Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

Помимо выбора семейства Λ( p) и нахождения точных значений Dξξ′ , нам нужно определить нормировку состояний Λ( p),ξ , ко-

торые при релятивистских преобразованиях остаются инвариантными (т.е. U (a,Λ) – унитарны).

Оператор U(a) является унитарным по своему построению. Если предположить, что ξ – собственные значения наблюдаемой вели-

чины, то			G G
Λ( p), ξ		Λ( p′), ξ′		(1.148)
			= N ( p)δ( p − p′)δξξ′ ,

где N – фактор, определяемый требованием того, что для любого Λ

U (Λ)(Λ( p)),ξ U (Λ)(Λ( p′)),ξ′ =Λ( p),ξ Λ( p′),ξ′. (1.149)

Подставляя сюда выражения (1.146) и имея в виду, что матрица Dξξ′ – унитарна, получаем условие

						G		G	G		(1.150)
				N (Λp)δ(Λp − Λp′) = N ( p)δ( p − p′) .
Если Λ является вращением R и δ(Rp)								G
								= δ( p) , то N может зависеть
		G		, или, эквивалентно, от р0:				N = N ( p0 ) . Рассмотрим да-
лишь от		p
лее сдвиг вдоль оси OZ с параметром ξ
				Lz : p0 → (cosh ξ) p0 + (sinh ξ) p3;							(1.151)
	p3 → (cosh ξ) p3 +(sinh ξ) p0;							p1 → p1; p2 → p2 ,
находим
	1					G G′			G G′
	N ((cosh ξ) p0 )					δ( p − p	)	= N ( p0 )δ( p − p		),	(1.152)
					cosh ε
для любого ξ. Таким образом, получаем, что									N ( p0 ) = const × p0 .

Обычно константа полагается равной 2, т.е. инвариантная форма

скалярного произведения					G	G
Λ( p),ξ	Λ( p′),ξ′	=	2 p0δ( p − p′)δξξ′,
			2	G2		(1.153)
	p0 = +	m		+ p	.

Отметим, что приведенный анализ справедлив как для массивных, так и безмассовых частиц. Может показаться, что этот анализ зависит от фиксированного вектора (или системы отсчета) p , но это не

61

так. Поскольку малые группы двух векторов p и p′ изоморфны, то подстановка p′ вместо p просто приводит к изменению базиса G. То же самое справедливо при замене семейства Λ( p) другим семейством Λ′( p) .

1.2.8. Релятивистские состояния массивных частиц

Выберем систему отсчета, в которой pi = 0 , т.е. систему отсче-

та, в которой частица покоится. В этом случае будем обозначать квантовые числа λ вместо ξ: p,λ . Малая группа p состоит из трехмерных вращений, которые обозначим через R (вместо Г).

Матрицы D(R) – это стандартные матрицы D(s) (R(θ)) для частицы со спином s:

	(s)			G			i		GG
D		(R(θ)) = exp −							θs ,	(1.154)
						=
где sG – известные спиновые операторы. Для s=1/2
								GG		(1.155)
D(1/2) (R(θ)) = exp(−iθσ / 2).
Таким образом,					= ∑Dλλ(s)′
U (R)				p,λ				p,λ′ .		(1.156)
					λ′

Для состояний в произвольной системе отсчета с импульсом p нужно произвести сдвиг: L( p) p = p . Состояния L( p),λ определяются следующим образом

	L( p),λ ≡U (L( p))				p,λ .			(1.157)
Эти состояния нормированы					G G
Λ( p),λ		Λ( p′),λ′	= 2 p0δ( p − p′)δλλ′ .					(1.158)
Чтобы найти трансформационные свойства							L( p),λ	относи-

тельно произвольного преобразования Лоренца Λ, нужно заметить, что Λ будет связано с р посредством Λр. Поэтому нужно перейти в систему отсчета, в которой частица находится в покое: L–1(p). Далее следует в этой системе рассмотреть, как это состояние преобразу-

ется, и совершить сдвиг L(Λp):

62

	U (Λ)		L( p),λ =U (Λ)U (L( p))				p,λ =
	=U (L(Λp		)) U (L(Λp)−1) U (Λ) U (L				( p))		p,λ	(1.159)
	=U (L(Λp)) U (R( p,Λ))				p,λ ,
где			R( p,Λ) = L(Λp)−1 ΛL( p) ,							(1.160)

называется вигнеровским вращением. Это действительно вращение, поскольку R( p,Λ) p = p .

