Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

6.3. Зарядовое сопряжение

Как уже отмечалось выше, зарядовое сопряжение означает замену знаков электрических зарядов на противоположные.

Для электромагнитного поля преобразование зарядового сопряжения С означает замену знака векторного потенциала

U (C)Aμ (x)U (C)−1 = −Aμ (x) .

(6.21)

Для дираковских полей зарядовое сопряжение преобразует частицу в античастицу, и эта операция соответствует эрмитовому сопряжению

U (C)Ψ(x)U (C)−1 = ηCCΨ+ (x) .

(6.22)

Здесь ηC − снова фазовый фактор единичной величины, который можно считать ηC ≡1. Форму матрицы С можно найти, исходя из

требования инвариантности уравнения Дирака по отношению к преобразованию (6.22)

Cγ*μC −1 = −γμ .

(6.23)

Конкретная форма матрицы С зависит от формы используемых γ- матриц. В майорановском представлении, когда γ-матрицы чисто

мнимые					(γ*μ = −γμ				C =1) .		В дираковском же представлении
		0		1	0					0	σi
	γ			2			,	γi	=		матрица C = γ2 .
			=	0						−σi
					−12						0

Из-за простоты матрицы С в майорановском представлении, будем её использовать при рассмотрении зарядового сопряжения.

Используя соотношение (6.22), можно найти свойства фермионантифермионных билинейных комбинаций относительно операции зарядового сопряжения. Проиллюстрируем сначала эти свойства на

примере скалярной плотности ΨΨ :

U (C)Ψ(x)Ψ(x)U (C)−1 =U (C)Ψα+ (x)(γ0 )αβ Ψβ(x)U (C)−1 =
= Ψα (x)(γ0 )αβ Ψβ+ (x) = −Ψβ+ (x)(γ0 )αβ Ψα (x) =	(6.24)

= −Ψβ+ (x)(γ0T )βα Ψα (x) = +Ψ(x)Ψ(x).

Вторая строчка в выражении (6.24) следует из (6.22) в предположении майорановского представления C =1 . Третья строчка в (6.24)

211

получена из условия антикоммутирования фермионных полей. Наконец, в последней строке (6.24) использовано то, что в майоранов-

ском представлении γ0 – антисимметричная матрица (γ0T = −γ0 ) .

Аналогично получаются и другие соотношения для фермионантифермионных билинейных комбинаций при преобразованиях зарядового сопряжения:

U (C)

(x)Ψ(x)U (C)−1 =

(x)Ψ(x)

– (скаляр);

Ψ

Ψ

U (C)

(x)iγ5Ψ(x)U (C)−1 =

(x)γ5Ψ(x) –

(псевдоскаляр) ;

Ψ

Ψ

U (C)

(x)γμΨ(x)U (C)−1 = −Ψ

(x)γμΨ(x) – (вектор);

(6.25)

Ψ

U (C)Ψ(x)γμγ5Ψ(x)U (C)−1 = Ψ(x)γμγ5Ψ(x) – (псевдовектор).

Эти результаты имеют важные следствия. Например, из них следует, что электромагнитные взаимодействия С – инвариантны. Действительно, из соотношений (6.21) и (6.25) получаем:

		C	(6.26)
Wвзаимэлектр = ∫d 4 xeAμ (x)Ψ(x)γμΨ(x) →Wвзаимэлектр,

поскольку как Aμ, так и электромагнитный ток ΨγμΨ , изменяют

знак при преобразовании С.

Сильные взаимодействия также инвариантны по отношению к зарядовому сопряжению. Это утверждение требует пояснений. Действительно, SU(6.3) токи не имеют таких простых трансформационных свойств, как электромагнитный ток, поскольку он содержит нейтральные SU(6.3) матрицы λα . Эффективно эти матрицы в

билинейных комбинациях при зарядовом сопряжении переходят в транспонированные матрицы

		μ λα			−1		μ	λα T
	U (C)qγ	2		qU (C)		= −qγ			q .	(6.27)
								2
Поскольку матрицы λ1 , λ3 , λ4 ,					λ6 и λ8		– симметричны, а λ2 , λ5
и λ1 – антисимметричны, то
			Jaμ → −η(a)Jaμ ,							(6.28)
		+1		для	a =1, 3, 4, 6 и 8
где	η(a) ={−1			для		a = 2, 5		и 7.		(6.29)
				212

Чтобы гарантировать инвариантность членов с кварк – глюонным взаимодействием:

Wвзаим = ∫d 4 g3 AaμJμa

(6.30)

относительно зарядового сопряжения, надо предположить, что свойства глюонных полей по отношению к операции С зависят от той компоненты поля, которая входит в рассмотрение. Действительно, для С-инвариантности (6.30) необходимо

