Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

относительности. На самом деле, однако, общая теория относительности строилась иначе. Эйнштейн вывел теорию из единственного симметрийного принципа – принципа эквивалентности (инерционной и гравитационной массы), который нашел свое формальное выражение в принципе общей ковариантности: эквивалентности всех систем отсчета при описании физических законов.

Локальная симметрия и динамика

Согласно теореме Нетер, каждая непрерывная симметрия приводит к сохраняющемуся току jμ(x) . Локальная симметрия, такая

как калибровочная симметрия электромагнетизма или диффеоморфная симметрия уравнений Эйнштейна, содержит бесконечное число симметрий в каждой пространственно-временной точке. Это означает, что должно быть бесконечное число сохраняющихся токов. Где же они? Определенно, у нас нет бесконечного числа сохраняющихся величин в электромагнетизме.

Чтобы разрешить эту загадку в случае U(1) локальной симметрии, обозначим через Fμν (x) напряженность электромагнитного поля, Aμ (x) – векторный потенциал, связанный с плотностью тока

J μ (x)		посредством			лагранжиана L(x) = − 1 F μν F					+ J μ A . При
								4	μν		μ
											δAμ (x) =
инфинитезимальном					калибровочном			преобразовании
= ∂μλ(x)				плотность лагранжиана				изменяется		на	величину
δL = J	μ	∂	μ	λ. Ток jμ	(x) = −Fμν (x)∂	ν	λ(x) вызван источником в δL.
				λ
При этом
		∂μ jλμ (x) = ∂μ (−F μν (x)∂νλ(x)) = δL(x) = J ν (x)∂νλ(x).									(В.26)
Поскольку Fμν (x) антисимметричен по двум индексам, то
				(∂μF μν (x) + J ν (x))∂νλ(x) = 0 .							(В.27)
Отсюда получаем
					∂μ F μν (x) + J ν (x) = 0 ,						(В.28)
					21

поскольку λ(х) – произвольна. Соотношение (В.28) – уравнения Максвелла. Таким образом, локальная калибровочная симметрия полностью определяет динамику, содержащуюся в уравнениях Максвелла.

Как быть с бесконечным числом сохраняющихся зарядов? jμ не

сохраняется до тех пор, пока J μ =0. Рассмотрим этот случай. Сохраняющийся заряд

Qλ (t) = ∫d3 xjλ0 (xG,t) = −∫d3 xF 0k ∂k λ .

(В.29)

Выполняя интегрирование по частям, и считая, как обычно, что интеграл по поверхности дает ноль, приходим к выводу, что Q(t)=0

для всех λ(x), если справедлива теорема Гаусса dk F 0k = 0 . Таким

образом, в уравнениях Максвелла содержится бесконечное число сохраняющихся токов. Аналогичное явление происходит и с другими локальными симметриями. Локальные симметрии, как известно из стандартной модели и эйнштейновской гравитации, являются симметриями для калибровочных полей со спином единица и гравитационных полей со спином 2. В настоящее время неизвестно локальной симметрии, которая бы включала фермионы и задавала бы их уравнения движения. Удовлетворяет ли этому требования локальная суперсимметрия?

Теория суперструн указывает на то, что пространство-время 10-мерно, а калибровочная группа либо SO(32), либо E8 × E8 . Если

Вселенная обладает «изначальной» симметрией, то информация о ней в значительной степени утрачена. Действительно, мы живем в мире с низкой температурой в поздней Вселенной, когда большинство из симметрий спонтанно нарушено.

22

Комбинация пространственно-временных и внутренних симметрий

Обратимся, к примеру, к группе SU(2). Это трехмерная группа Ли, чья алгебра SU(2) задается матрицами Паули σa , a =1, 2, 3.

В теориях полях с SU(2) как группой внутренней симметрии, можно ввести поля π(х), которые принимают значения в алгебре Ли

3

SU(2), т.е. π(x) = ∑πa (x)σa . Для статических конфигураций

a=1

три компоненты πa (rG) можно связать с тремя компонентами обычного вектора rG = (xa ) , а = 1, 2, 3; т.е. πa (r) = f (r)xa , где

r = (x1 )2 + (x1 )2 + (x3 )2 . Обычно этот подход используется в мо-

делях Скирма в ядерной физике. Подобные примеры связаны с монопольными и инстантонными конфигурациями в SU(2) калибровочных теориях. Таким образом, для этих конфигураций (состояний) существует определенное смешивание индексов, связанных с внутренними и пространственно-временными симметриями.

