет видно, CPT фундаментальна потому, что она связана с лоренц-инвариантностью.

95

2.2.Представления вещественной и комплексной групп Лоренца

Ключевым аргументом при обсуждении CPT-инвариантности является утверждение о том, что связанная компонента комплексной группы Лоренца L(C), которая является сама по себе ком-

плексной группой Лоренца L+ (C ) , включает пространственно-

временную инверсию. Для того чтобы получить и пояснить это свойство, обратимся к группе Лоренца.

Вещественную группу Лоренца можно рассматривать как груп-

пу SO (1,3) вещественных 4 ×4 матриц Λ,	сохраняющих метрику
g, которую мы выберем в форме g = diag (1, −1, −1, −1) :
ΛT gΛ = g .	(2.1)

Можно проверить, что это условие эквивалентно утверждению о том, что Лоренц-преобразование сохраняет скалярное произведе-

3
ние x2 = x x = (x0 )2 −∑(xi )2 , т. е. ΛxΛ = x x . Вычисляя детер-
i=1	получаем det Λ = ±1. Выделяя же 00
минант в выражении (2.1),
	3
компоненту в (2.1), находим (Λ00 )2 −∑(Λi0 )2 =1. Поэтому долж-
	i=1
но быть либо Λ00 ≥1, либо	Λ00 ≤ −1 . Таким образом, группа Ло-

ренца распадается, в зависимости от знака детерминанта Λ и знака Λ00 , на четыре несвязанные компоненты L↑+ , L↓+ , L↑− , L↓− . Очевидно, что только первая из них является группой, поскольку только

L↑	содержит единичный элемент. Будем считать, что x V ,		если
+		+
x2	> 0 , x0 > 0 ; x V , если x2	> 0 , x0 < 0 и x ~ 0 , если x0	< 0 .
	−

Нам нужно также рассмотреть комплексную группу Лоренца – группу комплексных 4 ×4 матриц, удовлетворяющих соотношению (2.1). Для комплексной группы Лоренца знак детерминанта

нельзя изменить непрерывным образом, однако матрица (−1) ока-

96

зывается связанной с единичным элементом, поэтому в этом случае имеется уже две несвязанных компоненты. Наиболее просто найти непрерывное семейство комплексных лоренцевских преобразова-

ний, связывающих матрицы 1 и (−1), можно путем рассмотрения накрывающих групп вещественных и комплексных групп Лоренца.

Хорошо известно, что состояние спина 12 преобразуется при вращении на угол θ с фазой θ2 , а не с фазой θ, как для скалярного состояния. Поэтому вращение на 2π изменяет фазу спинового состояния (12) , хотя такое вращение должно быть эквивалентным

тождественному вращению. Итак, (12) спиновое состояние не

преобразуется как истинное представление группы вращений, оно преобразуется с точностью до фазы. Идея накрывающей группы состоит в том, чтобы найти более широкую группу, чьи представления являлись бы истинными представлениями, без дополнительных фаз. Для группы вращений накрывающей группой является

группа SU (2) – группа 2×2 унитарных комплексных матриц с единичным детерминантом. Для связанной компоненты группы

Лоренца накрывающая группа	L+↑ ≡ SL(2,C )	– группа 2×2 ком-
плексных матриц с единичным детерминантом.
Введем два фундаментальных представления SL(2,C) :
uα′ = Aαβuβ		(2.2)
и
vα′ = Aαβvβ ,		(2.3)

где A SL(2, C) , а звездочка означает комплексное сопряжение. Можно ввести скалярное произведение этих представлений, используя 2×2 антисимметричный символ εαβ Леви-Чивиты для

«неточечных» спиноров и εαβ – для «точечных» спиноров. Счита-

ем, что ε12 =1 и ε12 =1 . Каждое представление SL(2,C) имеет вид спинора с k «неточечными» и l «точечными» индексами и пре-

97

образующееся, согласно (2.2) и (2.3). Это представление путем свертки с ε вполне приводимо, поэтому следует считать, что не-

приводимыми представлениями SL(2,C) являются представления с k симметризованными «неточечными» и l симметризованными «точечными» индексами. Каждый индекс соответствует спину 12 , поэтому эти спиноры имеют спин k2 и l2 относительно группы SU (2) SU (2) , которая возникает при выборе групп, чьи гене-

раторы J ±iK , где J – генераторы вращений вещественной группы Лоренца и K – генераторы «чистых» сдвигов.

