Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

Отметим, что hd и hl возникают из-за TFH связи и поэтому удовлетворяют условию hd = hl. Аналогично, hu возникает вследст-

вие ТТН связи и поэтому удовлетворяет условию hu = huT . Эти ог-

раничения присутствуют и в MSSM. Соотношение между юкавскими связями справедливы для каждого поколения, но на этом пути возникают нежелательные соотношения между массами фер-

мионов, например, md = me . Это соотношение не зависит от мас- ms mμ

совой шкалы, т.е. справедливо на электрослабом масштабе. Однако оно отличается от экспериментально наблюдаемого соотношения примерно в 15 раз. В этом состоит основная трудность минимальной SU(5) модели. Эта проблема не является фундаментальной для идеи Большого объединения, она связана лишь с конкретной реализацией этой модели. Действительно, включая дополнительные мультиплеты, например, 45-плет, можно избежать этой проблемы. Другой способ – добавить в теорию операторы высших размерно-

стей, типа TFϕH , которые могут быть порядка 0.1 ГэВ и которые

M pl

могли бы фиксировать предсказание массы мюона в SU(5). Присутствие, как кварков, так и лептонов в одном мультиплете

SU(5) приводит к распаду протона. В несуперсимметричной SU(5) существуют два класса фейнмановских диаграмм, соответствующих распаду протона:

а) путем обмена калибровочными бозонами не-SUSY SU(5), в которых генерируются операторы вида: е+†udc†u;

в) путем обмена хиггсовскими полями.

В суперсимметричной теории есть дополнительный источник распада протона путем обмена хиггсино, когда операторы QQH и

QLH посредством HH смешивания генерируют эффективный

оператор QQQL/MH.

Диаграмма с обменом калибровочным бозоном приводит к рас-

	+	0						4παU
	паду p→e	π	с амплитудой M		+		0 =		. Это дает оценку
				p→e		π		MU2

времени жизни протона

301

τp ≈ 4.5 10	29±0.7			MU			4
							.	(8.81)
				1014
		2.1			ГэВ

Для MU =2.1 1016 ГэВ получаем τр = 4.5 1037±0.7 лет. В настоящее время достигнут экспериментальный предел в 1034 лет.

Обращаясь к диаграммам с обменом хиггсино, получаем амплитуду

		h h		m	q2
	M ≈	u d		калиб.		.	(8.82)
		M H		16π2MQ2

В этой формуле содержится подавление одной тяжелой массой. Есть и другие факторы подавления, но они не столь эффективны, как в случае обмена калибровочным бозоном. Другой аспект этого процесса состоит в том, что конечным состоянием оказывается

νK + , а не е+π0. Это становится очевидным, если рассмотреть эффективный оператор, который возникает вследствие обмена цвето-

выми триплетными полями в 5 + 5 : O B=1 = QQQL, где Q и L –

суперполя, т.е. бозонные операторы. В терминах изоспиновых и цветных компонент они выглядят как εijkui uj dk e- или εijkui dj dk ν.

Очевидно, если два u и d в этих выражениях относятся к различным поколениям, то эти операторы, в силу цветовой антисимметрии, обращаются в ноль.

Имеется несколько весьма привлекательных черт группы SU(5) как группы Большого объединения. Эта модель имеет очень мало параметров, т.е. она весьма предсказательна. Действительно, она выгодно отличается от MSSM, у которой более сотни параметров. SUSY SU(5) содержит пять параметров: А, В, m3/2 – характеризуют эффекты супергравитации; параметр μ связан с Hu Hd смешиванием в суперпотенциале и m3/2 – универсальная масса калибрино. Это уменьшение числа параметров имеет следующие применения:

1. Объединение калибрино.

На масштабе GUT три калибрино имеют одинаковые массы ( mλ1 = mλ2 = mλ3 ). Их массы на электрослабом масштабе можно

получить, используя соотношение ренорм-группы

302

d	m	=	bi	α m		.	(8.83)
dt	λi		2π	i	λi

Решая эти уравнения, находим на электрослабом масштабе

mλ : mλ	2	: mλ	3	= α1 : α2 : α3 .	(8.84)
1

Таким образом, возможное открытие калибрино может служить проверкой этой формулы, а также SU(5) Большого объединения.

