Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

где C2 (R) = ∑Ra Ra и T (R)δab = tr (Ra Rb ) , Ra – генераторы рас-

a

сматриваемой калибровочной группы. Следующее групповое соотношение весьма полезно для практических вычислений

C2 (R)d (R) =T (R)r ,

(8.38)

где d(R) – размерность неприводимого представления, r – ранг группы (число диагональных генераторов). Важно отметить, что на масштабе Большого объединения (GUT) калибровочная группа входит в состав GUT, т.е. генераторы должны быть нормированы одинаково. Это означает, что если Θа-генераторы группы при низких энергиях, то они должны удовлетворять условию tr (Θa Θb ) = 2 δab. Если мы суммируем по фермионам одного поколения, то обнаруживаем, что это условие удовлетворяется для SU(2)L и SU(3)c групп. С другой стороны, для оператора гиперзаря-

да следует записать ΘY = 53 Y2 , чтобы удовлетворить условию

нормировки. Это обстоятельство следует учесть при вычислении коэффициента b1.

Для MSSM коэффициенты bi равны b3 = –3, b2 =+1 и b1 = 33/5, где индекс i обозначает группу SU(i) (i > 1) и при этом предполагается наличие трех поколений фермионов. Уравнения эволюции для калибровочных констант записываются в виде

2π

d

α−1

= −

33

; 2π

d

α−1

= −1; 2π

d

α−1

= 3.

dt

5

dt

dt

1

2

3

Решениями этих уравнений являются

α−1

(M

Z

) = α−1

+

33

ln

MU

;

1

U

10π

M Z

α2−1 (M Z ) = αU−1 +

1

ln

MU

;

2π

M Z

α3−1 (M Z ) = αU−1 −

3

ln

MU

.

2π

M Z

(8.39)

(8.40)

291

Если эти три уравнения с двумя свободными параметрами совместны, то происходит объединение констант связи. Эти уравнения приводят к самосогласованному уравнению

Δα ≡ 5α−1	(M	Z	) −12α−1	(M	Z	) + 7α−1	(M	Z	) = 0 .	(8.41)
1			1			1

Используя значения трех калибровочных констант на масштабе MZ

α−1	(M	Z	) = 58.97 ± 0.05; α−1	(M	Z	) = 29.61± 0.05;
1			2				(8.42)
			α3−1 (M Z ) = 8.47 ± 0.22,

получим Δα = –1 ± 2. Таким образом, на однопетлевом уровне объединение констант действительно происходит. Рассматривая любые два из уравнений эволюции (8.40), находим масштаб большого

объединения MU ~ 1016 ГэВ и αU−1 ≈ 24 .

Сравним «степень» объединения в суперсимметричной и стандартной модели. Величины bi в стандартной модели b1 = 41/10, b2 = –19/6 и b3 = –7. Объединение калибровочных констант в этом случае требует, чтобы

ΔαSM = 236 α−s 1 (M Z ) − 2507309 α−21 (M Z ) + 10415 α1−1 (M Z ) = 0. (8.43)

С помощью экспериментальных значений получаем ΔαSM =

=6.5 ± 0.2 , что отлично от нуля на много «сигм».

8.3.8.Объединение калибровочных констант на масштабе, меньшем масштаба Большого оОбъединения

Важным аспектом Большого Объединения является возможность существования промежуточных симметрий для реализации симметрии Большого объединения. Например, существование калибровочной группы SU (2)L × SU (2)R U (1)B−L × SU (3)c до то-

го, как калибровочная группа становится группой SO(10). Обсудим, как эволюционные уравнения модифицируются в этом случае. Предположим, что на масштабе MI происходит расширение калибровочной симметрии. Чтобы учесть это обстоятельство, необходимо совершить следующую последовательность действий: 1) если

292

«меньшая» группа G1 входит в «большую» группу G2 на масштабе MI, то на однопетлевом уровне используется условие

g1(M I ) = g2 (M I ) ,

(8.44)

2) если генераторы симметрии на низком масштабе возникают как линейные комбинации генераторов группы симметрии на высоком масштабе, то

		λ1 = ∑ pbθb ,									(8.45)
					b
и условие совпадения (8.44) констант дает
		1			= ∑		pb2			.	(8.46)
	g 2	(M	I	)		g 2	(M	I	)
1					b b

