Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

В другом подходе в качестве набора x выбираются состояния мягких пионов x ~ Nπ soft . Результаты этих вычислений весьма похожи и дают следующие значения:

m

2.7 10−16

e см

x

=

N −

θ

dn ~

e

q

(

1/2

)

. (5.85)

θ ~

−16 θe см (

x

=

N

M n

M n

5.2 10

)

π

Экспериментальное ограничение

dn <1.1 10−25 e см

(5.86)

Таким образом, чтобы избежать противоречия с экспериментом,

параметр θ должен быть меньше 2 10–10. Почему этот параметр столь мал?

5.5. Киральное решение сильной СP – проблемы

В 1977 г. Peccei & Quinn предложили динамическое решение сильной СР-проблемы. Они предположили, что лангранжиан стандартной модели был инвариантен относительно дополнительной U (1) киральной симметрии – симметрии U (1)PQ . Это допущение

предполагает определенные ограничения на хиггсовский спектр теории, во всем же другом не встречает особых проблем. Поскольку U (1)PQ симметрия – киральная симметрия, то предположение о

том, что она была точной, исключает θGG член, поскольку ки-

θ

PQ

ральное вращение

exp

−i

Q5

дает

n f

θ

PQ

exp

−i

Q5

θ =

0 .

(5.87)

n f

Итак, под действием U (1)PQ преобразования эффективный ваку-

умный угол θ обращается в ноль, и этот параметр больше в теории не присутствует. Однако, если U (1)PQ является дополнительной

глобальной симметрией стандартной модели, то невозможно, чтобы она оставалась ненарушенной. Peccei & Quinn показали, что да-

191

же если U (1)PQ спонтанно нарушена, θGG член исключается.

Чтобы это увидеть, надо сконцентрироваться на ассоциированном намбу-голдстоуновском бозоне, который возникает при спонтанном нарушении U (1)PQ симметрии. Эта частица называется аксио-

ном. Это название было введено Вайнбергом и Вилчеком в связи с U (1)PQ симметрией. Однако оказалось, что аксион не полностью

безмассовый, т.е. это псевдо-намбу-голдстоуновском бозон. Это следствие U (1)PQ симметрии, имеющей аномалию вследствие КХД

взаимодействий. Масса аксиона

Λ2

mΛ ~ KXД , (5.88) f

где ΛKXД – типичный масштаб КХД взаимодействий, f – масштаб U (1)PQ нарушения. Если f >> ΛKXД , то аксион оказывается гораз-

до легче обычных адронов. Если обозначить аксионное поле через a(x), то использование U (1)PQ симметрии в стандартной модели

сводится к замещению СР-нарушающего θ параметра динамически СР-сохраняющим аксионным полем

		→	a(x)	.	(5.89)
	θ
			f

Чтобы понять, почему так происходит, следует напомнить, что аксионное поле намбу-голдстоуновского бозона нарушенной U (1)PQ

симметрии при U (1)PQ преобразовании изменяется	следующим
образом:
U (1)PQ	(5.90)
a(x) →a(x) + αf ,

где α – параметр, ассоциированный с U (1)PQ преобразованием. Из-

за свойства (5.90) аксионное поле может войти в лагранжиан лишь через производную.

Учитывая дополнительные вклады в лагранжиан за счет аксионного поля, получаем эффективный лагранжиан

192

эф

α3

μν

1

μ

L

= L

+ θ

8π

G

a

G

aμν

−

∂

μ

a∂

a +

2

ст.мод

ст.мод

(5.91)

взаим

∂μa

a

α3

μν

+Lаксион

;

ψ

+

ς

Ga

Gaμν .

f

f

8π

В этом выражении третье слагаемое – кинетический член аксионного поля, четвертое слагаемое – схематически записанные взаимодействия аксионного поля с другими полями теории. Последнее же слагаемое в (5.91) не содержит производной от аксионного поля, нарушая тем самым обычные ожидания для намбуголдстоуновских полей. Причина включения этого слагаемого в выражение (5.91) очевидна. U (1)PQ симметрия аномальна

∂	μ	μ	α3	μν	(5.92)
		J PQ = ς	8π	Ga Gaμν ,

где, как и в (5.91), ς – модельно независимое число ~ 0(5.). Аномалия (5.92) при киральном U (1)PQ преобразовании отражается в эф-

фективном лагранжиане (5.91). Это гарантировано наличием последнего слагаемого в выражении (5.91). Это слагаемое, связанное с киральной аномалией, содержит аксионное поле (а не его производную), является потенциалом аксионного поля. В результате получается, что допустимы не все значения вакуумных средних (VEV) аксионного поля. Минимум Vэф соответствует

	∂Vэф		ς α3		μν		.
		= −			Ga Gaμν
	∂a		f	8π
							a ≠0

Peccei & Quinn показали, что периодичность GG углу θэф в лагранжиане (5.91)

θэф = θ + ςf a(x) ,

требует, чтобы θэф = 0 или

a(x) = − ςf θ .

