Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

8.3.3.Минимальная суперсимметричная стандартная модель (MSSM) II

Рассмотрим суперсимметричное расширение стандартной модели, имеющее целью стабилизацию массы хиггсовского бозона. Суперполя и их представления содержатся в табл. 8.2. Для полей материи и хиггса показаны только лево-киральные поля. Поля правой киральности имеют сопряженные представления относительно калибровочной группы

	Таблица 8.2
Суперполе	Калибровочное преобразование
кварки Q	(3, 2, 1/3)
антикварки uc	(3*, 1, -4/3)
антикварки dc	(3*, 1, 2/3)
лептоны L	(1, 1, -1)
антилептоны lc	(1, 1, +2)
хиггс-бозон Hu	(1, 2, +1)
хиггс-бозон Hd	(1, 2, -1)
цветные калибровочные поля Ga	(8, 1, 0)
слабые калибровочные поля W±, Z, γ	(1, 3+1, 0)

Прежде всего, важное отличие между стандартной моделью и её суперсимметричной версией, помимо наличия суперпартнеров, состоит в наличии второго хиггсовского дублета. Это необходимо с точки зрения придания масс кваркам и лептонам, а также для того, чтобы теория была свободной от аномалий. В базисе слабых собственных состояний лагранжиан слабого взаимодействия для кварков и лептонов точно такой же, как и в стандартной модели. Что касается слабых взаимодействий скварков и слептонов, углы смешивания поколений оказываются совсем другими, чем в соответствующем фермионном секторе. Причина заключается в нарушении суперсимметрии. Это обстоятельство имеет важные феноменологические следствия, поскольку калибрино-фермион-сфермионное

281

взаимодействие меняет поколения, приводя к потенциально большим эффектам нейтральных токов с изменениями аромата (FCNC),

таким как K 0 − K 0 -смешивание, μ→еγ и т.д., если массы сфермионов различных поколений оказываются близкими.

Обратимся снова к обсуждению суперпотенциала MSSM. Он состоит из двух частей:

W =W1 +W2 ,

(8.22)

где W = hijlc L

H

d

+ hijQ d c H

d

+ hijQ uc H

u

+ μH

u

H

d

. (8.23)

1

l

i

j

d

i j

u

i j

W

= λ

L L lc + λ′

L Q

d c + λ′′

ucd cd c ,

(8.24)

2

ijk

i j k

ijk

i

j

k

ijk

i

j k

где i, j, k – индексы поколений.

Заметим, что члены в W1 сохраняют барионное и лептонное числа, а в W2 – не сохраняют. W2 называют членом, нарушающим R-четность, которая определяется следующим образом

R = (−1)3(B−L)+2S ,

(8.25)

где В и L – барионное и лептонное число, S – спин частицы. Определение (8.25) для частиц стандартной модели дает R = +1, а для их суперпартнеров R = –1. Таким образом, для сохраняющих R-четность теорий суперпартнеры частиц стандартной модели всегда рождаются парами, а легчайший суперпартнер должен быть стабильной частицей (LSP). Если LSP окажется нейтральной частицей, то она может рассматриваться как кандидат на темную материю Вселенной.

Предположим, что некоторый механизм нарушения суперсимметрии обеспечивает расщепление скварков, слептонов от кварков и лептонов. Обычно SUSY-нарушение вводится тройными взаимодействиями среди сфермионов:

LSB = m	A l c L H			d	+ A Q H		d	d c +		+
		l,ab a b			d,ab a				b
3/2		+A	Q H U c							(8.26)
		u,ab a u			b
+Bμm3/2 Hu Hd		+	∑ μi2ϕi+ϕi + ∑			M a			λT C −1λa .
		i=скаляры			a 2

Как уже отмечалось, MSSM разрешает проблему массы хиггсбозона. Если её древесное значение выбрано порядка электросла-

282

	бого масштаба, то любые радиационные поправки	~		f	2	MSUSY2 .
			16π2

Выбирая масштаб нарушения SUSY в районе ТэВ’а, получаем, что во всех порядках теории возмущений масса бозона Хиггса остается стабильной.