2. Предсказание масс скварков и слептонов.

На масштабе нарушения SUSY все скалярные массы в схеме супергравитации одинаковы. Как и ранее, их значения на электрослабом масштабе определяются ренорм-групповым анализом:

m2

= m2

+ m2

+

αU

8

f

3

+

3

f

2

+

f1

m2

ν

+ QZ M 2 cos2 2β, (8.85)

Q

3/2

Q

2

30

λ

Q

Z

4π 3

t (2

−b t)3

1

2

1

1

где QZ

=

−

sin2

θ

и

QZ = −

+

sin2 θ ,

f

k

=

k

, bk –

2

3

2

3

1−b t2

u

W

d

W

k

коэффициенты, возникающие в ренорм-групповом подходе. Соотношение (8.85) приближенно дает mQ2 = m3/22 + mλ2υ + 4mλ2ν . Это соотношение служит независимым тестом SUSY SU(5).

Проблемы и направления развития SUSY SU(5)

Как уже отмечалось выше, SUSY SU(5) весьма привлекательна с точки зрения простоты, однако она содержит целый ряд серьезных проблем:

А. нарушение R-четности.

В суперпотенциале содержатся перенормируемые члены, нарушающие барионное и лептонное число:

W ′ = λabcTa Fb Fc .					(8.86)

Если записать это слагаемое через компоненты полей, то возникнут члены, нарушающие R-четность MSSM. Это члены типа

La Lbecc , QLd c , а также ucd cd c и т.д. Новая особенность, возни-

кающая в схеме Большого объединения, состоит в том, что существует только один параметр связи, описывающий все три типа членов, т.е. константа связи λ удовлетворяет условию антисимметрии по индексам двух поколений b, c. Таким образом, полное число па-

303

раметров, нарушающих R-четность, равно 9 вместо 45 в MSSM. SUSY SU(5) не приводит к существованию легчайшей суперсимметричной частицы, которая оказывается стабильной и могла бы рассматриваться в качестве кандидата на холодную скрытую массу. Как мы увидим ниже, SO(10) модель дает решение этой проблемы.

Б. Проблема дублетно-триплетного расщепления.

Как мы видели выше, для генерации легких дублетов MSSM необходима «точная подгонка» двух параметров 3/2λb и М в суперпотенциале. Однако, если нарушение SUSY осуществляется посредством введения скрытого сектора, то SUSY-нарушающий лагранжиан имеет вид

LSB = AλH		ΦH + BMHH + h.c.,			(8.87)

где символы соответствуют скалярным компонентам суперполей. В сценарии супергравитации А≠В. В результате, если массы хиггсино удерживается на электрослабом масштабе, то эта настройка не оставляет скалярные дублеты на электрослабом масштабе.

Известны два способа устранения этой проблемы.

1) Использование синглетного поля S и выбор суперпотенциал в

виде
W T = 2H		ΦH + SHH .			(8.88)
Суперсимметричный минимум теории соответствует
FH = Hu (−3b + S ) = 0 .					(8.89)

Условие <S>=3b отвечает легким дублетам, т.е. дублеты естественным образом остаются на электрослабом масштабе, и нет необходимости в «точной настройке». В этом случае нарушение суперсимметрии на древесном уровне проявляется в безмассовости MSSM дублетов как для фермионных, так и для бозонных компонент.

2) Механизм, который действует эффективнее, чем первый, называют механизмом «исчезнувшего» партнера. Можно выбрать в качестве нарушающего GUT симметрию мультиплет, имеющий

такую связь с Н и H другими мультиплетами, что при нарушении SU(5) симметрии, только дублеты оказываются легкими.

3) Проблема бариогенезиса.