Таким образом, получаем

U (Λ)

L( p),λ =U (L(Λp))U (R,Λ)

p,λ =

=U (L(Λp))∑Dλλ(s)′ (R( p,Λ))

p,λ′ =

(1.161)

λ′

= ∑Dλλ(s)′ (R( p,Λ))

L(Λp),λ′ ,

λ′

причем

U (Λ)

Λ( p),λ = ∑Dλλ(s)′ (R( p,Λ))

R( p,Λ),λ′ ,

(1.162)

λ′

R( p,Λ) = L(Λp)−1 ΛL( p).

Этот результат уже был получен в предыдущем разделе. Базис L( p),λ иногда называют ковариантным спиновым базисом. Дру-

гой полезный базис – спиральный базис. Чтобы его построить, выберем вместо сдвигов L(p) преобразования Н(р), определенные следующим образом: сначала произведем «чистый» сдвиг L(pz),

который		преобразует p в			pZ с компонентами pz = p ,
								0	0
pz = pz		= 0, pz = p . Затем, пусть R(z → p) вращение вокруг оси
1	2	3	3
z × p , переводящее ось OZ по направлению p . Тогда
			H ( p) ≡ R(z → p) L(pz ),					(1.163)
			H ( p),η = ξ =U (H ( p))				p,ξ .
Соответствующие состояния					H ( p),η = ξ		– спиральные состоя-
ния, поскольку η – проекция спина на вектор p .
				63

Этот анализ непосредственно обобщается на массивные частицы. В нерелятивистском пределе p << m, p0 m . В этом случае

нормировка

L( p), λ L( p′), λ′ = 2mδ( p − p′)δλλ′ ,

т.е.

L( p),λ = 2 p0 p,λ− 2m p,λ,

p,λ p′,λ′ = δ( p − p′)δλλ′.

В литературе можно встретить два различных определения

			L( p),λ I =		1					L( p),λ
					2m
и		L( p), κ II =			1					L( p),λ .
					2 p0

(1.164)

(1.165)

(1.166)

(1.167)

Обратимся теперь к дискретным С, Р, Т – симметриям. С – преобразование определим соотношением

где

p,

C

p,λ ≡ ηc

p,

λ

,

(1.168)

обозначает состояние античастицы с тем же самым им-

λ

пульсом р и спином λ, как и у частицы

p,λ . Что касается четно-

сти, определим оператор Р как преобразование инверсии простран-
ства Is: (Is x)μ = gμμxμ, P=U(Is), т.е.
P		L( p),λ =U (Is )U (L( p))		p,λ =
=U (L(Is p))U (L(Is p)−1 Is L( p))					(1.169)
						p,λ .
Тогда L(Is p)−1 Is L( p) оставляет вектор p						неизменным, причем

это преобразование не является вращением, т.к. детерминант этого преобразования равен (–1). Однако

			R( p, Is ) ≡ L(Is p)−1 Is L( p) Is							(1.170)
является вращением.
В нерелятивистском случае
			P		p,λ = ηp		p,λ ,			(1.171)
т.е.	P		L( p),λ = ηp ∑Dλλ(s)′ (R( p, Is ))						L(Is p),λ′ .	(1.172)
					λ′
	64

Для обращения времени нужно повторить предыдущий анализ, имея в виду, что Т – антиунитарное преобразование.

С помощью соотношения

	TP T −1	= (I	s	P)	μ				(1.173)
	μ
находим
	(s)					2λ		′
T	L( p),λ =ηT ∑Dλ,−λ′ (R( p,Is ))(−i)							L(Is p),λ	. (1.174)

λ′

1.2.9. Состояния безмассовых частиц

Поскольку безмассовая частица не может находиться в состоянии покоя, то выбор p оказывается существенным. Выберем про-

странственные оси так, чтобы p был направлен, скажем, вдоль оси

OZ

		p1 = p2 = 0,				p3 = p0 .				(1.175)
Величина	p0 для систем, состоящих из одной частицы, не имеет
значения. Можно считать p0				единицей измерения энергии.
Рассмотрим малую группу W ( p)							этого	состояния		p . Если
Г W ( p) , то разложим			Γ = Λt Rz (θ) ,
где Rz (θ)										(1.176)
	– вращение вокруг OZ на угол θ, т.е. матрица Г
	1		0	0 cosθ			sin θ	0
	(Γ) =	0	1	0	−sin θ		cosθ	0		(1.177)
		ξ	η	1		0	0	1
	Γ31 = ξcosθ−ηsin θ;Γ32 = ξsin θ+ ηcosξ.
			1 0 0
Первый член в (Г)				0	1	0				(1.178)
				ξ	η	1

соответствует Λt , второй – Rz (θ) . Поскольку произведение двух преобразований Г1, Г2 из W ( p) принадлежит W ( p) , можно записать

