Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

7.3. Спиноры

Пусть лагранжиан теории содержит набор полей Ψr – они могут быть бозонами или фермионами. Считаем, что лагранжиан инвариантен относительно инфинитезимальных преобразований полей:

δεΨr = −iελrsΨs ,

(7.34)

где по повторяющемуся индексу проводится суммирование, λrs – некоторые постоянные коэффициенты (например, элементы матриц Паули), ε – инфинитезимальный параметр.

Преобразование суперсимметрии выглядит похоже, только бозонные поля преобразуются в фермионные:

δεϕ ≈ ζΨ ,

(7.35)

где φ – бозонное (скажем, со спином 0), Ψ – фермионное поле (со спином 1/2), ζ – инфинитезимальный параметр (он должен быть спинором). Заметим, что число степеней свободы (фермионных и бозонных) в обеих частях соотношения (7.35) должно быть одинаковым, точно так же, как число полей r = 1, 2,…, N в левой части (7.34) равно числу полей J = 1, 2,…, в правой части.

Простейший пример бозонного поля – нейтральное скалярное поле, имеющее только одну вещественную компоненту φ = φ+. С другой стороны, нет фермионного поля только с одной компонентой. Спинор имеет, по крайней мере, две компоненты. Это означает, что следует рассматривать бозонное поле с двумя степенями свободы, и это будет комплексное (заряженное) скалярное поле.

Какого типа двухкомпонентное фермионное поле нужно подобрать в пару к комплексному скалярному полю?

В уравнение Дирака входит не двухкомпонентное, а четырёхкомпонентное поле. В простейшем варианте SUSY участвуют, однако, комплексное скалярное поле и двухкомпонентное фермионное поле. Дираковские поля на самом деле содержат два двухкомпонентных поля. Нужно “достроить” дираковское поле и понять природу двух различных двухкомпонентных полей. Дело в том, что две “половинки” 4-х компонентного дираковского поля по-разному ведут себя при преобразованиях Лоренца. Понимание этого аспекта очень важно с точки зрения записи SUSY преобразований, соответствующих преобразованиях Лоренца. Например, левая часть соот-

241

ношения (7.35) содержит комплексное скалярное поле (спин 0), причём его как вещественная, так и мнимая компоненты несут спин 0. Следовательно, они инвариантны относительно преобразований Лоренца. В правой же части (7.35) – двухкомпонентный спинор (спин 1/2) Ψ, который неинвариантен относительно преобразований Лоренца. Но параметр ζ – тоже двухкомпонентный спинор, поэтому надо понять, как “совместить” ζ и Ψ, чтобы в правой части (7.35) получить те же трансформационные свойства, что и в левой.

7.4. Спиноры и преобразования Лоренца

Начнём обсуждение с уравнения Дирака в импульсном пространстве:

(αp +βm)Ψ = EΨ .														(7.36)
Если выбрать представление
σ				0						0			1	(7.37)
α =						,		β =					,
0				−σ						1			0
то гамма-матрицы			−σ
0							,					1	0	(7.38)
γ =				0				γ5 =					.
σ												0	1
Как обычно σ = (σx ,σy ,σz )						–	матрицы Паули. Представив поле
(7.36) в виде								ψ
														(7.39)
				Ψ =				,
получим из уравнения Дирака								χ
(E − σ p)ψ = mχ ;														(7.40)
(E + σ p)χ = mψ .														(7.41)
В пределе m→0 σpψ0 = Eψ0						и E →				p		, т.е. в безмассовом пределе
σ				p				= ψ0 .
					ψ0									(7.42)
			p

Отсюда видно, что ψ0 – собственное состояние оператора спираль-

ности σ×p p с собственным значением (+1) – положительной спи-

242

ральностью. Соответственно, в безмассовом пределе, (7.41) характеризует состояние χ0 с отрицательной спиральностью.

При m ≠ 0 ψ и χ не являются собственными состояниями спиральности – массовый член их смешивает. Как будет показано ниже, именно эти двухкомпонентные объекты ψ и χ имеют вполне определённые лоренцевские трансформационные свойства, и именно их следует рассматривать при построении различных суперсимметричных моделей.

Поля ψ и χ, не являясь собственными состояниями спиральности, будут собственными состояниями оператора γ5. В самом деле:

γ5		ψ			ψ		и	γ5		0		0			(7.43)
		0		=	0					χ		= −	χ	.