U (C)Aμ (x)U (C)−1 = −ηAμ (x) .	(6.31)
a

Легко проверить, что это трансформационное свойство необходимо для обеспечения определенных С – свойств нелинейных напряженностей глюонных полей

Gμν = ∂μ Aν − ∂ν Aμ + gf			abc	Aμ Aν .	(6.32)
a	a	a		b c

Для SU(3) единственные неравные нулю структурные константы fabс ≠ 0 для abc = {123, 147, 156, 246, 257, 345, 367, 458, 678}. (6.33)

Как можно видеть, fabс ≠ 0 только в случаях, когда среди индексов есть нечетное число. Это означает, что Gaμν преобразуется при зарядовом сопряжении так, как Aaμ :

U (C)Gμν (x)U (C)−1 = −η(a)G

μν (x) .

(6.34)

a

a

Тогда для сильных взаимодействий имеем

−q

γμ

1

D + m

q −

KXD

4

i

μ

q

C

KXД

W

= ∫d

. (6.35)

x

1

→W

μν

−

Ga Gaμν

4

Другая ситуация для слабых взаимодействий, поскольку они включают как векторные, так и псевдовекторные взаимодействия. Рассмотрим, для примера, SU(2) токи лептонов первого поколения

μ

μ τi

νe

1

μ

νe

Ji

= (νee )L γ

e

=

(νee )γ

(1− γ5 )τi

e

.

(6.36)

4

2

L

213

Этот ток преобразуется по-разному в своих векторных и псевдовекторных частях, как и в 1, 3 и 2 компонентах

U (C)J μ U (C)−1

= −

1

(ν

e

e )γμ

(1+ γ

5

)τ

νe

;

1,3

4

1,3

e

(6.37)

μ

−1

1

μ

(1+ γ5 )τ2

νe

U (C)J2 U (C)

= +

(νee )γ

.

4

e

Отличие в поведении 1, 3 и 2 компонент можно исключить, если постулировать следующие С – трансформационные свойства Wiμ полей

U (C)W μ (x)U (C)−1	= −η(i)W μ (x) ,	(6.38)
i	i
где	i =1, 3
+1,
η(i) ={−1,	i = 2	(6.39)

Заметим, что эти свойства – как раз те свойства, которые можно было ожидать, поскольку они подразумевают:

	1		C
W μ =		(W μ ± iW μ ) →W μ .		(6.40)
±	2	1 2

Однако присутствие векторных и псевдовекторных частей в токах, определяющее слабые взаимодействия, не дает оснований считать, что

Wслаб.взаим. С→Wслаб.взаим. , (6.41)

как это и наблюдается экспериментально.

6.4. Обращение времени

Классически Т-инвариантность означает, что уравнения движения, описывающие частицу, распространяющуюся из положения А в положение В по некоторому пути, допускают и обратное по времени движение. Очевидно, при обращенном во времени движении все импульсы меняют знак, а координаты остаются неизменными. Итак, при Т-преобразовании

T		dp	T
p →−p ;	F =		→F .	(6.42)
		dt
	214

На квантовомеханическом уровне замена начальных состояний на конечные означает введение антиунитарного оператора U(6.T) обращения времени, причем этот оператор обладает следующим свойством

U(T) = V(T)K,

(6.43)

где V(T) – унитарный оператор, а K – осуществляет комплексное сопряжение любого i-числа, на которое он действует. Оператор комплексного сопряжения, как часть U(T), формирует антиунитарный оператор. Необходимость комплексного сопряжения в связи с обращением времени видна уже на уровне уравнения Шредингера. Действительно, из уравнения

			i	∂	Ψ(x,t) = H Ψ(x,t)	(6.44)
				∂t
	можно вывести, что Ψ* (x,−t) удовлетворяет уравнению
	i	∂	Ψ* (x,−t) = H *Ψ* (x,−t) .			(6.45)
		∂t

Если гамильтониан вещественный (H * = H ) , то можно видеть, что

Ψ* (x,−t) тоже является решением уравнения Шредингера. Таким

образом, в квантовой механике комплексное сопряжение волновой функции (наряду с вещественностью гамильтониана) связано с обращением направления времени. Комплексное сопряжение с обращением времени эффективно изменяют in и out состояния

U (T )ϕ		U (T )Ψ = Ψ		ϕ .	(6.46)

Если Т является симметрией теории, то в этой теории связаны как прямые, так и обратные во времени процессы (например, распад А→ВС и образование А при слиянии В и С). Более точно, если обращение времени является симметрией теории, то в этой теории S – матричный элемент S fi связан с матричным элементом Sif , где

состояния i , f имеют все направления импульсов { p} , противоположные по сравнению с состояниями i, f. Иначе говоря

S fi = out f

i in

= in

U (T )i

U (T ) f out

=

(6.47)

= out

i

f

in = S

.

if

215

Подчеркнем, что последний «шаг» в (6.47) справедлив только тогда, когда обращение времени является симметрией теории, так как только в этом случае

U (T )

f out =

in ; U (T )

i in =

out .

