Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

определения тока J μ и записать его в терминах калибровочных полей χ+ и χ− :

f

(∂μχ+ )

+ χ

−

2

J μ = i((∂μφ+ )φ− (∂μφ)φ+ ) = i

=

f

μ

+

−(∂

χ)

2

+ χ

= i f

1

∂μ (χ+ − χ) + i (∂μχ+ )χ −(∂μχ)χ+

=

(4.69)

2

=f ∂μχ− + нелин. члены.

Отсюда непосредственно следует (4.68). Таким образом, существуют два способа реализации симметрий ([H,U]=0). Если вакуумное состояние единственное (U 0 = 0 ), то приходим к вигнер-

вейлевской реализации с вырожденными мультиплетами частиц. Если же вакуумное состояние (U 0 ≠ 0 ) не единственно, то сим-

метрия реализована намбу-голдстоуновским образом. В этом случае возникают безмассовые возбуждения, по одному на каждый генератор группы, который не аннигилируют вакуум. О таком способе реализации симметрии часто говорят как о спонтанном нарушении симметрии. Симметрия лагранжиана не проявляет себя в спектре состояний теории.

4.3. Теорема Голдстоуна

Определим массовую матрицу

Mij =	∂2V (ϕ)	,	(4.70)
	∂ϕi∂ϕ j	ϕ=ϕ0

где φ – NG-мерный вектор, включающий NG вещественных скалярных φi полей. Лагранжиан системы

	L =	1	(∂μϕ)(∂μϕ) −V (ϕ) .	(4.71)
		2
			151

Пусть G – непрерывная группа симметрии лагранжиана, преобразующая вектор φ следующим образом

δϕ = −iαaGaϕn ,

(4.72)

где Ga – генераторы группы G. Согласно теореме Голдстоуна, если непрерывная глобальная симметрия спонтанно нарушена, то теория содержит по одной скалярной частице на каждый нарушенный генератор первоначальной группы симметрии. Докажем эту теорему.

Поскольку потенциал инвариантен относительно группы G, то

δV (ϕ) =	∂V (ϕ) δϕi = −i	∂V (ϕ) αaGaϕ j = 0.	(4.73)
	∂ϕi	∂ϕi

Так как калибровочные параметры αа, произвольны, получаем NG уравнений

	∂V	(Ga )		ϕ j = 0 , а = 1,…, NG.
	∂ϕ		ij

Вычисляя следующую производную, получим

∂2V	(Ga )		ϕ j +	∂V (ϕ) (Ga ) = 0 .
∂ϕk ∂ϕi		ij		∂ϕi	ik

В вакуумном состоянии φ = φ0 имеем

∂2V				(Ga ) ϕ j = 0
∂ϕk ∂ϕi			ϕ=ϕ0
				ij

или, в терминах массовой матрицы

Mki2 (Ga )ij ϕ0j = 0 .

(4.74)

(4.75)

(4.76)

(4.77)

Если основное состояние инвариантно относительно подгруппы

g G с размерностью ng, то для каждого генератора подгруппы g
(Ga )	ij	ϕ0j = 0, a =1,...,ng ≤ NG ,	(4.78)

но для оставшихся Ng − ng генераторов нарушенной симметрии

(Ga )	ij	ϕ0j ≠ 0, a = ng −1,..., NG ,	(4.79)

т.е. действительно имеется Ng − ng нулевых собственных значений массовой матрицы – безмассовых голдстоуновских бозонов.

152

4.4. Локальные симметрии

До сих пор обсуждались глобальные преобразования симметрии. Это означает, что параметры δаi не зависят от пространствен- но-временной точки. Очевидно, что в этом случае поля в различных пространственно-временных точках преобразуются одинаково. Если предположить, что параметры δаi зависят от х, то поля χα ( x)

и χα ( x′) будут изменяться при групповых представлениях по-

разному. Преобразования симметрии, зависящие от пространствен- но-временных точек, называются локальными симметриями. При локальном преобразовании

a(x)	(4.80)
χα ( x) →χ′α ( x) = Rαβ (a( x))χβ ( x) .
Поскольку R зависит от х, то даже если действие
S = ∫d 4 xL(∂μχα ,χα )	(4.81)

обладает глобальной инвариантностью относительно группы G, это не означает, что оно будет инвариантным относительно локальных преобразований группы G. Действительно, из-за кинетических членов, содержащих производные ∂μχα , действие уже оказывается

неинвариантным относительно локальных преобразований. В самом деле, рассмотрим преобразование производной

	a(x)
	∂μχα ( x) →∂μχ′α ( x) = ∂μ [Rαβ (a ( x))χβ ( x)] =	(4.82)
	= Rαβ (a ( x))∂μχβ ( x) + ∂μRαβ (a( x))χβ ( x).