Будем считать, что матрицы Паули имеют по одному «точечно-

му» и «неточечному»		индексу	(σμ )β ,	причем σ0	– единичная
			α
2×2 матрица,	а σi –	обычные матрицы Паули. Тогда возможно
единственным образом ассоциировать 2×2 эрмитову матрицу X с
вещественным	вектором xμ :		( X )β	= xμ (σμ )β .	При этом
			α	α

det X = x2 . Вспомнив, что матрицы SL(2,C) имеют детерминант,

равный единице, обнаруживаем, что X ′ = AXA+ – эрмитова и является лоренцевским преобразованием x. Матрицы A и (−A) относятся к одному и тому же лоренцевскому преобразованию. Таким образом, группа SL(2,C) накрывает дважды связанную компо-

ненту группы Лоренца.

Для покрытия комплексной группы Лоренца допустим существование двух независимых SL(2,C) матриц, введя их так, чтобы

X ′ = AXB+ . При этом X ′ уже не будет эрмитовой, но будет попрежнему иметь ту же метрическую длину в пространстве Минковского. Таким образом, накрывающей группой комплексной

группы Лоренца L+ (C ) является SL(2,C )×SL(2,C ) . Так как

теперь в нашем распоряжении имеется две независимые матрицы A и B, мы можем добиться превращения x → −x или выбором A =1 , B = −1 или A = −1, B =1 . При этом можно непрерывным образом

98

перейти	от единичного преобразования	A =1 , B =1 к A = −1,
B = −1,	выбирая A =1 , B (φ) = diag	(exp (iφ 2),exp (−iφ 2)).

4×4 комплексные лоренцевские преобразования находятся из определения X ′ . В результате непрерывное семейство комплексных преобразований Лоренца, осуществляющих переход от единичного преобразований к пространственно-временной инверсии

x′0x′1

x′2

′x 3

	cos φ 2
	i sin φ 2
		0
		0

i sin φ 2	0	0		x	0
cos φ 2	0	0			1
				x
0	cos φ 2	−sin φ	2	x	2	.	(2.4)
0	sin φ 2	cos φ	2		3
				x

Есть ли другие возможности достижения пространственновременной инверсии? Для SL(2,C )×SL(2,C ) нужно иметь

AXB+ = −X или AX = −X (BT )−1 . Таким образом, нужно иметь соотношение, в котором X замещается каждой матрицей Паули σμ .

Для	σ0 =1	необходимо, чтобы	A = −(BT )−1 , т.е.	нужно иметь
AX = XA ,		где вместо X можно выбрать любую σi . Это означает,
что	A = ω1	, и для A SL(2, C)	ω2 =1 и ω = ±1.	Итак, единст-

венная возможность обращения xμ содержится в соотношении

(2.4).

Теперь мы имеем все необходимые сведения из теории групп для обсуждения CPT-теоремы.

2.3.Вакуумные матричные элементы от произведения полей

Обратимся теперь к обсуждению вакуумных матричных элементов от произведения полей, часто называемых функциями Вайтма-

на (или распределениями Вайтмана). Пусть φ(k ,l) ( x) – поле с k «неточечными» и l «точечными» индексами, причем каждый набор

99

индексов симметризован. φ(k ,l) ( x) преобразуется как неприводи-

мое представление группы SL(2,C) , описанное выше. Будем использовать в качестве накрывающей группы группу Пуанкаре, поэтому в (a, Λ) заменим Λ L↑+ величиной A SL(2, C) . Тогда на

поле φ(k ,l) ( x) Пуанкаре-преобразование действует следующим

образом:

U (a, A)φ(k ,l ) ( x)U (a, A)+ =

(2.5)

= S(k ,l) (Λ)(−1) φ(k ,l) (Λx + a).

В аргументе поля в правой части соотношения (2.5) заменим Λ

величиной Λ( A) , где	Λ( A) L↑+	– гомеоморфное изображение
A SL(2, C) . Там, где используется накрывающая группа ком-
плексной группы Лоренца, следует заменить Λ L+ (C ) величи-
ной Λ( A, B), где	Λ( A, B) –	гомеоморфное изображение
( A, B) SL(2,C)×SL(2,C ) . Для		простоты обозначений будет

писать Λ вместо Λ( A) или Λ( A, B) в обоих случаях. Возвращаясь к соотношению (2.5), заметим, что в единственном случае, когда нам потребуется конкретная форма S(k ,l ) ( A, B), Λ L+ (C ) порождает пространственно-временную инверсию. В этом случае S(k ,l ) ( A, B) является диагональной фазой. Таким образом, кон-

кретную форму S(k ,l) знать необязательно. По этой причине будем опускать индексы, относящиеся к матрицам S(k ,l) , а также индексы, относящиеся к полю φ(k ,l ) ( x) . Предположим, что вакуум 0 инвариантен относительно Пуанкаре преобразования

U (a, A)		0 =		0 .	(2.6)

Мы могли бы ограничиться скалярными полями, чтобы избежать усложненных обозначений. Однако для рассмотрения общего

100