Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

	1				f
				μν			ˆ
L = −	4g	2	tr(F		Fμν) + ∑Ψ j (iD)Ψ j ,			(3.3)
					i=1

где

Fμν = ∂μ Aν − ∂νAμ + i[Aμ, Aν] ,

(3.4)

Dμ = ∂μ +iAμ .

В соотношениях (3.4) Aμ – 3×3 матрицы с нулевым следом. Каждое фермионное кварковое поле Ψj несёт соответствующий 3-компо- нентный цветовой индекс. Лагранжиан (3.3) представляет собой идеализированную форму реального лагранжиана КХД, поскольку допускает любое число f ароматов кварков. Кроме того, массы кварков считаются равными нулю. Отметим также, что в определении (3.3) константа связи включена в потенциал, поэтому g не входит в определение ковариантной производной (3.4).

Форма лагранжиана (3.3) однозначно фиксируется постулатами, имеющими достаточно общий характер. К ним относятся SU(3) калибровочная симметрия, а также общие принципы квантовой теории поля (локальность, относительность, перенормируемость). Именно соображения перенормируемости запрещают более сложные слагаемые в лагранжиане (например, слагаемое с аномальным

глюомагнитным моментом ~ qσμνFμνq ). Группой симметрии лагранжиана (3.3) является

G = SU (3)	c	×SU ( f )	L	×SU ( f )	R	×U (1)	B	×U (1)	A	×R+	. (3.5)
										scale

Кроме того, лагранжиан (3.3) обладает пуанкаре, C, P, T- инвариантностью. Первый фактор в (3.5) – локальная цветовая симметрия. Последующие два характеризуют возможность вращения левых (правых) состояний кварков. Четвёртый фактор соответствует сохранению барионного числа (наличие общей фазы для всех кварковых полей). Пятый фактор характеризует сохранение аксиального барионного числа (равные и противоположные фазы всех левых и правых компонент кварковых полей). Наконец, последний фактор в (3.5) связан с масштабной инвариантностью теории.

111

Киральная SU ( f )L ×SU ( f )R -симметрия, связанная с незави-

симым вращением левых и правых компонент кварковых полей, возникает вследствие универсальной связи кварков с глюонами, сохраняющей спиральность. Киральная симметрия способна нарушаться ненулевыми кварковыми массовыми членами, так эти члены связывают две спиральности. Если кварки имеют ненулевые, но одинаковые массы, то остаётся только диагональная SU ( f )L+R -симметрия. Если же кварки имеют ненулевые неравные

массы, то симметрия нарушается до произведения групп U(1) (по числу ароматов). Если массы всех кварков отличны от нуля, то P- и T-чётность нарушается за счёт ненулевого θ–члена (см. главу 6). Для безмассовых кварков все величины θ физически эквивалент-

ны, поэтому можно выбрать θ = 0. Наконец, Rscale+ фактор в (3.5) означает, что единственный параметр g в теории – безразмерная величина. Таким образом, классическая теория инвариантна относительно изменения масштаба длин или (эквивалентно) обратных

масс. В самом деле, действие ∫d 4 xL	инвариантно относительно
изменения масштабов:
xμ → λxμ, A → λ−1A,	Ψ → λ−1Ψ.	(3.6)

Действительная симметрия КХД несколько отличается от рассмотренной выше и включает в себя следующие переходы:

G	′	= SU (3)c ×SU (	f	→	(3.7)
			f )L ×SU ( f )R ×ZA ×U (1)B
SU (3)c ×SU ( f )L+R ×U (1)B → SU ( f )L+R ×U (1)B .

Поясним этот каскад симметрийных превращений. Первая строка в выражении (3.7) содержит подгруппу, которая “выживает” при квантовании классической теории. Классическая масштабная инва-

риантность Rscale+ полностью теряется, при этом U(1)A-симметрия аксиального барионного числа сводится к дискретной подгруппе

ZAf . Как известно, нарушение масштабной инвариантности связано

ссуществованием “бегущей” эффективной константы, асимптоти-

ческой свободой и размерной трансмутацией. Нарушение U(1)A находит своё отражение в треугольной аномалии и инстантонах. Во