Можно было бы надеяться, что такое сочетание внутренних и пространственно-временных симметрий может существовать на более фундаментальном уровне как общее свойство теории поля, а не только как некоторые полевые конфигурации в конкретных моделях. Эта особенность весьма привлекательна при построении единой теории фундаментальных взаимодействий, включающей гравитацию. Однако это оказывается невозможным в силу, так называемых, no-go теорем. В частности, в силу теоремы КоулменаМандулы (см. Приложение 2), наиболее общая группа инвариантности релятивистской квантовой теории поля есть прямое произведение группы Пуанкаре и внутренней группы симметрии, т.е., нет смешивания между этими преобразованиями симметрии.

Однако эти no-go теоремы не дают оснований считать, что такое смешивание невозможно, если набор преобразований симметрий представлен более общей алгебраической структурой, чем группа Ли. Известная теорема Хаага и др. утверждает, что наиболее общей супергруппой Ли симметрий локальной теории поля является

23

N – расширенная Пуанкаре супергруппа, в которой имеет место нетривиальное смешивание пространственно-временных и внутренних SU(N) преобразований. Этот результат можно рассматривать как аргумент в пользу существования суперсимметрии как природной симметрии.

Дуальные суперсимметрии

Рассмотрим уравнения Максвелла, содержащие как электриче-

ские, так и магнитные источники (гипотетические магнитные монополи)

div E = ρe ;	rot EG +∂t BG = − jm	;
div BG = ρm ;	rot BG −∂t EG = je .	(В.30)

Эти уравнения инвариантны относительно дуального преобразова-

ния: G G G G

(E, B,ρe ,ρm , je , Gjm ) → (B, −E,ρm , −ρe , Gjm , − Gje ) . (В.31)

В квантовой механике, как известно, присутствие монополей приводит к квантованию электрических и магнитных зарядов: для заданной частицы эти заряды связаны дираковским условием qeqm = 2πn , где n – целое число. Таким образом, минимальные за-

ряды удовлетворяют соотношению qm = 2π . Поскольку дуальная qe

симметрия меняет электрические и магнитные переменные, то можно сказать, что дуальность меняет константу связи qe на об-

ратную ей константу (с точность до фактора 2π). Иначе говоря, и это чрезвычайно важно, дуальные симметрии изменяют режим слабой связи на режим сильной связи и наоборот. Таким образом, в дуальной формулировке теории оказывается возможным изучение физики в области сильной связи, исходя из режима слабой связи. Эта идея оказалась очень плодотворной в струнных теориях и привела к изучению таких протяженных объектов, как мембран или многомерных объектов, которые относятся к p-бранам (p = 1 для струн, p = 2 для двумерных мембран, …). Все эти объекты и свя-

24

занные с ними теории основаны на рассмотрении преобразований дуальности.

Дискретные симметрии

Дискретные пространственно-временные симметрии – четности (P), обращения времени (Т) обычно обсуждаются в связи с зарядовым сопряжением (C), которое преобразует заряженную частицу в античастицу с противоположным зарядом. Эта симметрия связывает комплексное поле с комплексно-сопряженным полем. Знаменитая СРТ теорема, которую мы будем обсуждать в этой книге, утверждает, что произведение всех трех дискретных симметрий в любой локальной теории поля сохраняется.

Элементарные частицы характеризуются не только массой и спином (связанными с пространственно-временными симметриями) и их зарядом по отношению к калибровочным симметриям (например, электрическим зарядом и слабым изоспином для U(1) и SU(2) симметрией), но и другими аддитивными квантовыми числами (например, лептонным числом). Эти аддитивные квантовые числа всегда можно связать с глобальной U(1) симметрией, по-

скольку g(Q1) g(Q2) = g(Q1+Q2) для g(Q) = exp (iQα) U(1). Таким образом, соответствующие законы сохранения отражают U(1) ин-

вариантность лагранжиана.

Математическое описание симметрий и их применение в физических теориях

1. Группы Ли и алгебры. При изучении нескольких преобразований симметрии можно обнаружить, что они образуют группу. Чтобы ввести точное определение группы, рассмотрим несколько прототипов группы. Наборы Z и R чисел, снабженные законом умножения, являются примерами абелевых (коммутативных) групп. Очень полезная группа может быть построена из аддитивной группы (Z,+) путем идентификации соответственно четных и нечетных чисел: это так называемая фактор-группа

Z2 = Z / 2Z = {					(В.32)
	0, 1} ,
25

которая состоит из классов эквивалентности четных и нечетных чисел. В этом случае «таблица умножения» выглядит так

+

=

(В.33)

0

0

0; 0 + 1 = 1 = 1 + 0; 1 + 1 = 0 .