Есть и другие проблемы, связанные с SUSY SU(5) моделью. Одна из них – проблема барионной асимметрии Вселенной. Если ба-

304

рионная асимметрия модели генерируется на масштабе GUT, то должна генерироваться и лептонная асимметрия, чтобы сохранялась разность B–L. В результате оказывается возможным записать

nB = 12 nB−L + 12 nB+L = 12 nB+L . Проблема в том, что сфалеронные

взаимодействия, находящиеся в равновесии для 102 ГэВ < T < < 1012 ГэВ, будут «корректировать» nB+L, поскольку они нарушают (B+L)-число. Таким образом, барионная асимметрия на масштабе GUT не «выживает» на электрослабом масштабе. Наконец, в SU(5) модели отсутствует естественный механизм генерации масс нейтрино, хотя и существуют модели, использующие нарушающие R- четность взаимодействия.

8.3.12. Суперсимметричная SO(10)

Эта модель Большого Объединения имеет целый ряд преимуществ по сравнению с SU(5). Например, все фермионы попадают в одно спинорное представление SO(10); спинор SO(10), является 16мерным, содержит правые нейтрино, а именно это необходимо для генерации масс нейтрино. Калибровочная группа SO(10) – лево- право-симметричная, т.е. в её рамках разрешается проблема СР- нарушения SUSY-моделях. Остановимся более подробно на свойствах группы SO(10).

Группа SO(2N) определяется алгеброй Клиффорда из 2N элементов Γa , которые удовлетворяют следующим антикоммутационным соотношениям

[Γa ,Γb ]+ = 2δab ,

(8.90)

где a, b изменяются от 1 до 2N. Генераторы группы SO(2N) задаются следующим образом:

Σab =[Γa ,Γb ]− .

(8.91)

Изучение спинорных представлений SO(2N) значительно упрощается, если использовать SU(N) базис SO(2N).

Для обсуждения SU(N) базиса введем N антикоммутирующих операторов χi и χi+ , удовлетворяющих антикоммутационным соотношениям

305

χ	, χ+	= δ	ij	.	(8.92)
i	i +

Тогда оказывается возможным выразить элементы алгебры Клиффорда Γa в терминах фермионных операторов

Γ2i−1 =

χ

− χ+

;

Γ2i =

χ

+ χ+

(8.93)

i

2i

i

i

i .

2i

Спинорные представления группы SO(10) возникают следующим

образом:

χ+j

0

χ+j χk+χl+

ψ =

0

.

(8.94)

+

+

+

+ +

χ j

χi

χl

χmχn

0

Очевидно, что это и есть 16-мерное представление. Состояния 16мерного спинора имеют правильные квантовые числа, чтобы включать в себя фермионы одного поколения. Различные состояния частиц идентифицируются следующим образом

e− = χ4+

0 ; dic = χi+

0 ;

0 и т.д.

(8.95)

u

i

= χ+χ+χ

5

0 ;

e+ = χ+

χ+χ+

2

3

1

2

3

Другие представления, такие,

как 10, задаются с помощью

Γa , а

45-плет – [Γa ,Γb ]

и т.д. Иначе говоря, они обозначаются вектора-

ми с полностью антисимметричными индексами.

Тензорные представления, необходимые для нашего обсужде-

ния: 10 ≡ На; 45 ≡ Аab ; 120 ≡ Λabc ; 210 ≡ Σabcd ; 126 ≡ abcde (все ин-

дексы полностью антисимметричны). Нам понадобится для записи юкавских связей типа ψψН (Н ≡ 10) оператор зарядового сопряжения. Он задается в виде C = ∏Γ2i−1 , i = 1,…, 5. Генераторы груп-

i

пы SU(ni) и SU(2)L×SU(2)R можно записать в терминах χ. Поскольку группа SU(4) изоморфна SO(6), то генераторы SU(4) будут включать только и их эрмитово сопряженные для i = 1, 2, 3, в то время как SU(2)L×SU(2)R содержит только χр (и их эрмитово со-

пряженные) для р = 4,5. SU(2)L генераторы: IL+ = χ+4 χ5 , а IL− и I3,L можно найти с помощью IL+ . Аналогично, IR+ = χ5+χ+4 , а другие ге-