(5.93)

по вакуумному

(5.94)

(5.95)

193

U (1)PQ

Как следствие (5.95) получаем, что только физическое аксионное поле:

a(x)физич = a(x) − a(x) ,

(5.96)

взаимодействует с напряженностями глюонного поля, исключая при этом θGG член.

Таким образом, использование дополнительной U (1)PQ симмет-

рии и ее нарушения позволяет решить сильную СР-проблему.

Как уже отмечалось выше, из-за аномалии U (1)PQ тока, аксион

оказывается массивным. Это видно из эффективного лагранжиана (5.91). Вторая производная эффективного потенциала, вычисленная

при минимальном значении

a(x) дает для квадрата массы аксио-

на

∂2Vэф

2

ς α3 ∂

μν

ΛKX2

Д

ma

=

= −

Ga Gaμν

~

. (5.97)

∂a2

f 8π ∂a

f

a

a

Очевидно, что эффективная теория, включающая U (1)PQ и аксион,

не содержит сильной СР-проблемы. Однако остается прямое взаимодействие массивного аксионного поля с глюонной псевдоскалярной плотностью

эф

взаим

∂μaфиз

Lст.мод = Lст.мод

+ Lаксион

;ψ −

f

(5.98)

1

1

aфиз

α3

μ

2 2

μν

−

∂μaфиз∂

aфиз −

ma aфиз

+

ς

Ga Gaμν.

2

2

f

8π

Как очевидно из этого лагранжиана, аксионная физика зависит от масштаба U (1)PQ нарушения f. В первоначальной работе Peccei &

Quinn ассоциировали f с масштабом электрослабого нарушения симметрии υ = ( 2GF )−1/2 . Для учета U (1)PQ симметрии они ввели

в стандартную модель два хиггсовских дублета Ф1 и Ф2 с разными зарядами. Аксионное поле оказывается общей фазой полей

Ф1 и Ф2 , которое относится к слабому гиперзаряду. Разделяя вклады Ф1 и Ф2

194

V1

a

1

V2

a

0

Φ1

=

exp ix

0

;

Φ2 =

exp i

1

;

(5.99)

2

2

f

xf

где x = υ2 отношение двух VEV хиггсовских полей, получаем, что

υ1

масштаб нарушения U (1)PQ симметрии

f = υ12 + υ22 = ( 2GF )−1/2 ≈ 250 ГэВ.

(5.100)

Поле Ф1 имеет слабый гиперзаряд (–1/2), а поле Ф2 – слабый гиперзаряд (+1/2). Следовательно, в юкавских взаимодействиях Ф1 связывает uRj поля с левыми кварковыми дублетами, а Ф2 связывает

dRj с этими же полями:

L

= −Γu

(

,

)

Φ u

− Γd (

u

d

Lj

u

,d

)

Lj

Φ

2

d

Rj

+ э.с. (5.101)

юкав

ij

1 Rj

ij

В силу соотношения (5.99), очевидно, что

эти

взаимодействия

U (1)PQ

инвариантны. Сдвиг аксионного

поля

на

αf (5.90) при

U (1)PQ

преобразовании компенсируется соответствующим враще-

нием правых кварковых полей. При U (1)PQ преобразовании имеем

PQ

aфизич →aфизич + α f ;

(5.102)

PQ

PQ

α

uRj →exp[−iαx]uRj ;

dRj →exp −i

dRj .

что U (1)PQ

x

Отсюда

очевидно,

преобразование

сопровождается

U (1) A преобразованием. В результате θ → 0 , как уже не раз отмечалось.

К сожалению, слабый масштаб для аксионов (при f ≈ 250 ГэВ ma ≈ 100 кэВ) исключен экспериментально. Если бы аксион суще-

ствовал на слабом масштабе, то бренчинг распада K ± → π±a составлял бы

Br(K ± → π±a) ≈ 3 10−5 .	(5.103)
Экспериментально, однако процесс K ± → π± +(ничего)	имеет
бренчинг на три порядка ниже:
195

Br(K ± → π± + ничего) < 3.8 10−8

(5.104)

Хотя аксионы на слабом масштабе не существуют, сильная СРпроблема решается благодаря существованию U (1)PQ симметрии.