Z2 – представляет собой конечную дискретную группу, Z – бесконечная дискретная группа, R – бесконечная группа, характеризуемая одним непрерывным вещественным параметром. Все это примеры одномерных групп Ли. Можно сказать, что группа Ли – это группа, чьи элементы могут быть параметризованы одним или несколькими вещественными числами (их полное число определяет

размерность группы). Таким образом, (Rμ, +) n-мерная абелева

группа Ли.

Прежде чем обратиться к другим примерам групп, нужно отметить определенные соответствия между группами. Две группы называются изоморфными по отношению друг к другу, если имеется взаимно однозначное соответствие между их элементами, и они имеют одинаковую структуру. Например, группа ( Tn ,D) трансля-

ций Rn изоморфна аддитивной группе ( R n ,+), поскольку соответствие Ta ↔ a сохраняет групповое умножение Ta DTb =Ta+b .

Существует большое число конечномерных групп Ли, имеющих физическое значение. Примеры, рассмотренные нами до сих пор, включали группы трансляций и вращений, группы Лоренца, Пуанкаре, группу конформных преобразований (связанных с простран- ственно-временными симметриями) или специальные унитарные группы, относящиеся к внутренним симметриям. Кроме этих конечномерных групп Ли, существуют и бесконечномерные группы, играющие важную роль в физике. Группа Ли диффеоморфизмов (общих координатных преобразований) является важнейшей составной частью общей теории относительности. Группа Вирасоро – группа диффеоморфизмов единичного цикла составляет фундамент двухмерных конформных теорий поля, которые находят свое приложение в статистической механике и физике твердого тела.

Помимо группы Ли, часто рассматриваются ассоциированные алгебры Ли: это набор инфинитезимальных преобразований дополненный скобкой Ли, которая в случае матричных алгебр представ-

26

ляет собой обычный коммутатор [A, B] = AB – BA. Путем экспоненцирования элементов алгебры Ли (т.е. интегрирования инфинитезимальных преобразований) можно восстановить элемент группы Ли.

2. Физические приложения: представления. В физике часто встречаются с проблемой, как описать действие преобразования симметрии на определенные объекты. Например, на волновые функции, описывающие электрон в квантовой механике. Для этих целей используется понятие представление группы (или алгебры в зависимости от типа рассматриваемой симметрии).

N-мерное представление D группы G определяется следующим образом: каждому g G ставится в соответствие N×N матрица D(y) (линейный оператор N-мерном векторном пространстве) та-

ким образом,	чтобы групповая	структура	сохранялась:
′	′	g → D(g)	взаимно одно-
D(gg ) = D(g)D(g ) . Если соответствие

значное, то набор всех представлений D(g) образует группу, которая изоморфна группе G. Например, бесконечномерное представление группы трансляций (T1n ,D) гильбертова пространства волно-

вых функций Ψ(x) определяется так: Ta → D(Ta ) с D(Ta )Ψ = Ψa

иΨa (x) = Ψ(x −a) .

3.Обобщения. Кроме групп Ли и алгебр Ли, при описании симметрии за последние несколько десятилетий в физике использовались и другие алгебраические структуры. Упомянем о них тоже. Преобразования перенормировки, используемые для описания динамических систем в статистической механике или в квантовой теории поля, оказываются необратимыми и образуют полугруппу, традиционно называемую ренорм-группой.

Супералгебры Ли или Z2 – градуированные алгебры, о которых мы уже упоминали, являются Z2 – градуированными расширениями обычных алгебр Ли. Пуанкаре супералгебра представляет собой базис всех суперсимметричных теорий поля.

27

Применение симметрий при построении физических теорий

Как групповые представления применяются при построении физических теорий? Пожалуй, точнее всего ситуацию выразил Вейль: «Насколько я понимаю, все априорные утверждения в физике имеют в своей основе симметрию». Законы природы представляют собой реализацию симметрий природы. «Строительные блоки» физических теорий зачастую определяются и классифицируются, исходя из симметричных соображений. Форма взаимодействия определяется пространственно-временными симметриями (релятивистская ковариантность) и калибровочными симметриями. Использование симметрийных соображений является решающим фактором при изучении физической проблемы.