112

второй строке выражения (3.7) показаны группы симметрии квантовой теории, являющиеся также группами симметрии основного состояния. Из-за спонтанного нарушения симметрии эта группа является подгруппой исходной группы. Иначе говоря, стабильные решения уравнений движения обладают меньшей симметрией, чем сами уравнения. Основное состояние содержит конденсат кваркантикварковых пар, однородно распределённый в пространствевремени. При этом невозможно независимо вращать различные спиральные компоненты кварковых полей, оставляя конденсат инвариантным. “Лёгкость” π-мезонов, как и феноменология их взаимодействий при низких энергиях, есть следствие спонтанного нарушения киральной симметрии. В третьей строке выражения (3.7) мы попытались подчеркнуть тот факт, что локальная калибровочная симметрия, которая необходима для формулировки теории, не является свойством какой-либо физической наблюдаемой. Действительно, при построении гильбертова пространства состояний КХД следует ограничиться калибровочно-инвариантными состояниями. Расширенное гильбертово пространство, используемое в теории возмущений КХД, не имеет положительно-определённого внутреннего произведения двух векторов. Оно содержит “духовые” состояния. В отличие от квантовой электродинамики, в низкоэнергетической физике КХД нет каких-либо проявлений калибровочной симметрии. В частности, нет дальнодействующих сил, как нет и частиц, входящих в цветовые мультиплеты. В этом состоит свойство конфайнмента КХД.

3.3. Симметрии электрослабого сектора

Начнём с обсуждения свойств фермионных полей по отношению к преобразованиям Лоренца.

3.3.1. Вейлевские, майорановские и дираковские поля

Как известно, генераторы группы Лоренца – вращения Ji и сдвиги Ki . Они удовлетворяют алгебре

J

, J

= iε

ijk

J

k

,

K

, K

= −iε

ijk

K

k

,

J

, K

= iε

ijk

K

k

(3.8)

i

j

i

j

i

j

113

причём операторы Ji-эрмитовы, а Ki-антиэрмитовы. Генераторы Ji удовлетворяют алгебре группы вращений SU(2). Последнее коммутационное соотношение в (3.8) означает, что сдвиг преобразуется при вращениях как трёхмерный вектор.

Для того, чтобы коммутационные соотношения (3.8) не перепутывали Ji и Ki , введём эрмитовы генераторы

	Ai =	1	(Ji + iKi );	Bi =	1	(Ji −iKi ).	(3.9)
		2			2

Для введённых операторов

A , A		= iε	A ;	B , B		= iε	B ;	A , B		= 0 . (3.10)
i	j		ijk k	i	j		ijk k	i	j

Видно, что алгебры для операторов Ai и Bi – алгебры SU(2). Таким образом, показано, что группа Лоренца SO(3,1) локально изоморфна прямому произведению SU(2) ×SU(2).

Представления группы SU(2) связаны с представлениями группы вращений: каждое представление характеризуется значением спина, который может быть целым или полуцелым. Таким образом, представления группы Лоренца обозначаются двумя величинами (a,b)=0, 1/2, 1, 3/2,… Простейшее представление соответствует скалярному полю. Первое нетривиальное представление (1/2,0) – вейлевский спинор χ. Его генераторы

	A =			1	σ		;	B = 0 ,			(3.11)
				2
	i	1				i		i	1
причём	Ji =			σi ;				iKi =		σi .	(3.12)
		2							2

Вейлевский спинор χ-двухкомпонентный объект, преобразующийся при вращениях и сдвигах следующим образом:

−	i	σθ	−	i	ση
						(3.13)
χ → e 2		χ ;	χ → e 2		χ ,

где η – быстрота, связанная со скоростью β=tanh η. Как видно, по отношению к вращениям вейлевский спинор несёт спин 1/2.

Попытаемся построить из одного вейлевского спинора лоренцинвариантный массовый член. Это так называемый майорановский массовый член

114

	L =	1	m(χT εχ + э.с.),	(3.14)
		2

где ε ≡ iσ2 – 2 ×2 антисимметричная матрица Паули. Покажем, что массовый член (3.14) лоренц-инвариантен. Обозначим лоренцпреобразование, действующее на поле χ, как матрицу M:

	M = e	−	i	σθ	или M = e	−	i	ση	.	(3.15)
		2				2
При лоренц-преобразованиях
	χT εχ → χT M T εMχ .									(3.16)
С учётом индексов
(M T )	εβγM γδ = εβγMβαμγδ = εαδ det M = εαδ,									(3.17)
	αβ

где на последнем шаге учтено, что detM =1. Поэтому MTεM =ε, т.е. комбинация χTεχ – Лоренц-инвариантна. Попутно мы доказали, что группа Лоренца локально изоморфна группе SL(2,C)-группе 2×2 комплексных матриц с единичным определителем. Хотя майорановский массовый член менее известен, чем дираковский массовый член, именно он является основной величиной, построенной из одного вейлевского спинора. В этом смысле майорановская масса – наиболее простой фермионный массовый член.