Динамическое стремление θ → 0 происходит независимо от масштаба f, на котором происходит спонтанное нарушение U (1)PQ .

Очевидно, если f = ( 2GF )−1/2 , то аксион чрезвычайно легкий (ma ~ Λ2KXД / f ) , исключительно слабо связанный (константа связи

~ 1 / f ) , очень долгоживущий (τa ~ f 5 ) , т.е. практически невидимый.

Если f = ( 2GF )−1/2 , то очевидно, что спонтанное нарушение U (1)PQ должно происходить посредством VEV поля, которое явля-

ется SU(2)×U(1) синглетом. Поэтому в моделях невидимого аксиона – это фаза, связанная с SU(2)×U(1) синглетным полем σ. Оставляя только одну аксионную степень свободы

	σ =	f	eia/ f .	(5.105)
		2

Оказывается, что астрофизика и космология дают важные ограни-

	чения на величину масштаба f		U (1)PQ нарушения или, эквивалент-
	но, массу аксиона	106 ГэВ
	ma ≈ 6				эВ.	(5.106)
			f

Эти ограничения определяют пространство параметров моделей невидимого аксиона.

5.6.Существует ли реальный намбу-голдстоуновский бозон?

Уже около 50 лет известно, что при нарушении глобальной группы симметрии G до подгруппы H[G→H] в спектре теории появляется dim(G/H) безмассовых намбу-голдстоуновских бозонов. Однако мы не имеем реальных физических примеров этого явления. Пожалуй, пионы являются замечательным примером состоя-

196

ний почти намбу-голдстоуновских бозонов. Несмотря на то, что пионы – намбу-голдстоуновские возбуждения, ассоциированные с нарушением SU (2)V × SU (2) A -приближенной глобальной симмет-

рии КХД до группы SU (2)V , пионы имеют массу, поскольку u и

d – кварки не являются безмассовыми.

Кажется невозможным, чтобы реальный физический намбуголдстоуновский бозон существовал в природе. Аргумент в пользу этого утверждения достаточно простой. Поскольку эти частицы безмассовые, их существование становится под сомнение тем, что единственные дальнодействующие силы, известные в природе, – это гравитация и электромагнетизм. Однако еще в 1980-х годах было осознано, что намбу-голдстоуновские бозоны с массой m = 0 не приводят к отмеченному выше противоречию, и вполне можно рассматривать возможность физического существования таких состояний.

Эта идея возникла в результате исследования возможности спонтанного нарушения лептонного числа. намбу-голдстоуновский бозон, связанный со спонтанным нарушением лептонного числа был назван майороном. Вскоре Вилчек рассмотрел теорию, в которой глобальное число, характеризующее поколение, тоже спонтанно нарушено. Соответствующий намбу-голдстоуновский бозон был назван фамилоном. Объяснение, почему намбу-голдстоуновские бозоны не вступают в противоречие с современными ограничениями на дополнительные дальнодействующие взаимодействия, осно-

вано на теореме [Gelmini, Nussinov, Yanagida], утверждающей, что обмен намбу-голдстоуновскими бозонами приводит только к дальнодействующим тензорным силам.

Доказательство этой теоремы довольно простое. Нас будет интересовать потенциал, создаваемый обменом намбу-голдстоунов- ским бозоном между двумя фермионами. Напомним, что намбуголдстоуновское бозонное поле π испытывает сдвиг при нарушающих симметрию преобразованиях

ζ	(5.107)
π(x) →π(x) + υπζ .
В этом выражении ζ – параметр из G/H, υπ – масштабный пара-
метр, связанный с нарушением рассматриваемой	симметрии.
197

Вследствие свойств (5.107), намбу-голдстоуновские поля всегда имеют связи через производные. Следовательно, наиболее общий вид связи намбу-голдстоуновского бозона π с двумя фермионами f1 и f2 имеет вид

ферм		∂μπ
				f1[aγμ + bγμγ5 ] f2 + э.с. ,		(5.108)
LNGB	= i
		υπ

где а и b – численные коэффициенты. Если использовать уравнение движения для фермионов, то (5.108) сводится к более полезной форме, содержащей π поле

L

=

π

[a(m

− m

) + b(m

+ m

)γ

] f

+ э.с.

(5.109)

NGB

f

υπ

1

1

2

1

2

5

2

где m1 и m2 – массы фермионных полей f1 и f2 .