65

	Γi = Λit Rz (θi ), i =1,2	(1.179)
и	Γ1Γ2 = Λ12t Rz (θ12 ) ,	(1.180)
где угол θ12 будет зависеть от Г1, Г2
	θ12 = θ12 (Γ1,Γ2 ) .	(1.181)

Чтобы получить представление группы Пуанкаре, необходимо знать представление малой группы W ( p) . Эта малая группа изо-

морфна евклидовой группе в двух измерениях, и её представления можно найти, используя тот же метод, который применяется при нахождении представлений группы Пуанкаре. Для частиц с дискретными значениями спина представления должны иметь вид

D(Γ) = D(Rz (θ)) ,	(1.182)
т.е. должно быть
D(Λt ) ≡1.	(1.183)
Более того, представление D(Rz (θ)) оказывается двузначным
D(Rz (2π)) = ±1 ,	(1.184)

поскольку накрывающая подгруппа Лоренца SL(2,C) является про- сто-связанной и накрывает дважды L. Заметим, что нет каких-либо физических причин, исключающих частицы с непрерывными значениями спина. Однако до сих пор в природе наблюдались лишь частицы с дискретными значениями спина, т.е. нужно потребовать выполнения условия (1.183). Имея в виду это ограничение, завершим анализ представлений. Неприводимые представления Rz (θ)

(вращение вокруг оси OZ) – тривиальны. Поскольку группа абелева, по лемме Шура, эти представления должны быть одномерными. Это означает, что индекс λ в классификации состояний

	p,λ	(1.185)
может принимать только одно значение. Матрицы		Dλλ′ (Γ) будут

просто числами, равными δλλ′dλ (θ) . Так как представление уни-

тарное, эти числа равны по модулю единице, и их можно записать в виде

dλ (θ) = e−iλθ .	(1.186)
66

Из-за того, что представление двузначное, число λ может быть целым или полуцелым. При сравнении выражения для d(θ) с выражением для вращения вокруг оси OZ, записанного в терминах Sz компоненты оператора спина, получаем

		Sz
U (Rz (θ)) = exp	−iθ		.	(1.187)

Таким образом, λ – компонента спина в направлении OZ (или вдоль p , так как его направление совпадает с осью OZ). По определению, эта величина – спиральность. Так как допустимо только одно значение λ, можно заключить, что для безмассовых частиц спиральность – релятивистский инвариант. Поскольку трансформационные свойства состояний p,λ относительно малой группы W ( p) :

U (Γ)		p,λ = e−iλθ(Γ)		p,λ	(1.188)
известны, то можно определить семейство					преобразований

Λ( p) : Λ( p) p = p и распространить приведенный выше анализ на произвольные преобразования. Выбрав p0 =1, для произвольного р имеем

где L(pz )	Λ( p) = H ( p),				H ( p) = R(z → p) L(pz ),						(1.189)
	– сдвиг вдоль оси OZ, такой, что
R(z → p)	L(pz ) p = pz ,				p0z = p0 , p1z = p2z = 0, p3z					= p0.	(1.190)
	– вращение вокруг оси z × p . Определим состояние
тогда		p,λ ≡U (H ( p))					p,λ ,				(1.191)
	U (Λ)			p,λ = e−iλθ( p,Λ)
									Λp,λ .		(1.192)
Угол θ( p,Λ) – угол				вращения вокруг					оси OZ,	содержащийся в
преобразовании
	Γ( p,Λ) = H (Λp)−1 ΛH ( p) ,										(1.193)
при его разложении
	Γ( p,Λ) = Λt Rz (θ( p,Λ)) .										(1.194)

Состояния нормированы следующим образом

67

p,λ		p,λ = 2 p0δ( p, p′) .	(1.195)

Обратимся теперь к дискретным симметриям Р , Т. Начнем с пространственной четности. Соответствующий оператор должен удовлетворять условиям

PP P−1

= P PPP−1 = −P,

PLP−1 = L, PSP−1 = S.

(1.196)

0

0,

Если определить оператор спиральности

S p =

1

(P S ) ,

(1.197)

p

то получаем

PS p P−1 = −S p .

(1.198)

Поэтому следует постулировать, что

P

p,λ = ηp

Is p,−λ .

(1.199)

В общем случае это условие не выполнимо. Так как величина λ является инвариантом, то нужно предполагать, что существуют два независимых состояния – одно со спиральностью λ, а другое со спиральностью (–λ).