Покажем, что это действительно так. Для простоты рассмотрим случай, когда G2 = ∏U(1)b , которая на масштабе MI нарушается

b

до одной U(1). Пусть это нарушение происходит посредством вакуумного среднего единственного хиггсовского поля φ с зарядами (q1, q2, …) относительно U(1). Ненарушенный генератор задается с помощью соотношения

Q = ∑ paQa ,	(8.47)
a

причем ∑ pcqc = 0 .

c

Массовая матрица калибровочного поля после действия механизма Хиггса записывается в виде

M 2	= q	q q	a	q	b	ϕ 2 .	(8.48)
ab		a b

Эта матрица имеет безмассовое собственное состояние, которое можно идентифицировать с ненарушенным U(1) калибровочным полем

Aμ =				1		∑	pb	Aμ,b = N ∑	pb2	Aμ,b.	(8.49)
				p2	1/2				2
		∑				b gb		b gb
				b
			2
		b gb		(M I )

Для нахождения эффективной калибровочной константы запишем

293

			p
L ~ ∑gbQb Aμ,b = ∑gb ( pbQ +...) N			b	Aμ +... .	(8.50)
b	b	gb

Собирая коэффициенты при Аμ и используя условие нормировки ∑ pb2 =1, получаем соотношение (8.46).

Применим этот результат к ситуации, когда SU(2)R × U(1)B–L нарушена до U(1)Y. Тогда

	Y	= I3,R +	B − L	.	(8.51)
	2		2

Нормированные генераторы

	IY =	3 Y			;	IB−L =	3		B − L	.	(8.52)
		5 2					2	2

С их помощью находим

	IY =	3	I3R +	2	IB−L .	(8.53)
		5		5

Это означает, что на масштабе, при котором начинает проявлять себя лево-правая симметрия, константа связи α2R удовлетворяет соотношению

	αY−1 =	3	α2−1R +	2	α−B1−L .	(8.54)
		5		5

Рассмотрим теперь приложение этой техники к SO(10) GUT и найдем условие, которому должна удовлетворять масса WR, чтобы имело место объединение констант. Сначала найдем уравнения эволюции для констант связи SO(10) модели с промежуточным WR масштабом. Для α2 и α3 эволюционные уравнения

αi−1 (M Z ) = αU−1 −	bi	ln	M R	−	bi′	ln	MU	,	(8.55)
	2π		M Z
					2π		M R
где i = 2, 3; bi′ содержит вклады от всех частиц на									масштабах,

меньших MR. Будем предполагать, что между MR и МU нет других частиц, кроме тех, которые включены в bi. Что касается α1, воспользуемся соотношениями (8.22)

α−1	(M	Z	) = α−1	(M	R	) −	b1	ln	M R	.	(8.56)
1			1				2π		M Z
				294

С помощью (8.54), «эволюционируя» константу α2R,B−L между MR и МU, находим

−1

−1

b1

M R

3 b2′R

2 bBL′

MU

α1

(M Z ) = αU

−

ln

−

−

ln

.

(8.57)

2π

M Z

5 2π

5 2π

M R

Обозначим для удобства b1′ = 53 b2′R + 52 b′BL . Тогда достаточное ус-

ловие для существования промежуточной шкалы

Δα	SUSY	≡ 5b′	−12b′	+ 7b′	= 0 .	(8.58)
		1	BL	3

Если это условие удовлетворяется, то массы WR должны находиться в ТэВ-ной области. В качестве примера такой теории рассмотрим следующий спектр частиц на масштабах, больших MR: цветовой октет, пару SU(2)R триплетов с (B–L) = ±2, два бидублета (2, 2, 0) и левый триплет. Соответствующие коэффициенты на масштабах больших MR

b′	= 0;	b′	= 4; b′	= 6; b′	=15 .	(8.59)
3		2L	2R	BL

Эта модель удовлетворяет условию ΔαSUSY = 0.

8.3.9. Объединение юкавских констант

Очевидным расширением идеи объединения калибровочных связей является объединение юкавских связей. Однако объединение юкавских связей – гораздо более модельно зависимое явление, чем объединение калибровочных констант. Конечно, можно потребовать частичного объединения юкавских связей вместо полного объединения всех трех поколений. Большинство моделей Большого объединения подразумевают частичное объединение юкавских связей типа

hb (MU ) = hτ(MU ) .