Присутствие второго слагаемого в соотношении (4.82) нарушает локальную инвариантность действия. Однако можно добиться компенсации этого члена, добавив в лагранжиан калибровочные поля. Очевидно, чтобы добиться локальной инвариантности лагранжиана, в теорию следует ввести дополнительные степени свободы. Прежде чем рассматривать общую процедуру трансформации гло- бально-инвариантного лагранжиана в локально-инвариантный, обсудим простой пример дираковского поля с плотностью лагранжиана

		μ 1				μ
L = −ψ( x)	γ				∂		+ m	ψ( x) .	(4.83)
			i
		153

Очевидно, что этот лагранжиан инвариантен относительно U(1)-преобразований

ψ( x) → ψ′( x) = eiαψ( x);

ψ( x) → ψ′( x) = e−iαψ( x).

Токи, ассоциированные с этой симметрией

J μ ( x) = ∂L 1ψ( x) = ψ( x) γμψ.

∂∂μψ( x) i

(4.84)

(4.85)

Если α = α′( x) , то лагранжиан (4.83) перестает быть инвариант-

ным, так как

∂μψ( x) → ∂μψ′( x) = eiα(x)∂μψ( x) + i(∂μα( x))ψ( x)eiα(x). (4.86)

Таким образом,

a(x)			μ	ψ( x) =
L( x) →L′( x) = L( x) −(∂μα( x))ψ( x)γ
= L( x) − J μ ( x)∂μα( x).				(4.87)

Можно избавиться от дополнительного вклада в лагранжиан (4.87), введя в лагранжиан слагаемое

L	= eAμ ( x) J	μ	( x) ,	(4.88)
extra
включающее векторное поле Aμ ( x) ,			которое	относительно ло-

кальных U(1) преобразований изменяется следующим образом

	μ	a(x)	′μ		μ	1		(∂	μ	α( x)).
A		( x) → A		( x) = A		( x) +					(4.89)
							e

Конечно, если это поле Aμ ( x) играет в теории динамическую

роль, то кинетический член, содержащий поле Aμ ( x) , тоже дол-

жен быть инвариантным относительно преобразований (4.89). Это легко учесть, вводя полевые напряженности

F μν = ∂μ Aν ( x) − ∂ν Aμ ( x) ,

(4.90)

которые очевидным образом инвариантны относительно преобразований (4.89). Итак, полный лагранжиан

154

μ 1

μ

μ

L = −ψ( x)

γ

∂μ

+ m

ψ( x) + eA

( x)ψ( x) γ

ψ( x) −

i

(4.91)

1

F μν ( x) F

( x),

−

4

μν

включающий дополнительное калибровочное поле Aμ , локально

U(1)-инвариантен

		a(x)						(4.92)
если	L( x) →L′( x) = L( x) ,
	ψ( x) →ψ′( x) = e (				)ψ( x);
		a(x)		iα x
μ	a(x)	′μ	μ		1		μ	(4.93)
A	( x) → A		( x) = A	( x)	+	e	∂	α( x).

Заметим, что для локальной U(1) инвариантности лагранжиана (4.83) необходимо ввести взаимодействие между калибровочными

полями Aμ и глобально сохраняющимся U(1)-током Jμ . Есть и

другой способ, позволяющий обнаружить, что взаимодействие (4.88) необходимо для локальной инвариантности. Как видно из (4.86), причина, почему первоначальный лагранжиан не является локально инвариантным, состоит в том, что производная от поля ψ преобразуется неоднородно при локальных U(1) вращениях. Если построить модифицированную производную Dμψ , которая бы при

локальных преобразованиях изменялась бы таким же образом, как и ∂μψ при глобальных преобразованиях, то исходный лагранжиан мог бы быть локально-инвариантным при замене

L(∂μψ,ψ) → L(Dμψ,ψ) .

В рассматриваемом нами случае ковариантная производная

Dμψ = ∂μψ −ieAμψ .

