Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

где λ2n – константы связи. Эта модель напоминает модель Намбу- Иона-Лашино спонтанного нарушения симметрии. Введем аксиальное поле Aμ и перепишем лагранжиан в виде

L = ψ(iγμ∂μ − m)ψ + eAμψγμψ −V (Aμ Aμ ) ,					(4.165)
где эффективный потенциал:				n
∞		2
V (A2 ) = Λ4 ∑Vn		A		,	(4.166)
		2
n=1		Λ

где Aμ = Aμ μ .

Вэтом выражении Vn – безразмерные константы, связанные с

λ2n в (4.164), Λ – параметр размерности массы. Этот потенциал

способен генерировать ненулевые вакуумные средние:

0		Aμ		0 = cΛnμ ,	nμ	(4.167)
причем с – безразмерная константа, а						– пространственно-

подобный единичный вектор. При нарушении лоренцевской симметрии возникают три безмассовых голдстоуновских моды, две из которых – поперечные фотоны и одна времениподобная мода. Если Λ очень велика, то при энергиях, гораздо меньших Λ, лоренцсимметрия приблизительно сохраняется, а любые нарушения подавлены степенями Λ.

171

Глава 5 НЕПРЕРЫВНЫЕ ГЛОБАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ

5.1. Введение

В стандартной модели имеются несколько глобальных симметрий, как точных, так и приближенных. Некоторые из этих симметрий проявляют себя (реализация вигнера-вейля), другие – спонтанно нарушены (намбу-голдстоуновскя реализация). Рассмотрим более детально эти симметрии. Как обсуждалось в главе 4, в зависимости от того, обладает ли вакуум теории рассматриваемой симметрией, существуют важные отличия между непрерывными глобальными симметриями (преобразованиями). Обозначим глобальную группу симметрий теории через G. Эта группа имеет генераторы gi , которые удовлетворяют алгебре

g	, g		= iC		ijk	g	k	,	(5.1)
i		j
где Cijk – структурные константы группы. Если генераторы gi									для
всех i аннулируют вакуумное состояние
	gi			0 = 0 ,					(5.2)

то группа симметрии реализована вигнер-вейлевским образом с вырожденными мультиплетами состояний в спектре. Если же, с другой стороны, для некоторых генераторов

	gi		0 ≠ 0 ,	(5.3)
то группа	симметрии G спонтанно			нарушена до подгруппы
H (G → H ) ,	и n = dim(G/H) безмассовых скаляров появляется в

спектре теории. Это намбу-голдстоуновская реализация симметрий G, безмассовые скаляры известны как намбу-голдстоуновские бозоны.

Физически легко понять приближенный характер глобальных симметрий. Эти симметрии возникают тогда, когда можно пренебречь некоторыми динамическими параметрами в теории. Известный пример содержит квантовая хромодинамика. Лагранжиан КХД

172

			μ 1				1	μν
LKXД = −∑ qi		γ				Dμ + mi qi −		Gα	Gαμν	(5.4)
				i			4
i

имеет приближенную глобальную симметрию, связанную с тем, что массы легчайших кварков mu и md гораздо меньше динамиче-

ского масштаба теории ΛKXД . Пренебрегая массами легких квар-

ков, можно обнаружить, что лагранжиан КХД инвариантен относительно глобальной группы преобразований

U (n f )L ×U (n f )R	(5.5)
LKXД → LKXД ,

где n f – число ароматов, чьими массами можно пренебречь. При преобразованиях этой группы n f легких кварков переходят друг в друга. Например, для n f =2, пренебрегая массами mu и md в лагранжиане KXД, получаем преобразования симметрии

	u		→ e	iα	T	u		;
					iL i
	d L					d L		(5.6)
	u			iα	T	u
			→ e					,
					iR i
	d R					d R

где Ti = (τi ,1) .

Глобальная U (2)L ×U (2)R – приближенная симметрия KXД, возникает в предположении mu,d << Λ , и это – симметрия на клас-

сическом уровне. На квантовом уровне существует аномалия Адлера – Белла–Джекива в U (1)R−L подгруппе этой симметрии, и ре-

альная приближенная глобальная симметрия KXД сводится к группе

	G = SU (2)R+L × SU (2)R−L ×U (1)R+L =	(5.7)
	= SU (2)V × SU (2) A ×U (1)B .