Однако, если поле χ несёт ненарушенный глобальный или локальный U(1)-заряд, майорановский массовый член подавлен, поскольку он нарушает эту симметрию. Таким образом, ни один из фермионов стандартной модели (за исключением нейтрино) не может иметь майорановскую массу, поскольку все они несут электрический заряд. Вообще, если поле χ преобразуется как комплексное представление ненарушенной глобальной или внутренней симметрии, то майорановский массовый член подавлен.

Пусть

χ → Uχ,

(3.18)

где U – унитарное преобразование, действующее на набор вейлевских спиноров. Тогда массовый член в (3.16) преобразуется следующим образом:

115

χT εχ → χTU T εUχ = χT εU T χ ,

(3.19)

где на последнем шаге учтён тот факт, что U и ε действуют в различных пространствах. Массовый член в соотношении (3.16) будет лоренц-инвариантным, если U+U = 1, т.е. если унитарные представления U вещественны (U*=U).

Можно сказать, что если фермион имеет майорановскую массу, то он совпадает со своей античастицей. В этом случае говорят о майорановском фермионе. Он не может нести ненарушенный глобальный или локальный заряд (или, в общем случае, преобразовываться относительно комплексных преобразований), так как частица и античастица должны иметь противоположный заряд. Если вейлевский фермион преобразуется по комплексному представлению ненарушенной глобальной или локальной симметрии, то для построения массового члена нужно ввести другой вейлевский фермион, который преобразуется как комплексно-сопряжённое представление. Так возникает дираковская масса.

Пусть поля χ, ζ преобразуются как (1/2,0) представления группы Лоренца, а относительно некоторой ненарушенной глобальной или локальной группы

χ→Uχ, ζ→U*ζ.

(3.20)

Тогда лоренц-инвариантный массовый член с ненарушенной

симметрией
L = m(ζT εχ + э.с.),	(3.21)
поскольку ζT εχ → ζTU +εUχ = ζT εχ . Таким образом,	для построе-

ния дираковской массы необходимы два вейлевских спинора. Фермионы с дираковскими массами называются дираковскими фермионами. Подчеркнём ещё раз, что для построения майорановской массы нужен один вейлевский спинор, а для дираковской массы – два вейлевских спинора.

Введём новое поле – дираковский спинор, построенный из пары (1/2,0) вейлевских спиноров следующим образом:

	χ		(3.22)
Ψ =
	εζ	*

116

В терминах дираковского спинора, дираковский массовый член запишем в хорошо известной из квантовой электродинамики форме

			0	1			χ
L = −mΨΨ = −m(χ+ , −ζT ε)									= m(ζT εχ − χ+εζ* ),	(3.23)
			1	0			εζ	*

причём последнее соотношение – точно такое же, как и в выраже-

нии (3.21).

При этом дираковские гамма-матицы записаны в вейлевском или киральном базисе:

γ0 =	0		1		,		0		σ	i		γ5 =		−1 0	.	(3.24)
						γi =		i			,
		1	0				−σ		0					0 1

В этом базисе киральные проекционные операторы (1±γ5)/2 проектируют поля Ψ на состояния вейлевских спиноров:

Ψ =	(1− γ5 )			Ψ +			(1+ γ5 ) Ψ = ΨL + ΨR ,
	2						2			0
где	Ψ		=		χ		, Ψ
		L						R	=	.
					0					*
										εζ

(3.25)

(3.26)

Таким образом, ΨL – четырёхкомпонентная дираковская версия вейлевского спинора χ. Аналогично, ΨR – версия вейлевского спинора εζ*. Поэтому дираковский спинор преобразуется как прямая сумма представлений (1/2,0) (0,1/2) группы Лоренца, соответст-

вующая спинору Ψ =ΨL + ΨR.

В то время как дираковский спинор состоит из двух вейлевских спиноров, майорановский спинор – четырёхкомпонентный спинор, состоящий из одного вейлевского спинора:

ΨM		χ	(3.27)
	=	.
		εχ*

Можно найти другие способы представления фермионных масс, если ввести зарядово-сопряжённую матрицу C, которая в вейлевском или киральном базисе будет иметь вид:

−ε		0		,	(3.28)
C =	0	ε
	117

поэтому

χ			,	(Ψ)CL	ζ			= (ΨR )C .	(3.29)
ΨL =	0				=	0

Покажем, что слагаемое в лагранжиане L = − 12 m(ΨTLCΨL + э.с.)

соответствует майорановской массе. Действительно,

−

1

m(ΨTLCΨL + э.с.) =

2

(3.30)

1

T

−ε 0

χ

1

T

= −

m

(χ

, 0)

+э.с.

=

m(χ

εχ + э.с.).