Ограничения на масштаб нарушения SUSY дают возможность различить суперсимметричные и несуперсимметричные модели. Речь идет о массе легчайшего хиггс-бозона. Квадрат массы лег-

чайшего хиггс-бозона ~ g 2υ2weak . Если вакуумные средние двух хиггсовских дублетов Hu0 = υu и Hd0 = υd , то

mh2 =	g 2 + g′2	(υd2	− υu2 ).	(8.27)
4

Если ввести отношение υu = tan (β) , то выражение (8.27) перепи-

υd

шется в виде

m2	= M 2 cos(2β) ,	(8.28)
W	Z

т.е. на древесном уровне масса легчайшего хиггс-бозона меньше массы Z-бозона. Однако, с учетом радиационных поправок, mh

превышает M Z . В большом классе SUSY-моделей (не слишком

отличающихся от MSSM) масса легчайшего хиггс-бозона меньше

150 ГэВ.

Другое интересное свойство MSSM состоит в том, что электрослабая симметрия может нарушаться радиационными поправками. Во всех схемах мягкого нарушения SUSY посредством скрытого сектора, все скалярные поля получают вклады на масштабе нарушения SUSY, пропорциональные квадрату массы. Чтобы получить теорию на электрослабом масштабе, нужно с помощью ренормгруппы экстраполировать эти параметры. Характер экстраполяции зависит от интенсивности калибровочных и юкавских связей раз-

h2

личных полей. В частности, mH2 u ~ 16πf 2 , поскольку Hu связан с

t-кварком. Так как	h	f	≈1, то возможно m2	(M	Z	) < 0 , т.е. спон-
			Hu
			283

танное нарушение электрослабой симметрии. Приближенное решение уравнений ренорм-группы дает

mH2 u (M Z ) = mH2 u (ΛSUSY ) −	3h2m2			Λ2
	t	t	ln	SUSY	.	(8.29)
	16π	2		2
				M Z

Это очень привлекательное свойство суперсимметричных теорий.

8.3.4. Надо ли выходить за рамки MSSM?

Несмотря на то, что MSSM решает две основополагающие проблемы стандартной модели (стабилизация массы хиггсовского бозона и нарушение электрослабой симметрии), она содержит ряд нежелательных следствий:

1. присутствие произвольных связей λ, λ′, λ′′, нарушающих ба-

рионное и лептонное число. Действительно, комбинация λ′ и λ′′ приводит к распаду протона. Современные ограничения на время жизни протона подразумевают, что λ′λ′′ ≤10 ÷ 25 для массы скварка в районе ТэВа. Напомним, что очень привлекательной особенностью стандартной модели является сохранение барионных и лептонных чисел.

2. Различные матрицы смешивания в кварковом и скварковом секторах приводят к произвольной величине нарушения аромата, которое способно проявляться в разностях масс KL − KS и т.д.

Экспериментальная информация на эту тему показывает, что стандартная модель описывает эти процессы, а это означает наличие

m2

сильных ограничений на расщепление масс скварков: q ≤10−3 . mq2

Присутствие новых связей, включающих суперпартнеров, допускает существование дополнительных СР-фаз. В частности, присутствие фазы в массе глюино порождает большой электрический дипольный момент нейтрона, если только эта фаза не подавлена на 2÷3 порядка величины. В литературе это обстоятельство известно как SUSY CP-проблема. Чтобы разрешить эти проблемы, а также установить природу мягко нарушающих SUSY-членов, следует рассмотреть физику вне MSSM. Ниже будут рассмотрены два на-

284

правления новой физики: одно из них объясняет возникновение мягко нарушающих SUSY-членов, а второе автоматически приводит к сохранению B и L, а также решает SUSY-проблему CP.