Поскольку

Dμψ a( x)→Dμ′ ψ′ = eiα∂μψ + i(∂μα)ψeiα −

−ieA	ψeiα −i	∂	μ	α	ψeiα = eiα(x) ∂	μ	ψ −ieA	ψ	= eiα( x) D ψ,
μ	(			)			μ		μ

то очевидно, что лагранжиан

155

(4.94)

(4.95)

(4.96)

L = −ψ( x)	γμ	1	D	+ m		ψ( x) −	1	F μν ( x) F	( x)	(4.97)
		i	μ				4	μν

локально U(1) инвариантен и совпадает с выражением (4.91). Требование локальной инвариантности лагранжиана – замеча-

тельный способ фиксации взаимодействий в теориях калибровочных полей. Заметим, что калибровочные преобразования (4.89) не

допускают введения массового члена поля Aμ , так как

L	= −	1	m2	Aμ ( x) A	( x)	(4.98)
mass		2 A		μ

нарушает локальную U(1) инвариантность. Таким образом, локальная инвариантность теории серьезно ограничивает её динамику. В рассмотренном нами примере требование локальной U(1) инвариантности приводит к фиксированию лагранжиана КЭД. Чтобы гарантировать локальную U(1) инвариантность, надо ввести безмас-

совое калибровочное поле Aμ (x) – фотонное поле, взаимодействующее с интенсивностью е (электрический заряд) с сохраняю-

щимся током J μ .

Этот пример можно обобщить на неабелевы глобальные группы симметрии. Для этого снова рассмотрим плотность лагранжиана

L(∂μχα ,χα ) полей, которые преобразуются по неприводимому

представлению неабелевой группы G (группы со структурными константами Cijk ≠ 0) . При глобальных преобразованиях из G:

χα ( x) a→χ′α ( x) = Rαβχβ ( x),

(4.99)

∂μχα ( x) a→∂μχ′α ( x) = Rαβ∂μχβ ( x).

Если лагранжиан инвариантен относительно этих преобразований, то

a	(4.100)
L(∂μχα,χα ) →L′(∂μχ′α,χ′α ) = L(∂μχα,χα )

Для построения ковариантной производной Dμχα ( x) введем соответствующие калибровочные поля. Потребуем, чтобы при локальных G-преобразованиях ковариантная производная Dμχα ( x) пре-

156

образовывалась точно так же, как изменяется ∂μχα ( x) при глобальных преобразованиях

a(x)	(4.101)
Dμχα →Dμ′χ′α = Rαβ (a( x)) Dμχβ ( x) .

Тогда лагранжиан L(Dμχα ,χα ) будет локально инвариантен G-

инвариантен

L(Dμχα,χα ) a(x)→L′(Dμ′χ′α,χ′α ) = L(Dμχα,χα ). (4.102)

Чтобы теория была физической, в лагранжиан следует добавить локально инвариантные напряженности калибровочных полей,

входящих в ковариантные производные Dμχα .

По аналогии с рассмотренным примером U(1) инвариантности, нужно ввести по одному калибровочному полю Aiμ на каждый параметр δаi группы G. После этого калибровочные поля компенсируют локальные изменения полей χα , причем на каждый генератор

группы приходится по одному компенсирующему (калибровочному) полю. Возвращаясь к соотношению (4.13)

[Gi ,χα ( x)] = −( gi )αβ χβ ,

(4.103)

U(1)-пример диктует ковариантную производную вида

D χ

α

( x) = δ

αβ

∂

μ

−ig ( g

i

)

αβ

A

( x)

χ

β

( x),

(4.104)

μ

μi

где g – некоторая константа связи. Чтобы соотношения (4.99) были справедливы для Dμχα , калибровочные поля должны соответст-

вующим образом изменяться при локальных преобразованиях. Для того чтобы определить это поведение, вычислим Dμ′ χ′α и сравним с

результатом, ожидаемым из соотношения (4.99)

Dμ′χ′α ( x) = ∂μχ′α ( x) −ig (gi )αβ Aμ′i ( x)χ′β ( x) =

= ∂

R

(a( x))χ

( x)

−ig ( g

)

′

( x) R

(a( x))χ

( x) =

β

i

αβ

A

γ

μ αβ

μi

βγ

= Rαβ (a( x))∂μχβ ( x) + (∂μRαγ (a( x)))χγ ( x) −

(4.105)

−ig ( gi )αβ Aμ′i ( x) Rβγ (a( x))χγ ( x).

157

По определению, нам нужно иметь

	Dμ′χ′α ( x) = Rαβ (a( x)) Dμχβ ( x) =
	= Rαβ (a( x))∂μχβ ( x) −igRαβ (a( x)) Aμ′i ( x)( gi )βγ χγ ( x). (4.106)
	Для этого нужно потребовать
	−ig ( gi )αβ Aμ′i ( x) Rβγ (a( x)) + ∂μRαγ (a( x)) =	(4.107)
	= −igRαβ (a( x)) Aμi ( x)( gi )βγ .