(8.60)

Для обсуждения следствий этой гипотезы необходимо проследить ренорм-групповую эволюцию этих связей до электрослабого масштаба. Ренорм-групповые уравнения для этих моделей

295

2π

d

lnY

= 6Y

+Y

−

7

α

−

16

α

−3α

;

dt

15

3

b

b

t

1

3

2

2π

d

lnY

= 4Y

−

9

α −3α

;

(8.61)

d

dt

τ

τ

13

5

1

16

2

2π

lnY

= 6Y

+Y

−

α −

α

−3α

,

15

3

dt

t

t

b

1

3

2

где введены определения Yi ≡ hi2 . Вычитая из первого уравнения

4π

(8.61) второе и определяя Rb/τ = Yb , получаем

Yτ

2π	d	(R	) ≈ Y		−	16	α	3	.	(8.62)
	dt	b/τ		t		3

Решая это уравнение совместно с условием объединения юкавских связей, находим

m

(M

) = (R

(M

)) 1/2

α

(M

)

8/9

b

Z

Z

= A−1/2

3

Z

,

(8.63)

mτ

1

α3 (MU )

MU

где A = exp

∫

Y dt . Используя значение αU для MSSM боль-

t

2π

t

Mt

шого объединения, получаем

mb

(M

Z

) ≈ 2.5A−1/2 .

(8.64)

mτ

t

Наблюдаемое

значение

mb

(M Z ) ≈1.62 .

Таким

образом, оче-

mτ

видна значимость вклада от «бегущей» юкавской связи. Один из способов оценки At состоит в предположении, что ht (MU ) = 3, то-

гда A−1/2 ≈0.85, и отношение	mb	близко к экспериментально на-
блюдаемому.	mτ
	296

8.3.10.Юкавская связь t-кварка

и её инфракрасная фиксированная точка

Оказывается, что для больших значений юкавских связей t-кварка, независимо от того, насколько велико её асимптотическое значение, определяемое уравнениями ренорм-группы, имеется фиксированное значение и оно может быть использовано для предсказания массы t-кварка. Чтобы пояснить это утверждение, опреде-

лим параметр ρt = Yt . Используя ренорм-групповые уравнения для

Y3

Yt и Y3, можем записать

		d			7
	α3		ρt = −2ρt	ρt −			.	(8.65)
		dt			18

Решением этого уравнения является функция

ρt (α3 ) =				7 / 8					,	(8.66)
				7		α	3	−7/9
1		− 1	−
						α30
				18ρt0

где ρt0 = ρt (Λ) и α30 = α3 (Λ) . При малых μ в (8.65) α3 возрастает, а при α3 → ∞ ρt = 7/18. Это дает mt ≈ 129 sin β ГэВ, что гораздо меньше наблюдаемого значения. Означает ли это, что эта идея не проходит? Ответ отрицательный. Действительно, при mt(mt) α3 далека от бесконечности. Более резонно использовать ренормгрупповые уравнения для Yt и предположить, что при Λ >> MZ Yt >> >> α3. Поэтому для очень больших μ

dY		3Y	3
t	≈	t		.	(8.67)
dt		π

В результате, если мы движемся вниз от Λ, сначала Yt будет уменьшаться до тех пор, пока не станет сравнимой с α3, после чего

достигнув значения 6 Yt ≈ (16 3 )α3 перестает изменяться. Это ве-

дет к предсказанию массы t-кварка mt ≈ 196 sin β ГэВ, которая уже согласуется с экспериментальными данными. Если применить те же аргументы, то можно получить mt ≈ 278 ГэВ. Означает ли это,

297

что суперсимметрия – правильный подход к изучению массы t- кварка?

8.3.11. Суперсимметричная SU(5)

Простейшая суперсимметричная модель Большого Объединения основана на группе SU(5). Предполагается, что на масштабе Большого объединения MU SU(5) калибровочная симметрия нарушается до MSSM:

SU(5) → SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y.

(8.68)

Идеи объединения, рассмотренные выше, дают основания надеяться, что на масштабе GUT единственная константа «распадается» на три константы связи стандартной модели.

									и
В этой модели поля материи относятся к 5-мерным (5						= F)
10-мерным представлениям, хиггсовские же поля относятся									к
Ф ≡ 45, Н ≡ 5 и H		= 5 представлениям. Поля материи

		d C
			1C
		d2
F		= d C ;
			3
		e−
			ν

	0
	−u3C
T {10} =	uC
	2
	−u1
	−d
	1

u3C

0

−u1C −u2 −d2

−u2C u1 u1C u2

0 u3

u3 0

−d3 −e+

d1 d2

d3 . (8.69) e+

0

В дальнейшем для SU(5) групповые индексы обозначим через α, β (например Нα, H α , FαT αβ = −T βα ); i, j, k – индексы SU(3)C, а также

индексы p, q для SU(2)L.