Однако только SU (2)V и U (1)B симметрии проявляют себя в природе. SU (2) A симметрия спонтанно нарушена образованием конденсатов u и d кварков

173

uu =

dd ≠ 0 .

(5.8)

Проявление SU (2)V симметрии – это хорошо известная изоспиновая симметрия сильных взаимодействий, приводящая к нуклонному N = (p,n) и пионному π = (π± ,π0 ) мультиплетам. U (1)B – соот-

ветствует барионному числу, эта симметрия гарантирует равенство масс нуклонов и антинуклонов.

Спонтанное нарушение SU (2) A симметрии приводит к появле-

нию трех намбу-голдстоуновских бозонов, которые идентифицируются с пионами. Действительно, можно показать, что

m2	→ 0 , если	m	→ 0 .	(5.9)
π		u,d

Если SU (2)V × SU (2) A – только приближенная симметрия KXД, то U (1)B – точная глобальная симметрия теории, соответствующая преобразованию

q	i	→ exp		i	α	q	i	.	(5.10)
						B
			3

Это преобразование действует на все кварки одинаково, поэтому, очевидно, является симметрией электрослабой теории. Действительно, поскольку все взаимодействия включают qq пары, то по-

лучаем

U (1)B	(5.11)
Lстан.мод. →Lстан.мод. .

Те же самые аргументы применимы и к лептонам, поскольку все взаимодействия в стандартной модели содержат лептон – антилептонные пары. Следовательно

U (1)L	(5.12)
Lстан.мод. →Lстан.мод. .

И если U (1)B -симметрия связана с сохраняющимся током

	JBμ =	1	∑qi γμqi ,			(5.13)
		3
			i
	то U (1)L -симметрия с током
	JLμ = ∑				γμli .	(5.14)
				li
			i
			174

На квантовом уровне, однако, ни U (1)L ни U (1)B не остаются «хо-

рошими» симметриями из-за киральной природы слабых взаимодействий. Так как левые поля под действием преобразований SU(2)×U(1) стандартной модели ведут себя иначе, чем правые поля,

то в электрослабой теории JBμ и JLμ имеют ABJ аномалии. Как будет видно, нарушения U (1)B и U (1)L вследствие аномалий одинаковы. Таким образом, в электрослабой теории на квантовом уровне остается только одна глобальная квантовая симметрия U (1)B−L :

U (1)B−L	(5.15)
Lстан.мод. →Lстан.мод. .

Дальше будем более подробно обсуждать эту симметрию, но прежде чем это делать, заметим, что электрослабая теория содержит большое число глобальных симметрий в пределе нулевых масс нейтрино ( mνi = 0 ). В этом случае каждое индивидуальное лептон-

ное число ( Ll , Lμ и Lr ) на классическом уровне сохраняется по отдельности, а 3 Ll -В, 3 Lμ -В, 3 Lτ -В сохраняются на квантовом

уровне.

Если включить правые нейтрино в стандартную модель ( mνi ≠ 0 ), то можно ожидать смешивание нейтрино, как и в квар-

ковом случае. С массами нейтрино в районе электроновольт стандартная модель способна нарушать лептонное число.

5.2. Киральные аномалии

Существование киральных ABJ аномалий – важное следствие стандартной модели. Аномалии, как будет видно, изменяют классическую структуру глобальной симметрии теории. Кроме того, в них «участвуют» напряженности калибровочных полей:

	μν			1		μναβ
F		F	=		ξ		F	F	.	(5.16)
a		aμν		2			aαβ	aμν

Эта структура не только C-четна, но Р и Т-нечетна. Следовательно, структура (5.16) может являться дополнительным источником СР

175

нарушения. В стандартной модели эта структура входит в так называемый θ – член эффективного взаимодействия:

L

α3

G

μν

,

(5.17)

= θ

8π

G

СРнар.

a

aμν

где Gaμν – напряженность глюонного поля КХД, α3

– квадрат кон-

g 2

станты связи

α3

=

3

.

4π

Какие причины могут быть для введения киральных аномалий? Это проще всего продемострировать для одного фермионного поля ψ и U (1)V ×U (1) A глобальной симметрии. В этой теории на класси-

ческом уровне имеются два сохраняющихся тока:

	JVμ = ψγμψ , причем	∂μJVμ = 0 ,	(5.18)
а также:	J Aμ = ψγμγ5ψ;		(5.19)
	μ	m→0
	∂μJ A = 2mψiγ5ψ →0.