8.3.5. Суперсимметричные лево-правые модели

Одной из привлекательных особенностей суперсимметричных моделей является их способность представить кандидатов на холодную скрытую массу Вселенной. Это утверждение есть следствие сохранения R-четности. Частицы стандартной модели имеют положительную R-четность, а их суперпартнеры – отрицательную. Поэтому легчайший суперпартнер абсолютно стабилен и может рассматриваться как кандидат на темную материю. В MSSM R- симметрия – неавтоматическая, она возникает в предположении о глобальном сохранении барионного и лептонного числа. Напомним, что в несуперсимметричной стандартной модели сохранение В и L возникает как следствие калибровочной симметрии и полевого содержания модели. Кроме того, замечено, что в присутствии непертурбативных гравитационных эффектов (таких? как черные и белые дыры) любая глобальная симметрия нарушается операторами, подавленными массой Планка. В этом случае эффекты нарушения R-четности становятся достаточно сильными, чтобы вызвать быстрый распад R-нечетного нейтралино. Таким образом, кандидатов на темную материю в минимальной суперсимметричной стандартной модели нет. Поэтому желательно поискать суперсимметричные теории, в которых, подобно стандартной модели, R- четность сохраняется (следовательно, сохраняются барионное и лептонное число), т.е. гарантируется полевым содержанием и калибровочной симметрией теории.

Такой теорией является суперсимметричная версия лево-правой модели, учитывающая «see-saw» механизм для массы нейтрино.

Калибровочная группа этой модели SU(2)L × SU(2)R × ×U(1)B–L×SU(3)с. Киральные суперполя и левые и правые кварковые суперполя обозначаются как Q ≡ (u, d) и Qс ≡ (dс, –uс). Аналогично лептонные суперполя L ≡ (ν, e) и Lc ≡ (ec, –νc). Q и L преобразуются как левые дублеты с определенными значениями (B–L), а Qc и Lc – как правые дублеты с противоположными значениями (B–

285

L). Симметрия нарушается за счет следующего набора хиггсовских

суперполей: φа (2, 2, 0, 1) (а = 1,2); (3, 1, +2, 1);		(3, 1, –2, 1); с
(–1, 3, –2, 1) и ~c (1, 3, +2, 1).

Существуют и альтернативные хиггсовские мультиплеты, призванные нарушать правую SU(2), причем этот способ нарушения

SU(2)R×U(1)B–L симметрии автоматически приводит к see-saw механизму генерации массы нейтрино.

Суперпотенциал этой теории содержит всего лишь несколько членов

W =Y (i)QT τ

2

Φ

τ

2

Qc +Y (i)LT τ

2

Φ

τ

2

Lc +

q

i

l

i

+i( fLT τ2 L + f c LCT τ2

c Lc )+ μ tr (

) + μ c tr ( c

c )+ (8.30)

+μijtr (τ2ΦTi τ2Φ j )+WNR ,

где опущен индекс поколений; WNR – обозначают неперенормируемые члены, возникающие за счет физики на больших энергетических масштабах (единых теорий или планковских эффектов). На

этом этапе все связи Yq(,il) , μij , μ , μ c , f , fc – комплексны; μij , f , fc – симметричные матрицы.

Тогда часть суперсимметричного действия, возникающая из

(8.30)

SW = ∫d 4 x∫d 2θW + ∫d 4 x∫d 2		W + .	(8.31)
	θ

Очевидно, что эта теория не содержит нарушающих B и L членов. Из-за сохранения B и L, сохраняется и R-четность. В результате эта SUSY LR модель допускает существование частиц темной материи, если вакуумное состояние обладает определенной R-четностью. Желаемое вакуумное состояние теории, которое нарушает чет-

ность, но сохраняет R-четность, соответствует

c = υR ≠ 0 ;

c ≠ 0 и νc = 0 . Тогда получаем калибровочную симметрию

стандартной модели, которая нарушается посредством ненулевых вакуумных средних полей φ. При этом масса нейтрино, вследствие