Для обсуждения нарушения симметрии и других динамических аспектов модели выберем суперпотенциал

	W =W +W +W +W ′ ,									(8.70)
где		Y	G	h
W	= habε	T αβT γδH σ		+ habT αβ					,	(8.71)
					F	H		β
Y	u	αβγδσ a	b	d	α

причем a, b – индексы поколений. Эта часть суперпотенциала «ответственна» за придание массы фермионам. Другое слагаемое в суперпотенциале

298

WG = z trϕ + x trϕ2 + y trϕ3 + λ1 (HϕH + MHH ). (8.72)

Эта часть суперпотенциала «ответствена» за нарушение симметрии и формирование легких хиггсовских дублетов на масштабах, ниже MU. Заметим, что, несмотря на то, что trφ = 0, z-член добавлен как множитель Лагранжа для усиления этого ограничения при минимализации потенциала. Оставшаяся часть суперпотенциала Wh представляет собой скрытый сектор, «ответственный» за нарушение суперсимметрии; W ′ – обозначает члены, нарушающие R-четность, которые мы обсудим ниже. Мы рассматриваем следующую цепочку нарушения симметрии

SU (5)×SUSY → Φ ≠ 0 → GSM ×SUSY.

(8.73)

Для исследования нарушения симметрии используем WG и вычисляем соответствующие F-члены. Положив эти члены равными нулю, получим условие наличия SUSY до электрослабого масштаба

F α	= zδα + 2xϕα + 3yϕαϕγ			= 0 .	(8.74)
ϕ,β	β	β	γ β

Условие < tr Ф> = 0 подразумевает, что z = − 35 ytrϕα . Если счи-

тать, что diag < Ф > = (а1, а2, а3, а4, а5), то получим уравнения

∑ai = 0; z + 2xai + 3yai2 = 0,	(8.75)
i

где i = 1,… 5. Таким образом, имеется пять уравнений и два параметра. Поэтому возможны три различных выбора величин аi, которые удовлетворяют соотношениям (8.75):

1)	<Ф> = 0.			(8.76)
В этом случае SU(5) симметрия остается ненарушенной
2)	diag < Ф > = (а, а, а, а, –4а).			(8.77)
Тогда SU(5) нарушена до SU(4)×U(1) и a =		2x	;
		9y
3)	diag < Ф > = (а, а, а, –3/2 b, –3/2 b).			(8.78)

Это желаемый вакуум, поскольку SU(5) нарушается до SU(3)C×SU(2)L×U(1)Y калибровочной группы стандартной модели.

299

В этом случае b = 34yx , и можно выбрать параметр x порядка MU.

В суперсимметричном пределе все вакуумы вырождены.

Низкоэнергетический спектр и дублетно-триплетное расщепление

Обсудим теперь, возникает ли в этой модели MSSM на масштабах ниже GUT. Поля материи входят в F и Т мультиплеты. Единственный вопрос: как возникают два хиггсовских суперполя Hu и Hd MSSM? Они должны входить в Н и H мультиплеты. Записыва-

ξu

d

ем

и

ξ

. После подстановки <Ф> в WG для слу-

H ≡

H ≡

Hu

Hd

чая (8.72) получим

+ λ

3

H

W

= λ(b + M )ξ

−

+ M

H

.

(8.79)

u

ξ

d

u

d

eff

2b

Если выбрать 23b = M , то возникают безмассовые дублеты стан-

дартной модели, а все другие частицы SU(5) получают большие массы. Непривлекательный аспект этой процедуры состоит в том, что параметры вводятся «руками», а не возникают естественным образом. Эта процедура расщепления цветных триплетов ξu,d от SU(2)L дублетов Hu,d называется дублет-триплетным расщеплением и оказывается общим свойством GUT моделей. Преимущество SUSY GUT моделей состоит в том, что если «тонкая настройка» проведена на древесном уровне, то в силу теоремы о неперенормируемости, она сохраняется во всех порядках теории возмущений. В несуперсимметричной GUT сокращение между b и М должно быть проведено в каждом порядке теории возмущений.

Массы фермионов и распад протона

Эффективный суперпотенциал полей материи при низких энергиях выглядит следующим образом

W	= h QH	uc + h QH	d	d c + h LH	d	lc + μH	u	H	d	. (8.80)
matter	u u	d		l
		300