Иначе говоря, киральная U (1) A симметрия возникает при условии, если фермион безмассовый. На квантовом уровне, однако, невозможно обеспечить выполнение обоих законов сохранения для J Aμ и

JVμ . В этом и заключается источник киральной аномалии.

Если говорить более определенно, то источником аномалии является сингулярное поведение треугольной диаграммы, включаю-

щей один аксиальный ток J Aμ и два векторных тока JVμ .

Каждый из вкладов на рис. 5.1 логарифмически расходится. Однако их сумма конечна. Можно записать функции Грина для двух

векторных токов JVμ и одного аксиального тока

Рис. 5.1

176

T μαβ = F(q2 ,k 2								,k 2 ) pμαβ(k ,k							2	)	.		(5.20)
							1		2			1
Псевдотензор pμαβ(k ,k		2	) в			силу				бозе-симметрии									удовлетворяет
соотношению	1
	pμαβ(k ,k									μβα (k
						2	) = p				2	,k )		.					(5.21)
			1									1
Далее, сохранение векторных токов подразумевает ограничения
k	pμαβ(k ,k			2	) = k				2β	pμαβ(k ,k			2	) = 0				.	(5.22)
1α		1										1

Соотношения (5.21), (5.22) определяют структуру псевдотензора

	pμαβ(k ,k	2	) = εαβρδk	k	2δ	qμ	.	(5.23)
	1		1ρ
Из-за входящих в	pμαβ(k ,k	2	) импульсов, инвариантная функция
	1

F(q2 ,k12 ,k22 ) оказывается конечной.

Проводя процедуру регуляризации Паули – Вилларса треугольной диаграммы, получаем конечные выражения для каждой из диаграмм рис.5.1. Обозначим вклад диаграмм, соответственно, через

tμαβ(k ,k	2	) и tμβα (k	2	,k ) , получаем для тензора
1						1
		T μαβ(k ,k			2	) = εαβρδk						k	2δ	qμF(q2			,k 2 ,k		2 ) =
		1								1ρ							1		2
		= tμαβ(k ,k						)			−tμαβ(k ,k					)		+	(5.24)
						1	2			m				1	2			M

+tμβα (k2 ,k1) m −tμβα (k2 ,k1) M .

Вэтом выражении М – масштаб регуляризации паули–вилларса. Вычисляя дивергенцию выражения (5.24) и полагая массу фермио-

на m→0, получаем выражение

qμT μαβ = −2iMpαβ(M ) .

(5.25)

В этом выражении псевдоскалярная структура pαβ(M ) включает графики, аналогичные рис. 5.1, за исключением аксиальной вершины, пропорциональной γ5 , а не γμγ5 .

Поскольку функция F(q2 ,k12 ,k22 ) – конечна, то известно, что регуляризации паули–вилларса на самом деле несущественна, и можно положить М→∞

177

lim		−2iMPαβ(M )	=	i		εαβρδk	k	2δ	.	(5.26)
					2
				2π		1ρ
M →∞

Таким образом, получаем уравнение для аномальной дивергенции

q	μ	T μαβ =	i	εαβρδk	k	2δ .	(5.27)
			2π2	1ρ

Аномальное тождество Уорда для T μαβ можно интерпретировать в терминах нарушения сохранения аксиального тока J Aμ . Поскольку

U (1)V калибровочные бозоны – «фотоны» связаны с JVα и JVβ , то уравнение (5.27) эквивалентно аномальной дивергенции уравнения

μ	e2	αβ		α		αβ
∂μJ A =		FαβF	=		FαβF		,	(5.28)
	8π			2π

где е – U (1)V константа связи. Выражение (5.28) – знаменитая ABJ киральная аномалия.

Полученный результат в рамках U (1)V ×U (1) A теории легко

обобщается на случай, когда поля в токе J Aμ несут неабелевый за-

ряд. В этом случае фермионы в неабелевых треугольных диаграммах несут некоторый неабелевый индекс, диаграмма вместо про-

стого умножения на e2 будет содержать фактор

	2	λa			λa			1		2
g		tr					=		g		δab ,	(5.29)
			2		2			2

где g – константа связи, ассоциированная с неабелевой группой и

λa – соответствующие матричные генераторы для фермионных

2

полей, преобразующихся по фундаментальному представлению неабелевой группы. Таким образом, в неабелевом случае выражение (5.28) для киральной аномалии заменяется на следующее выражение:

μ

g 2

αβ

αg 2

αβ

∂

J

=

F

F

=

F

F

,

(5.30)

16π2

μ

A

a

aαβ

4π a aαβ

где Faαβ – напряженность неабелевого калибровочного поля.