Даже если ничего неизвестно о симметриях физических законов или они не используются при решении конкретной проблемы, симметрии способны проявить себя в решениях. Например, если не

рассматривать симметрии уравнения Ньютона mx = − dVdx (x) , то

для его решения x=x(t) комбинация 12 mx2 (t) + V (x(t)) не зависит от

переменной t. Полная энергия сохраняется вследствие временной трансляционной инвариантности уравнений движения.

Различные проявления симметрий

До сих пор обсуждались точные симметрии законов природы, не заботясь об области их применимости. Имея дело с симметриями, естественным образом возникают следующие вопросы:

а) симметрии чего? Можно говорить о симметриях уравнений движения (лагранжиана и гамильтониана), граничных условий, а также о симметриях решений (состояний);

б) симметрии на каком масштабе? На микроскопическом или макроскопическом масштабе, при высоких (низких) энергиях (температурах);

28

в) симметрии на каком уровне? Можно говорить о симметриях на классическом или квантовом уровнях. Не всегда эти симметрии совпадают, тогда говорят об аномалиях;

г) какой тип симметрии? Симметрии бывают точными, приближенными и нарушенными. И если симметрия нарушена, то каким образом: точно, спонтанно или аномалией?

Рассмотрим более подробно нарушенные симметрии.

Нарушенные симметрии

Когда атом помещают в электрическое или магнитное поле, вращательная симметрия оказывается нарушенной (эффекты Штарка и Зеемана). В этом случае гамильтониан содержит дополнительное слагаемое, которое неинвариантно относительно вращений. Это пример точного нарушения симметрии. С подобной ситуацией можно встретиться и в теории поля, если рассматривать лагранжиан, который инвариантен относительно определенных преобразований симметрии и к нему добавлено слагаемое, этой инвариантностью не обладающее (например, массовые члены в

SU(3) теории).

Даже если симметрия явно нарушена, можно сделать важные выводы, исходя из этой симметрии. Действительно, если нарушающий член имеет малую амплитуду, то вблизи решений симметричной теории можно развить теорию возмущений.

Аномальное нарушение

Если определенное число симметрий присутствует в классической теории, но не все они существуют в соответствующей квантовой теории, то говорят об аномальном нарушении симметрии. Слагаемое в эффективном действии, которое неинвариантно в квантовой теории, называется аномалией.

Присутствие аномалий в квантовой теории поля нарушает ее перенормируемость. Поэтому отсутствие аномалий в стандартной модели физики частиц весьма существенно: оно эквивалентно наличию равного числа кварковых и лептонных поколений.

29

Вструнных теориях требование отсутствия аномалий приводит

кзаключению о том, что струны могут распространяться в про- странственно-временных многообразиях определенной размерности, так называемой критической размерности (d=10 для суперструн). Стоит упомянуть, что аксиальная аномалия в теории поля проявляет себя в физических процессах, например, в распаде нейтрального пиона на два фотона.

Спонтанное нарушение симметрии

О спонтанном нарушении симметрии говорят в том случае, если симметрия уравнений движения и граничных условий не присутствует в наблюдаемых решениях. Иначе говоря, симметрия основного состояния теории (вакуума) оказывается ниже симметрии уравнений движения (гамильтониана или лагранжиана).

Простой нерелятивистской моделью спонтанного нарушения

симметрии является ферромагнетик: в каждом узле xG z3 регуляр-

G

ной кубической решетки помещается спин S (3) , и магнитному взаимодействию двух соседних спинов соответствует член – SG(xG)SG( yG) в энергии. Таким образом, гамильтониан, который полу-

чается суммированием этих вкладов по всей решетке, инвариантен относительно вращений всех спинов на одну и ту же величину. Основное состояние – это состояние с минимальной энергией. При температурах Т < Ткюри основное состояние ферромагнетика содержит области спонтанной намагниченности (домены), которые имеют другую симметрию, чем гамильтониан.

Идею спонтанного нарушения симметрии можно использовать при построении физических моделей, например, суперсимметричных теорий поля. Действительно, если суперсимметрия является фундаментальной симметрией природы, то у каждой известной частицы с целым (полуцелым) спином должен быть суперсимметричный партнер с полуцелым (целым) спином точно такой же массы. Однако частиц с подобными свойствами пока не наблюдалось. Это исключает суперсимметрию как точную симметрию природы, но не как спонтанно нарушенную симметрию: в этом случае симметрия существует, но состояния теории ее не проявляют, т.е. су-

30