Эти два собственных γ5-состояния можно построить из первоначального поля Ψ, используя проекционные операторы

	P	=	(1+ γ5 )					= 1	0			;	(7.44)
	R				2				0
								0
	P =			(1- γ5 )				= 0	0	.			(7.45)
	L				2				1
								0
Тогда	P Ψ =				ψ	,		P Ψ =			0	.	(7.46)
	R							L			χ
					0

Легко проверить, что PR PL = 0 , PR2 = PL2 =1. Собственные состоя-

ния оператора γ5 называются киральностями: ψ имеет киральность (+1), а χ – киральность (–1). По не совсем удачной терминологии, киральность (+) обозначается через R (правая киральность), а киральность (–) – L (левая), несмотря на то, что (как было указано выше) ψ и χ при m≠0 не являются собственными значениями спиральности. Часто 2-х компонентный спинор “ψ-типа” обозначается как ψR, а “χ-типа” – как χL. Далее будем опускать индексы R и L, имея в виду, что ψ находится в R-состоянии, а χ – в L-состоянии.

Поля ψ и χ обладают вполне определёнными лоренцевскими свойствами. Как известно, лоренцевские преобразования включают в себя два типа преобразований: вращения и сдвиги. Достаточно рассмотреть инфинитезимальные преобразования, которые можно определить по их действию на 4-вектор, например, на 4-вектор

243

энергии-импульса (E, p) . При инфинитезимальном 3-мерном вращении:

E → E’=E; p → p ' = p − ε× p ,

(7.47)

где ε = (ε1,ε2 ,ε3 ) – три инфинитезимальных параметра, опреде-

ляющие вращение.

При преобразованиях сдвига

E → E ' = E − ηp , p → p ' = p − ηE ,

(7.48)

где η= (η1, η2 , η3 ) – три инфинитезимальных скорости.

Таким образом, ψ и χ при лоренцевских преобразованиях изменяются следующим образом:

	+ i	εσ	−	ησ	ψ ;	(7.49)
ψ → ψ' = 1		2
				2
	+ i	εσ	+	ησ	χ .	(7.50)
χ → χ' = 1		2
				2

Уравнения (7.49), (7.50) очень важны, поскольку они дают “рецепт” построения спиноров ψ’ и χ’ в повёрнутой и сдвинутой системе с помощью исходных спиноров ψ и χ. Иначе говоря, ψ’ и χ’ из соотношений (7.49), (7.50) удовлетворяют “штрихованному” аналогу уравнений (7.40) и (7.41):

(E '− σp)ψ' = mχ' ;	(7.51)
(E '+ σp)χ' = mψ' .	(7.52)

Проверим это утверждение в частном случае – для преобразований

сдвига. Определим		V	= 1−	ησ	. Так как	η – инфинитезималь-
		η
	= 1+ ησ			2
ный, то V −1			. Домножим (7.40) слева на V −1				и вставим
η						η
		2
единичную матрицу V −1 V :
		η	η
	V −1 (E − σp)V −1				V ψ = mV −1χ .		(7.53)
		η		η	η	η
Если выполняется соотношение (7.49), то						ψ' =Vηψ . Аналогично,
если выполняется (7.50), то χ' =V					−1χ для чистых сдвигов. Поэтому
				η
				244

для установления полной согласованности соотношений (7.49), (7.50), (7.51) нужно показать, что

			V −1	(E − σp)V −1			= (E '− σp ') .	(7.54)
			η		η
Это равенство следует из соотношения
	+	ησ			ησ	= (E − ηp) − σ( p − Eη)		(7.55)
1			(E − σp) 1+
		2			2

в первом порядке по η правая часть (7.55) совпадает с (E '− σp ') .

Возвращаясь к соотношениям (7.49) и (7.50), заметим, что ψ и χ ведут себя одинаково при вращениях (у них спин 1/2), но поразному при сдвигах.

Интересно, что есть два типа двухкомпонентных спиноров, отличающихся характером преобразований при сдвигах. Оба типа используются при построении 4-х компонентного дираковского спинора. В SUSY обычно работают с двухкомпонентными спинорами ψ и χ (с индексами R и L). Следует отметить ещё одну важную особенность соотношений (7.49) и (7.50). Пусть V-матрица преобразования в соотношении (7.49):

	+ i	εσ	−	ησ	(7.56)
V = 1		2		.
				2

Тогда

V

−1

−i

εσ

−

ησ

(7.57)

= 1

2

2

.

Однако

V

+

−i

εσ

−

ησ

(7.58)

= 1

2

2

в силу эрмитовости матриц σ.