178

Приведенные выше результаты можно использовать для анализа барионного (В) и лептонного (L) токов в стандартной модели. Разлагая эти токи на киральные компоненты, получаем

JBμ =

1

∑qi γμq =

1

∑(qiL γμqiL + qiR γμqiR ).

3

i

3

i

(5.31)

JLμ = ∑

γμl =∑(

li

liL γμliL + liR γμqiR ).

i

i

Поскольку кварки и лептоны взаимодействуют с SU(2)×U(1) элек-

трослабыми полями, дивергенции JBμ и JLμ – не обращаются в

ноль, и это результат возникновения киральных аномалий.

Вычисление треугольных диаграмм в этом случае дает

μ

−α2

μν

α1

4

1

1

αβ

(5.32)

∂μ J B

=

NgWi Wiμν

+

N g

+

−

Y

Yαβ

8π

8π

9

9

18

μ

−α2

μν

α1

1

αβ

и

∂

J

=

8π

N

W

W

+

8π

N

(1−

)Y Y .

(5.33)

2

μ

L

g i

iμν

g

αβ

В последних выражениях Ng – число генераторов группы симмет-

рии. Различные числа перед вкладами от U(1) калибровочных бозонов содержат квадраты соответствующих гиперзарядов, помноженные на число состояний (например, uR дает фактор 4/9, а дуб-

лет (u,d)L – фактор 2 1/36). Заметим, что как для тока барионного числа, так и для тока лептонного числа не только SU(2), но и U(1)

4

1

1

1

1

факторы одинаковые

+

+

= 1

−

=

. Это означает,

9

18

2

9

2

что полное фермионное число B+L нарушено на квантовом уровне,

но разность B–L сохраняется

μ

α2

αβ

α2

αβ

∂

J

=

1

N

−

2

N

,

8π

Y Y

4π

W W

(5.34)

μ

B+L

g

αβ

g

i

iαβ

∂μJ Bμ−L = 0.

Аналогичная ситуация в KXД. В пределе mu,d → 0 эта теория об-

ладает на классическом уровне глобальной симметрией

SU (2)V × SU (2) A ×U (1) A ×U (1)V . Однако U (1) A ток

179

	J μ =	1			γμγ		u +		γμγ		d	(5.35)
				u		5		d		5
	5	2

имеет киральную аномалию, поскольку кварки несут цвет и взаимодействуют с глюонами. Учитывая вклад u и d кварков в треугольную диаграмму, получим

μ	=	α32 αβ		(5.36)
∂μJ5		4π	Ga Gaαβ .
Нарушения (B+L) тока в электрослабой теории и U (1) A				тока в

КХД, определяемые соотношениями (5.34) и (5.35), весьма похожи. Тем не менее, эти квантовые поправки весьма различны. Как будет

видно ниже, ток J5μ сильно нарушен квантовыми КХД-эффектами. В результате, как уже отмечалось раньше, классическая U (1) A симметрия не является точной симметрией сильных взаимодействий. Ток же JBμ+L чрезвычайно слабо нарушен квантовыми по-

правками, за исключением ранней Вселенной, где температурные эффекты усиливают эти вклады. Таким образом, при нулевой температуре полное фермионное число (B+L) сохраняется.

Физически эти два результата просто необходимы. Образование конденсатов u и d кварков

uu = dd ≠ 0

(5.37)

в KXД очевидным образом нарушает как SU (2) A , так и U (1) A симметрию. Если бы U (1) A была бы точной симметрией, то можно было ожидать существование ассоциированного намбу-голд- стоуновского бозона (η-мезона) со свойствами, похожими на свойства SU (2) A намбу-голдстоуновского бозона (π-мезона). Хотя эти

состояния предполагаются безмассовыми, если глобальные симметрии точные, оба состояния должны иметь близкие массы даже с

учетом масс u и d кварков. Однако экспериментально mη2 >> mπ2 , т.е. U (1) A не может быть симметрией KXД. Поэтому сильное на-

рушение J Aμ за счет аномалий – вполне желаемый результат. В

электрослабой же теории очень важно, чтобы аномальное нарушение (B+L) не приводило к большим наблюдаемым эффектам, по-

180