(6.48)

f

i

Необходимо прокомментировать предположение о вещественности гамильтониана. Это не так в случае, когда в задаче рассматривается спин, поэтому есть резон в добавлении дополнительного оператора V(T) в соотношение (6.43). Более точно следует записать

V (T )H *V (T )−1 = H .

(6.49)

Вотсутствие спина, V(T) – единичная матрица, но если есть спин,

ееприсутствие допускает Т-инвариантность. Простейший пример представляет собой спин-орбитальное взаимодействие в атомной физике

					HC.O. = λσL ,					(6.50)
где λ – некоторая константа.
Поскольку L = r ×			1	, то
			i
			HC.O. = λσ*L* = −λσ*L ,							(6.51)
что не одно и то же с выражением (6.50), так как										σ*2 = −σ2 , но
σ*	= σ . Однако σ	2		σ*σ	2	= −σ, поэтому использование V(T) = σ					2
1,3	1,3
гарантирует, что
	V (T )H *						V (T )−1	= H	C.O.	(6.52)
						C.O.

Физически это означает, что при обращении времени не только

L → −L , но и σ → −σ .

В классической теории поля можно непосредственно установить, как преобразование обращения времени влияет на электромагнитные поля. Так как сила Лоренца инвариантна относительно преобразования Т

	dp	T
F =		= q(E + υ× B) →F ,	(6.53)
	dt

то поле E четно, а B – нечетно при обращении времени. В терминах векторного потенциала имеем

216

U (T )Aμ (x,t)U (T )−1 = η(μ)Aμ (x,−t) .

(6.54)

Для частиц со спином ½ можно вывести трансформационные свойства Ψ(x,t) при Т-преобразованиях, исходя из требования, чтобы действие U(T) на Ψ(x,t) порождало другое решение уравнения Дирака. Записывая

U (T )Ψ(x,t)U (T )−1 = η T Ψ(x,−t)	(6.55)
T

с ηT -фазой единичной величины и учитывая, что U(T) комплексно

сопрягает все с-числа, находим, что для инвариантности уравнения Дирака матрица Т должна удовлетворять условиям:

T γ0*T −1 = γ0 ; T γi*T −1 = −γi .

(6.56)

Как и в случае матрицы зарядового сопряжения С, форма матрицы Т зависит от представления γ-матриц. В удобном майорановском

представлении γμ* = −γμ получаем:

T = γ0γ5 .

(6.57)

С помощью соотношений (6.55) и (6.57) легко найти Т-транс- формационные свойства фермион-антифермионных билинейных комбинаций

U (T )Ψ(x,t)Ψ(x,t)U (T )−1 = Ψ(x,−t)Ψ(x,−t) – скаляр

U (T )Ψ(x,t)iγ5U (T )−1 = Ψ(x,−t)iγ5Ψ(x,−t) – псевдоскаляр

U (T )Ψ(x,t)γμU (T )−1 = η(μ)Ψ(x,−t)γμΨ(x,−t) – вектор (6.58)

U (T )			(x,t)γμγ U (T )−1		=
	Ψ
5						– псевдовектор
= −η(μ)				(x, −t)γμγ5Ψ(x, −t)
			Ψ

Из соотношения (6.54), а также из вещественности электромагнитной константы е следует, что электромагнитные взаимодействия Т – инвариантны

		T	(6.59)
Wвзаимэлектр = ∫d 4 xeAμ (x)Ψ(x)γμΨ(x) → →Wвзаимэлектр.

Можно проверить, что калибровочные взаимодействия КХД и SU(2)×U(1) электрослабой теории также Т-инвариантны, если правильно определен закон преобразования калибровочных полей. Поскольку в SU(3) только λ2 ,λ5 и λ6 – мнимые матрицы, а для

217

SU(2) мнимая матрица σ2 , то легко проверить, что желаемыми Т- трансформационными свойствами являются:

U (T )Aμ (x,t)U (T )−1	= η(μ)η(a)Aμ (x, −t) ;	(SU(3))
a	a
U (T )W μ (x,t)U (T )−1	= η(μ)η(i)W μ (x, −t) ;	(SU(2)) (6.60)
i	i

U (T )Y μ (x,t)U (T )−1 = η(μ)Y μ (x, −t) (U(1)).