Поэтому

εσ

ησ

(V

+

)

−1

= (V

−1

)

+

+ i

+

,

(7.59)

= 1

2

2

а это есть матрица, входящая в соотношение (7.50). Тогда можно компактно записать

ψ' =V ψ , χ' =	(	V	+	)	−1	χ.	(7.60)
245

7.5.Построение инвариантов и 4-векторов из 2-компонентных спиноров

Напомним некоторые известные свойства уравнения Дирака. Из 4-компонентного дираковского спинора можно образовать лоренцевский инвариант

ΨΨ = Ψ+βΨ	(7.61)
и 4-х вектор
ΨγμΨ = Ψ+β(β,βα)Ψ = Ψ+ (1,α)Ψ .	(7.62)

В терминах 2-компонентных объектов ψ и χ соотношение (7.61) выглядит следующим образом:

(ψ

+

χ

+

0

1

ψ

= ψ

+

χ + χ

+

ψ .

(7.63)

)

1

0

χ

С помощью соотношения (7.60) легко проверить, что правая часть (7.63) – инвариант. В самом деле,

+

+

+

(

+

)

−1

+

ψ

χ → ψ

χ'

= ψV

V

χ = ψ

χ,

(7.64)

аналогично и для χ+ψ. Из (7.62) для 4-вектора имеем

(ψ

+

χ

+

1

0 σ

0 ψ

=

)

,

0

−σ

(7.65)

0

1

χ

= (ψ+ψ + χ+χ,ψ+σψ − χ+σχ) = ψ+σμψ + χ+σμχ,

где введены обозначения

σμ = (1,σ) ,

σμ = (1, −σ) .

(7.66)

Комбинации ψ+σμψ и χ+σμχ при лоренц-преобразованиях ведут

себя как 4-вектора. В обозначениях		σμ	и σμ уравнения Дирака
(7.40) и (7.41) имеют вид
	σμ pμψ = mχ ,		(7.67)
	σμ pμχ = mψ .		(7.68)
Можно сказать,	что σμ p переводит объект ψ-типа в объект χ-
	μ
типа, а σμ p	превращает χ в	ψ.	Точнее, при лоренц-
μ
	246

преобразованиях σμ pμψ изменяется как χ, а σμ pμχ – как ψ. Перепишем дираковский лагранжиан в терминах полей ψ и χ:

Ψ(iγμ∂μ − m)Ψ =

(7.69)

= ψ+iσμ∂μψ + χ+iσμ∂μχ − m(ψ+χ + χ+ψ).

До сих пор мы строили 4-вектора, используя либо только ψ, либо только χ. Инварианты же (ψ+χ и χ+ψ) используют оба типа объектов. А можно ли построить инвариант только с помощью, например, спиноров χ-типа? Иными словами, возможно ли построить спинор из компоненты, скажем χ, который бы имел трансформационный характер ψ? Ответ на этот вопрос положительный.

Выберем комплексно сопряжённое к χ поле χ*. При лоренцпреобразованиях

		χ		+ i	εσ	+		ησ		χ ,								(7.70)
			' = 1		2
								2
а для сопряжённого поля
		χ*			εσ			ησ*
			' = 1	−i		+				χ.								(7.71)
					2			2
Заметим, что	σ* = σ , σ* = −σ						2	, σ*			= σ	3	,	σ σ	2	= −σ	2	σ и
	1	1		2						3				1				1

σ2σ3 = −σ3σ2 .

Потому

ε(σ1,−σ2 ,σ3 )

−i

1

+

iεσ

ησ

2

*

*

σ2χ' = σ2

η(σ1,−σ2 ,σ3 )

= 1

+

−

σ2χ =Vσ2χ ,

2

2

+

2

где использовано определение (7.56). Суммируем полученные результаты:

σ2χ* преобразуется как ψ. Введём “ψ-подобный” объект, полученный из χ:

ψχ = iσ2χ* .

Тогда

(7.72)

(7.73)

(7.74)

247

ψχ+(1) = (iσ2χ(1)* )*T χ(2) = (iσ2χ(1) )T χ(2) = χ(1)T (−iσ2 )χ(2) , (7.75)

где “T” означает транспонирование, будет лоренц-инвариантной величиной для любых “χ-подобных” объектов χ(7.1) и χ(7.2), анало-

гично ψ+χ. Соотношение (7.75) особенно важно, поскольку оно определяет, как построить лоренц-инвариантное преобразование для

определения SUSY преобразований (7.35). В частности, ренц-инвариант, если χ одинаковые. Действительно

			(iσ2χ* )*T χ = (iσ2χ)T χ = χT (−iσ2 )χ .
Но iσ2	0		1			χ1			, поэтому
	=	−1	0		, χ =
						χ2
					χ2				T	χ1	− χ1χ2 .
			iσ2χ =			−χ		,	(iσ2χ) χ = χ2
						1

Но не равно ли нулю последнее соотношение? Да, если

ψχ+χ – ло-

(7.76)

(7.77)

χ1 и χ2 –

обычные функции, и нет, если они антикоммутирующие величины, как для квантованных фермионных полей!