В природе существуют два типа частиц. Один тип образуют частицы, подобные фотону, глюону и, видимо, гравитону, которые несут два спиральных состояния (±1 для γ, g) и ±2 – для гравитона. Другой тип частиц образуют нейтрино, обладающие спиральностью (–1/2), и антинейтрино со спиральностью (+1/2). Для этих частиц четность не определена, и взаимодействия, в которых они участвуют, нарушает четность.

Для нейтрино и антинейтрино можно определить комбинированную операцию СР-произведение преобразования четности и зарядового сопряжения, которая переводит нейтрино (со спиральностью –1/2) в антинейтрино (со спиральностью +1/2) и наоборот. В принципе, возможен и третий класс – частицы со спиральностью λ, для которых нет частиц, и античастицы со спиральностью (–λ), но таких частиц пока не наблюдалось. Для обращения времени

TST −1 = −S; TPT −1 = −P; TS pT −1 = S p

(1.200)

можно ввести антиунитарный оператор Т, для которого

T		p,λ = η	(−i)2λ		I		p,λ .	(1.201)
		T	68			s

Фаза (–i)2λ введена скорее по техническим соображениям, чтобы безмассовый и массивный случай трактовать одинаково. Вернемся снова к четности. Если состояние Is p,−λ существует, то нам сле-

дует удвоить гильбертово пространство состояний. Определим

полный спин как S = max

λ

и киральность δ как δ =

λ

= ±1. Тогда

можно обозначать состояния через

s

p, s,δ ,

(1.202)

а трансформационные свойства этих состояний

U (Λ)

p, s,δ = e−iδSθ( p,Λ)

Λp, s,δ ; P

p, s,δ = ηp

Is p, s,−δ . (1.203)

Это представление оказывается приводимым как представление группы Пуанкаре, поскольку подпространства с δ = 1 и δ = –1 по отдельности инвариантны. Это же представление является неприводимым как представление ортохронной (но не собственной) группы, полученной путем объединения пространственной инвер-

сии Is с U (Is ) ≡ P ортохронной собственной группы Пуанкаре.

1.2.10. Связь с формализмом волновых функций

Построение релятивистских состояний с определенным значением координаты r,t,a (t – время, а – дополнительный индекс) не

имеет физического смысла. Поэтому связь между абстрактным формализмом «кэт» и «бра» состояний и формализмом волновых функций оказывается не столь очевидна, как в нерелятивистском случае, где обычно полагается ψ(r,t) =r,t,a ψ . Найдем связь с

импульсным пространством волновых функций, а затем путем фу- рье-преобразований перейдем в х-пространство. Таким образом, мы хотели бы установить соответствие между «кэт» состояниями и

(многокомпонентными) волновыми функциями ψ(ak ,λ) (P), отве-

чающими импульсу k и компонентам спина λ (заметим, что p – переменная). Будем работать в гейзенберговском представлении, т.е. считаем ψ не зависящими от времени. Временная зависимость может быть введена, при желании, с помощью соотношений

69

ψ(ak ,λ) ( p,t) = e−ik0tψ(ak ,λ) ( p), k0 = m2 + k 2 .

(1.204)

В самом простом – бесспиновом случае

ψ(k ) ( p) = p		k = 2k0δ( p − k ).	(1.205)

Спин же создает серьезные проблемы. Для простоты рассмотрим случай спина ½.

Волновая функция частицы со спином ½ с третьей компонентой s3 , импульсом k может быть записана (исключая временную зависимость) в виде

	ψ(k,S3 ) ( p) = D(L(k )u (0, s				))2k	δ(k − p) .			(1.206)
Учитывая, что				3	0
	1					0
		0					1		(1.207)
	u(0,1/ 2) =	0	,	u(0,−1/ 2) =			0	.
		0					0
В вычислениях удобно заменить				s3 = ± ½ на τ = 1, 2, т.е. ½ →1, –
½ → 2. Тогда можно записать ua (0,τ) = δaτ , и
	ψ(ak ,τ) ( p) = Daτ (L(k))2k0δ(k − p) ,								(1.208)
т.е.	ua (k,τ) = Daτ (L(k)) .								(1.209)
Dab (L(k))	– ab – матричные элементы матрицы D(L(k)) . В вей-
левском представлении γ-матриц

	γWμ	0	σμ			,	σi = −σi ,
		=	0
		σμ
					1			1/2
имеем	DW (L(k )) =							(k σ)
					m			0

σ0 = σ0 =1

0	.
(k σ)1/2

(1.210)

(1.211)

Отсюда видна причина, почему вейлевское представление столь удачно: матрица DW становится «бокс-диагональной». Учитывая матрицу перехода между паулиевским и вейлевским представлением

70