В отличие от С – преобразования, Т – преобразование изменяет векторные токи одинаковым образом. Таким образом, используя соотношения (6.58) и (6.60) получаем:

WкалибрCM . T →WкалибрCM . (6.61)

Стандартная модель, однако, может иметь Т-нарушающие взаимодействия в электрослабом секторе, включающем скалярное хиггсовское поле. Константы связи хиггсовского поля, в отличии от калибровочных констант, не обязательно должны быть вещественными. Комплексность констант связи определяет возможность Т-нарушающих взаимодействий. Проверим это утверждение в простейшем случае одного комплексного хиггсовского дублета:

	ϕ0
Φ =	ϕ	− .	(6.62)

Скалярные хиггсовские самовзаимодействия, определяющие нарушение SU(2)×U(1), содержат только вещественные коэффициенты, т.к. хиггсовский потенциал должен быть эрмитовым:

		Φ+Φ −	V 2		=V + ,
	V = λ					(6.63)
			2

т.е. λ и V – вещественные параметры.

Юкавские взаимодействия Ф с кварковыми полями, однако, могут содержать комплексные коэффициенты.

Если i, j нумеруют семейства, то эти взаимодействия записываются в виде

L

= −Γu

(

−Γd

u

, d

)

Li

ΦU

Rj

(

u

, d )

Li

Φd

Rj

+ э.с.

(6.64)

юкава

ij

ij

В этом выражении Φ = iσ2Φ* , а матрицы Γuij и Γijd – произвольные комплексные матрицы. После спонтанного нарушения электросла-

218

бой симметрии, из дублета Ф остается одно скалярное возбуждение – хиггсовский бозон Н и вакуумное среднее V:

	Φ →	1	V + H
				0	.	(6.65)
		2

Юкавские взаимодействия (6.64) генерируют массовые члены для зарядов 2/3 и (–1/3) кварков:

	Miju,d =	1	Γuij,dV .	(6.66)
		2

Как известно, Miju,d могут быть диагонализованы биунитарным преобразованием

(U Lu,d )+ M u,dU Ru,d = M u,d .

(6.67)

Диагональные матрицы M u,d имеют вещественные собственные

значения mi , соответствующие физическим кварковым массам.

Кроме того, биунитарные преобразования кварковых полей диагонализуют матрицы юкавских связей, поскольку М и Г линейно связаны. Следовательно, все, что остается от юкавского сектора после этих преобразований – простое взаимодействие

эф			H (x)
Lюкавс = −∑miqi (x)qi	(x) 1	+			.	(6.68)
			V
Если H (x,t) имеет канонический закон Т –				преобразования, то
можно ожидать для скалярного поля
U (T )H (x,t)U (T )−1 = H (x,−t) .						(6.69)

Соотношение (6.68) содержит Т-сохраняющее взаимодействие. Однако комплексная природа первоначальных юкавских связей допускает наличие некоторых Т-нарушающих взаимодействий. Действительно, биунитарные преобразования над кварковыми полями, которые необходимы для диагонализации кварковых массовых матриц, изменяют форму заряженных слабых токов. В самом деле, до этих преобразований лагранжиан заряженных токов имел вид

LCC =		e	W μJ 0	+W μJ 0	,	(6.70)
		2 sin θ
2			+ −μ	− +μ
		W

219

d1

где

J 0

= (

u

,

u

2

,

u

3

)γ

μ

(1− γ

5

)

d

2

(6.71)

−μ

1

d3

и

J+μ0

= (J−μ0 )+ .

(6.72)

Очевидно, что взаимодействие (6.70) Т-инвариантно. Однако, после биунитарного преобразования кварковых полей, заряженный

ток J−0μ изменяется следующим образом

d

J 0

= (

,c ,

)γ

(1− γ

)V

s

,

(6.73)

u

t

μ

5

−μ

CKM

где матрица смешивания СКМ

b

=U u+U d

V

(6.74)

CKM

L

L

– унитарная матрица. Поскольку, вообще говоря, VCKM комплексна, то присутствие этой комплексности в токах J−0μ (6. J+μ0 ) может

приводить к Т-нарушению.

Для трех поколений кварков и лептонов нетрудно показать, что матрица VCKM имеет только одну физическую фазу δ. Все другие фазы исключаются путем переопределения кварковых полей. Если δ≠0, то заряженный слабый ток не обладает Т-инвариантностью:

		e	W μJ				T
LCC (x,t) =					+W μJ		→LCC (x, −t), (6.75)
		2 sin θ
2			+	−μ	−	+μ	/
		W

и стандартная модель может содержать наблюдаемые проявления нарушения Т-инвариантности.

6.5. СРТ-преобразование

Если природа описывается локальной лоренц-инвариантной полевой теорией с обычным соотношением между спином и статистикой, то имеет место знаменитая СРТ-теорема (Паули, 1955 г.). При таких условиях можно показать, что действие теории всегда инвариантно относительно С, Р, Т преобразований, т.е.

220