Умножая это выражение на R-1, получаем условие преобразования калибровочного поля

( gi )αβ Aμ′i ( x) =

+Rαγ (a( x

	1	∂ R (a( x))					× R−1 (a( x))				+
	ig									γβ
				μ	αγ						(4.108)
	))( g			)	R−1	(a( x))			( x).
			i					A
					γδ		δβ	μi

Эта формула согласуется с законом преобразования (4.89) в абелевом случае: R = eiα и g = e.

Формула (4.108) содержит некоторую неоднозначность, поскольку трансформационные свойства калибровочных полей Аμi зависят от того, как поле χα преобразуется относительно группы

G. Если бы это было действительно так, то возникла бы серьезная проблема: чтобы получить локально-инвариантную теорию, надо было бы вводить отдельное компенсирующее калибровочное поле для каждого поля материи. К счастью, несмотря на то, что выражение (4.108) записано через R, эта зависимость иллюзорная. Трансформационные свойства калибровочных полей зависят только от группы G, а не от полей, которые испытывают преобразование. Чтобы доказать это очень важное утверждение, запишем (4.108) для инфинитезимальных преобразований

Rαβ (δa( x)) = δaβ + iδai ( gi )αβ .

(4.109)

Тогда из (4.108) получаем в матричных обозначениях

158

gk Aμ′k ( x) =

1

∂μ (1+ iδak ( x) gk )

[(1

−iδai ( x) gi )] +

ig

+ 1+ iδa

j

( x) g

g

i

[(1−iδa

k

( x) g

k

)] A

≈

(4.110)

(

j )

μi

≈ g A ( x) + iδa ( x)

g

, g

A

( x) +

1

∂ δa

( x) g .

g

k μk

j

j

i

μi

μ k

k

Используя коммутационные соотношения для матриц gi , получаем

g	j	, g	= iC	jik	g	k	= −iC	ijk	g	k	.
			i

Легко видеть, что правая часть (4.110) пропорциональна gk

		(правая часть (4.110)) =
		Aμk ( x) + Cijk δa j						( x) Aμi ( x) +
=	gk			1						.
			+		∂		δa	k	( x)
				g
						μ

(4.111)

(4.112)

Таким образом, действительно, трансформационные свойства калибровочных полей не зависят от представления матриц gk, ассоциированных с полями χα(х), а зависят только от структурных констант группы Cijk :

Aμ′k ( x) = Aμk ( x) + δa j ( x)Cijk Aμi ( x) + 1g (∂μδak ( x)). (4.113)

Для глобальных преобразований, для которых параметры не зависят от х, последнее слагаемое в (4.113) отсутствует, и преобразование выглядит следующим образом

Aμ′k ( x) = Aμk ( x) + iδa j ( x)(g j )ki Aμi ( x) ,

(4.114)

где «генератор» матриц соответствующих калибровочных полей g~ выражен в терминах структурных констант группы

(g j )ki = −iC jki = −iCijk .

(4.115)

159

Используя тождество Якоби для gi , g j и gk , можно показать, что

матрицы g в соотношении				(4.115)			удовлетворяют			алгебре Ли
группы G
g	i	, g			= iC	ijk	g	k	.	(4.116)
			j

Из предыдущего обсуждения очевидно, что калибровочные поля Aiμ , входящие в ковариантную производную (4.104), преобразуются по специальному представлению группы G – присоединенному представлению. Если группа G имеет n параметров, то матрицы gi являются матрицами n×n, чьи элементы связаны со структурными константами Cijk .

После того как в результате замены производных на ковариантные производные был построен локально инвариантный лагранжи-

ан, нужно найти напряженность полей Aiμ и учесть кинетическую

энергию калибровочных полей. Проверим, что наивное обобщение абелева случая

μν	= ∂	μ	A	ν	−∂	ν	A	μ	(4.117)
F
k			k				k

не проходит, так как в этом случае преобразование будет содержать производные от параметров δаi. Действительно, используя

(4.113), получаем

μν

= ∂

μ

A′

ν

− ∂

ν

A′

μ

μν

+ δa

C

μν

+

F′

= F

F

k

k

k

k

l

ilk i

(4.118)

+Cijk (∂μδa j ) Aiν −(∂νδa j )

Aiμ .

Для получения корректного выражения напряженностей хотелось бы исключить последнее слагаемое в (4.118). Поскольку этот член

содержит как ∂μδa j , так и Aiν , попытаемся определить неабелевы напряженности полей следующим образом

F μν = ∂μ Aν ( x) − ∂ν Aμ ( x) + gC			Aμ ( x) Aν ( x) .		(4.119)
k	k	k	ijk i	j

Проверим, что это определение обладает желаемыми свойствами. Имея в виду соотношение (4.113), третий член в (4.119) преобразуем следующим образом

160