2

2

0 ε

0

Покажем также, что ΨMC = ΨM . Это соотношение называется май-

орановским условием. Используя определение сопряженного спинора, находим

ΨC

= Cγ0Ψ*

=

−ε 0

0

1

χ

+

χ

= Ψ

.

(3.31)

=

M

M

M

0 ε

1

0

εχ

*

εχ

При доказательстве соотношения (3.30) мы записали майорановский массовый член в терминах дираковского спинора. А можно ли дираковский массовый член переписать в терминах майорановских спиноров? Ответ на этот вопрос положительный. Для этого запишем дираковский массовый член в терминах дираковских спиноров

	L = −m			1	m(				C ΨC ).	(3.32)
		ΨΨ = −				ΨΨ +		Ψ
				2

Определим майорановские спиноры следующим образом:

	Ψ1M =	1	(Ψ + ΨC ),	Ψ2M =	1	(Ψ − ΨC ).	(3.33)
		2			2

Тогда лагранжиан (3.32) запишется в виде

	L = −	1	m(		1M Ψ1M +		2M Ψ2M ) .	(3.34)
				Ψ		Ψ
		2

Видно, что дираковский фермион эквивалентен двум вырожденным майорановским фермионам. Однако

118

	(Ψ1M )C =		1		(ΨC + Ψ) = Ψ1M ;
			2			(3.35)
	(Ψ2M )C =
			1	(ΨC − Ψ) = −Ψ2M ,
			2

т.е. два майорановских спинора при зарядовом сопряжении меняют знак. Майорановский спинор ΨM2 имеет следующую форму

Ψ2M	=	χ	,	(3.36)
		−εχ*

что является обобщением конструкции (3.27). Ниже будет показана физическая значимость соотношения (3.36).

3.3.2. Симметрии ароматов

В табл. 3.1 приведены фермионные поля стандартной модели вместе с их SU(3)c × SU(2)L × U(1)Y квантовыми числами.

Таблица 3.1

Фермионные поля

SU(3)c

SU(2)L

U(1)Y

i

uL cL tL

3

2

1/6

QL

=

(uC )

dL sL bL

3

i

= (uC ) (cC ) (tC )

3

–2/3

(d C )

L

L

L

L

3

i

= (d C ) (sC ) (bC )

1

1/3

L

L

L

L

i

νeL

νμL ντL

1

2

–1/2

LL

=

μL

τL

(eC )

eL

i

= (eC ) (μC ) (τC )

1

1

1

L

L

L

L

В этой таблице индекс i = 1, 2, 3 каждого поля относится к поколению. Поля – левые киральные дираковские спиноры, которые,

119

как мы видели выше, являются четырёхкомпонентными вейлевскими спинорами. Например,

uL =	χ	;	(uC )	L	=	ζ	,	(3.37)
	0					0

где χ, ζ – (1/2,0) вейлевские спиноры.

Работать в терминах только левых киральных полей особенно удобно в теориях большого объединения, в которых делаются попытки объединить фермионы в представления группы, которая содержит группу симметрии стандартной модели как подгруппу.

Лагранжиан стандартной модели содержит сумму калибровочных, юкавских, хиггсовских взаимодействий, а также взаимодействия с полями материи:

LСМ = Lкалибр. + Lматерия + LЮкава + LХиггс.

(3.38)

Часто калибровочные взаимодействия включают кинетические энергии калибровочных бозонов, а также их самовзаимодействие.

Часть Lматерия содержит кинетическую энергию и калибровочные взаимодействия фермионных полей:

i ˆ

i ˆ

I ˆ i

i ˆ

i

C

C

i

C

C

i

(3.39)

Lматерия = iQL DQL +i(u

)L D(d

)L + iLL DLL + i(e

)L D(e

)L .

По индексу i предполагается суммирование. Для того, чтобы записать лагранжиан в канонической форме через левые и правые киральные поля, воспользуемся соотношением

(ΨC )

L

= Cγ0Ψ*R .

(3.40)

Тогда

ˆ

i ˆ i

i ˆ i

i ˆ i

i ˆ i

i

i

(3.41)

Lматерия = iQL DQL + iuR DuR

+ idR DdR

+ iLL DLL + ieR DeR .

На этой стадии все фермионы безмассовые. Майорановские массы подавлены, так как все фермионы несут гиперзаряд. Кроме того, некоторые из них преобразуются как комплексные представления группы SU(3)c. Дираковские массы тоже подавлены, поскольку ни один фермион при комплексном сопряжении не преобразуется в другой фермион. Отсутствие фермионных масс означает, что Lматерия имеет глобальную симметрию

120