286

see-saw механизма, m	~	m2f	. Таким образом, подавление
	ν	f υR

(V+A)-токов при низких энергиях и малость нейтринных масс оказывается взаимосвязанными. Оказывается, что лево-правая симметрия подразумевает довольно широкие ограничения на основное состояние модели. В минимальной модели лево-правые симметрии в основном состоянии и калибровочная симметрия оказываются ненарушенными. Чтобы нарушить калибровочную симметрию, в теорию нужно ввести синглеты. Однако, если R-четность спонтанно не нарушена, то в основном состоянии нарушается электрический заряд. Более того, R-четность может быть спонтанно нарушена, если MWR ≤ нескольких ТэВ. Таким образом, перенормируемая

версия SUSY LR-модели с синглетами, B–L= ±2 триплетами и бидублетами может иметь сохраняющий электрический заряд только в том случае, когда масса WR находится в районе ТэВ’а, а R- четность спонтанно нарушена. Это утверждение, однако, можно обойти в минимальном расширении модели, содержащем дополни-

тельные суперполя δ (3, 1, 1, 0, 1), δ (1, 3, 1, 0, 1), или содержащем неперенормируемые члены. Такие дополнительные поля часто возникают в моделях, содержащихся в теориях Большого объединения.

Чтобы получить вакуум, сохраняющий R-четность (это необходимо, если мы хотим, чтобы LSP играла роль скрытой массы) без введения дополнительных полей, следует добавить неперенормируемые члены. В этом случае дважды заряженные хиггсовские бозоны и хиггсино становятся очень легкими, если масса WR превышает значения 1010 ГэВ. Это означает, что масса нейтрино должна быть порядка нескольких электронвольт. Именно такие массы нейтрино достаточны для того, чтобы они играли роль горячей темной материи. Таким образом, в SUSY LR-модели возникает интересная взаимосвязь между холодной и горячей скрытой массой.

Эта модель решает две другие проблемы MSSM: 1) SUSY CP- нарушения, 2) сильного СР-нарушения, если масштаб WR невелик. Чтобы увидеть, как это происходит, определим изменения полей при преобразованиях лево-правой симметрии

287

	Q ↔ Q*c ; L ↔ Lc*;Φi ↔ Φi+;
	↔ c+;			↔			c+;θ ↔			;	(8.32)
									θ
W	↔W *	;	W		B−L,SU (3)c			↔W *			.
SU (2)L	SU (2)R									B−L,SU (3)c

Заметим, что эти преобразования соответствуют QL ↔ QR и т.д. Чтобы исследовать, как преобразования (8.32) влияют на параметры теории, запишем наиболее общие «мягкие» суперсимметричные члены, допускаемые симметрией модели

Lsoft = ∫d 4θ∑mi2ϕi+ϕi + ∫d 2θθ2 ∑ AiWi + ∫d 2θθ2 ∑ Ai*Wi* +

i	i			i	(8.33)
+∫d 2θθ2 ∑mλρWρWρ + ∫d 2			2 ∑mλ*	ρWρ*Wρ*.
		θθ
	ρ		ρ

В этом выражении Wρ обозначает калибровочно-ковариантное ки-

ральное суперполе, которое содержит Fμν члены с индексами, относящимися к калибровочной группе теории. Wi обозначает различные члены в суперпотенциале, причем все суперполя заменены их скалярными компонентами и матрицами связей, которые не идентичны входящим в W. Соотношение (8.33) – наиболее общий вид мягко нарушающих SUSY-членов этой модели.

С определением (8.32) LR-симметрии

Y (i) =Y (i)+;μ

ij

= μ*

;μ = μ* c ;

f = f *; m

λSU (2)L

= m*

;

q,l

q,l

ij

c

λSU (2)R

(8.34)

m

= m*

;

A = A+.