При вычислении потенциала, вызванного π-обменом между двумя фермионами, нужно использовать лагранжиан (5.109) для каждой вершины при f1 = f2. Очевидно, что для двух одинаковых фермионов эффективная связь намбу-голдстоуновского бозона всегда будет псевдоскалярной связью. Таким образом, обмен намбуголдстоуновским бозоном не будет генерировать когерентные дальнодействующие силы, так как псевдоскалярнаяG связь в нерелятивистском пределе сводится к σ p связи. Более точно, эффектив-

ная диагональная связь намбу-голдстоуновского бозона π с фермионом f определяется лагранжианом

	LдиагNGB = igπ	m f			γ5 f π ,	(5.110)
				f
		υπ

где gπ – безразмерная константа связи. В нерелятивистском преде-

	ле (5.110) сводится к лагранжиану		G G
	диаг	*	σV	χ f π,	(5.111)
	LNGB → gπχ f
			υπ

где χ f – спинор Паули.

Такое взаимодействие приводит к тензорному обменному потенциалу между двумя фермионами, который зависит от спина и ведет себя как ~1/r3 , а не 1/r

198

эф

2

/ 4π

G G

G

Gˆ G

Gˆ

4π

3

G G

gπ

σ1σ2

−3(σ1

r )(σ2

r )

VNGB−обмен =

+

δ

(r)σ1σ2

. (5.112)

υπ2

r3

3

В литературе имеются попытки оценить величину возможных немагнитных диполь-дипольных взаимодействий в среде, возникающих при обмене реальным намбу-голдстоуновским бозоном. Чтобы не противоречить эксперименту, необходимо считать

υπ ≥1 ТэВ.	(5.113)
gπ

Таким образом, на масштабах, не слишком превышающих электрослабый масштаб, допустимо существование реальных намбуголдстоуновских бозонов, связанных со спонтанным нарушением

глобальных симметрий! Если же	υπ	гораздо больше (5.113), то
	gπ

вряд ли следует ожидать каких либо проявлений намбуголдстоуновского бозона.

5.7. Майорон

Проиллюстрируем сказанное выше примером спонтанного нарушения лептонного числа и связанного с ним майорона. Как уже отмечалось выше, лептонное число – это классическая глобальная симметрия стандартной модели. Даже на квантовом уровне, поскольку амплитуды ν ≠ 0 сильно подавлены, лептонное число остается почти точной симметрией. Однако нет причин считать, что эта симметрия остается, если рассматриваются расширения стандартной модели. Действительно, в простейшем расширении стандартной модели – для каждого семейства вводятся правые нейтринные поля νRi . Поскольку эти поля являются SU(2)×U(1) синглетами, то

можно записать майорановский (фермион-фермионный) массовый член, содержащий эти поля

L	=	−(M R )ij	νT	Cν	Rj	+ э.с. ,	(5.114)
масс		2	Ri

199

где С – матрица зарядового сопряжения, уже использованная нами (С = 1 в майорановском представлении). Очевидно, что в Lмасс

лептонное число не представлено, поскольку два его члена несут, соответственно, лептонные числа (+2) и (–2).

Можно, однако, в этом примере восстановить лептонное число как симметрию, вводя и соответствующим образом трансформируя хиггсовское поле. Для этого необходимо комплексное SU(2)×U(1) синглетное поле σ, несущее лептонное число (–2). Очевидно, что лагражиан имеет вид

L = −	hij	νT		Cν	Rj	σ + э.с.	,	(5.115)
2			Ri

при этом лептонное число сохраняется. Если динамика системы приводит к тому, что σ приобретает VEVσ = 12 V , то лагранжи-

ан (5.115) будет содержать майорановский массовый член для правых нейтринных полей. В этом случае находим

(M R )ij = hijV ,

(5.116)

и лептонное число спонтанно нарушено. Следовательно, теория должна содержать намбу-голдстоуновский бозон – майорон.

Как и в случае аксиона, майоран можно идентифицировать с фазой поля, связанной i с комплексным полем σ, т.е. поле σ представляется в виде

	σ ≈	V	eiχ/V ,	(5.117)
		2

где χ – майорон.

Если бы взаимодействие (5.115) было единственным взаимодействием, которое имеют νRi поля, то очевидно, что χ был бы связан только с этими полями. Однако, вводя правые нейтринные поля, нельзя избежать связи νRi посредством обычного хиггсовского дублетного поля, с обычными лептонными дублетными полями (ν,е)Li . В результате этих связей майороновское поле χ будет иметь взаимодействие с левыми нейтринными полями. Однако, если правая майорановская масса MR (или, эквивалентно, VEV σ-поля) ве-

200