Естественный вопрос: что происходит с ψ*? Действуя по аналогии с (7.71) и (7.72), получаем

σ2ψ*	преобразуется как χ.	(7.78)
Это опять позволяет ввести объект χ-типа
	χψ = iσ2ψ .	(7.79)
Тогда для любых двух ψ(7.1) и ψ(7.2) имеем:
(−iσ2ψ(1)* )*T ψ(2)	= (−iσ2ψ(1) )T ψ(2) = ψ(1)T iσ2ψ(2) .	(7.80)

Эта величина инвариантна, как и (−iσ2ψ)T ψ .

7.6. Майорановские фермионы

Согласно соотношению (7.79), χψ = iσ2ψ* преобразуется как

объект χ-типа. Это объект согласуется с теорией Дирака, если объединить ψ и χψ в 4-компонентный объект

248

ψ	ψ		(7.81)
ΨM =	−iσ2ψ	* .

Этот объект ведёт себя при лоренц-преобразованиях подобно “обычному” дираковскому спинору Ψ, построенному с помощью ψ

и χ. Но ΨψM в (7.81) имеет меньше степеней свободы, чем обыч-

ный дираковский 4-х компонентный спинор Ψ, так как ΨψM полно-

стью определяется 2-компонентным спинором ψ. В дираковском спиноре содержится два 2-компонентных спинора, каждый из которых зависит от 4-вещественных величин (каждый имеет две ком-

плексные компоненты), т.е. всего 8. В ΨψM , однако, содержится

лишь 4 вещественных величины, входящих в спинор ψ.Что это означает физически, становится ясным при рассмотрении операции зарядового сопряжения. На дираковском 4-компонентном спиноре операция зарядового сопряжения определяется следующим образом:

где

Тогда

ΨC = C0Ψ* ,

		C0 = −iγ		2			0	iσ2
					=		−iσ2	0	.
ψ		0	iσ2			ψ*			ψ		ψ
ΨM ,C =		−iσ2	0					=		*	= ΨM .
						−iσ2ψ		−iσ2ψ

(7.82)

(7.83)

(7.84)

Таким образом, ΨψM описывает частицу со спином (1/2), состояние

которой чётно при зарядовом сопряжении, т.е. эта частица совпадает со своей античастицей. Такую частицу называют майорановским фермионом. Это свойство зарядового (само)сопряжения и есть фи-

зическая причина отличия числа степеней свободы ΨψM по сравнению с Ψ в соотношении (7.36). В дираковском поле есть четыре физически различных моды, например, eL−, eR− , eL+, eR+ . Майорановское же поле содержит только две моды, например, νL , νR , если нейтрино – майорановские частицы.

249

Можно определить

	ΨχM	iσ		χ*		,	(7.85)
		=	2
			χ
при этом	ΨχM ,C = ΨχM .						(7.86)

Очевидно, что формализм, использующий только χ, эквивалентен использованию только ψ. Массовый член ΨΨ при этом

χ χ

= ((iσ2χ

*

)

+

χ

+

0

1 iσ2χ*

= χ

+

(−iσ2 )χ

*

. (7.87)

ΨM ΨM

)

1

χ

0

Первое слагаемое в этом выражении в точности совпадает с соотношением (7.76), а второе слагаемое – лоренц-инвариант, образованный из χ.

Аналогично массовый член

		ψ ψ	+	*	)	+	0		1		ψ	=
ΨM ΨM = (ψ				(−iσ2ψ			)	1	0		*
											−iσ2ψ	(7.88)

= ψ+ (−iσ2 )ψ* + ψT (iσ2 )ψ.

Снова в этом выражении первое слагаемое – инвариант, построенный из ψ. Отметим, что все слагаемые в (7.87) и (7.88) должны обращаться в ноль, если компоненты полей не обладают антикоммутационными свойствами.

Рассмотрим лоренц-инвариантное произведение двух различных майорановских спиноров

			1M Ψ2M = Ψ1+M βΨ2M	(7.89)
		Ψ
Из (7.82) и (7.84) имеем
			Ψ1M = −iγ2Ψ1*M ,	(7.90)
следовательно			Ψ1+M = Ψ1TM (−iγ2 ) ,	(7.91)
где использовано γ2+ = −γ2 .
Тогда получаем
	Ψ1+M βΨ2M = Ψ1TM (−iγ2β)Ψ2M .			(7.92)
	250