λB−L,SU (3)c

λB−L,SU (3)c

i

i

Заметим, что фаза массового члена глюино равна нулю вследствие ограничения четности. В результате однопетлевой вклад в электрический дипольный момент нейтрона от этого источника в низшем порядке обращается в ноль. Петлевые же поправки, возникающие после нарушения лево-правой симметрии, оказываются малыми, разрешая тем самым SUSY CP проблему. Более того, ограничения лево-правой симметрии подразумевают, что юкавские матрицы связей эрмитовы, поэтому если вакуумные средние ϕ полей ве-

щественны, то θ-параметр КХД на древесном уровне обращается в ноль, обеспечивая тем самым разрешение проблемы сильного

288

СР-нарушения. При этом для того, чтобы θ был порядка 10–9, масса WR должна быть порядка ТэВа. Такого типа модели предсказывают электрический дипольный момент нейтрона на уровне 10–26 е. см. Этот уровень может быть достигнут в следующих поколениях измерений.

8.3.6. Объединение констант связи

Вскоре после открытия стандартной модели стало очевидным, что включение этой модели в более общие локальные симметрии ведет к двум очевидным преимуществам: а) высшие симметрии способны обеспечить кварк-лептонное объединение; б) эти симметрии ведут к описанию различных сил в терминах одной калибровочной константы. Насколько важно объединение калибровочных констант, было показано в работе Georgi, Quinn, Weinberg. Они использовали известный факт: константы связи теории зависят от массового масштаба. Ими было показано, что калибровочные константы могут объединяться на масштабе ~1015 ГэВ. Хотя этот масштаб и находится слишком далеко от возможностей современных ускорителей, объединение способно проявлять себя в барионной нестабильности (распад протона). Это наблюдение стимулировало целое поколение экспериментов по поиску распада протона. В минимальной модели большого объединения, основанной на группе SU(5), время жизни протона теоретически предсказывалось в интервале 2.5 1028 лет < τp < 1.6 1030 лет. Экспериментальные данные исключили этот интервал τp, исключив тем самым минимальную несуперсимметричную SU(5) модель. Кроме того, минимальная несуперсимметричная SU(5) модель предсказывает гораздо

меньшее значение sin2 θW , чем наблюдается экспериментально.

Возрождение интереса к идее большого объединения возникло в середине 1980-х годов, когда идеи SUSY стали частью феноменологии элементарных частиц. Прежде всего, было осознано, что большая иерархия между электрослабым масштабом и масштабом большого объединения возможна только в суперсимметричной

схеме. Во-вторых, чтобы совместить измеряемое значение sin2 θW

289

со значениями αs и α, в эволюции констант, следует учесть суперпартнеров.

Нужно иметь в виду, что суперсимметрия – не единственная физическая теория вне стандартной модели, которая приводит к объе-

динению констант и согласуется с измеряемым значением sin2 θW .

Если нейтрино имеют массы в диапазоне микро и миллиэлектронвольт, то see-saw механизм дает

mνi ≈	m2
	ui
	M B−L	(8.35)

и подразумевает, что MB–L масштаб составляет порядка 1011 ГэВ. Еще в начале 1980-х годов было показано, что объединение констант возможно и в отсутствии суперсимметрии, если предположить, что на масштабах, больших MB–L, группа калибровочной

симметрии SU (2)L × SU (2)R ×U (1)B−L × SU (3)c или SU (2)L ×

×SU (2)R × SU (4)c .

8.3.7. Объединение калибровочных констант

При описании объединения калибровочных констант используют метод ренорм-группы. Предположим, что мы хотим описать эволюцию констант связи между масштабом М1 и М2 (т.е. М1 < μ < < М2), соответствующим двум масштабам физики. Уравнение ре- норм-группы зависит от вида калибровочной симметрии и полевого содержания теории при μ = М1. Однопетлевые уравнения эволю-

ции для калибровочных констант (определим αi ≡ gi2 ) выглядят

4π

следующим образом

	dαi	=	1	b α2	,	(8.36)
	dt		2π
				i i

где t = ln(μ). Коэффициент bi содержит вклады от калибровочной части и полей материи, содержащих хиггсовский вклад.

В общем случае

bi = −3C2 (R) +T (R1 )d (R2 ) ,	(8.37)
290