306

нераторы определяются					с помощью	IR+ . Например,		I3,R =
=	1	[I+R − I−R ] . Кроме того, операторы
	2
			1			1
		B − L = −		∑χi+χi	+ ∑χ+pχp ; Q =		∑χi+χi − χ4+χ4.	(8.96)
						3
		3		i	p		i

Заметим, что это лишь один из способов представления свойств группы SO(2N). Преимущество спинорного базиса состоит в том, что вычисления требуют лишь манипуляций с антикоммутационными соотношениями для χi . Например, пусть нам нужно оценить

массы up и down–кварков, индуцируемые на электрослабом масштабе взаимодействием с 10-плетом хиггсов. Иначе говоря, необходимо оценить оператор ψСГаψНа. Чтобы обнаружить, какие компоненты Н соответствуют электрослабым дублетам, заметим,

что SO(10)→SO(6)×SO(4). Обозначим через а = 1,…, 6 SO(6) ин-

дексы, а через р = 7,…, 10 – индексы SO(4). Группа SO(6) изоморфна группе SU(4), а SO(4) – изоморфна группе SU(2)L SU(2)R. Чтобы оценить матричный элемент приведенного выше оператора, необходимо придать ненулевые вакуумные средние Н9,10, поскольку все другие элементы имеют электрический заряд. Действительно, это можно увидеть в SU(5) базисе, где χ5 соответствует нейтрино с нулевым зарядом, а все другие χ, имеют ненулевой электрический заряд. Таким образом, нужно оценить матричный элемент типа

0 χ1ΓgCχ+2 χ3+χ+4 0 . В этом матричном элементе только члены χ5,

содержащиеся в Γg , а также χ2χ3χ4 и χ1+χ5+ , определяют его ве-

личину.

Обсудим теперь нарушение SO(10) до группы симметрии стандартной модели. SO(10) содержит максимальные подгруппы

SU(5)×U(1) и SU(4)c×SU(2)L×SU(2)R×Z2, где Z2 – группа, соответст-

вующая зарядовому сопряжению. Группа же SU(4)c содержит под-

группу SU(3)c×U(1)B–L.

Прежде чем обращаться к нарушению симметрии, обсудим Z2 подгруппу и её приложения.

307

Дискретную подгруппу Z2 часто называют в литературе D- четностью. Относительно преобразований D-четности, u → uc, e → ec и т.д. Вообще говоря, симметрия D-четности и SU(2)R симметрии могут быть нарушены отдельно друг от друга. Это имеет несколько интересных физических приложений. Например, если D-четность нарушается на масштабе (MP), большем, чем (MR) SU(2)R, то спектр хиггсовского бозона получается асимметричным, и две калибровочных константы эволюционируют по-разному. На масштабе MR gL ≠ gR. SO(10) оператор, который включает операцию D-четности,

имеет вид D ≡ Г2Г3Г6Г7. Присутствие группы D-четности на масштабах, ниже масштаба GUT, может привести к образованию доменных стенок, ограниченных струнами. Это утверждение имеет катастрофические космологические последствия, если MР = MR. Однако эту проблему удается избежать, если MР > MR.

Таким образом, существует много способов нарушения SO(10) до группы симметрии стандартной модели. Ниже рассмотрим несколько интересных цепочек нарушения, а также SO(10) мультиплеты, чьи вакуумные средние приводят к нарушению.

А) SO(10) → SU(5) → GСтандартной Модели

Хиггсовский мультиплет, «ответственный» за нарушение на первом шаге – 16-мерный мультиплет (обозначим его через ψН), который содержит поле с квантовым числом νс, является SU(5) синглетом, но с ненулевым значением B–L. Второй шаг нарушения осуществляется за счет

16H →1−5 +10−1 +		+3 .	(8.97)
	5

Нарушение SU(5) до группы симметрии стандартной модели осуществляется за счет 45-мерного мультиплета, содержащего 24мерное представление SU(5). Это представление содержит синглет группы симметрии стандартной модели. В матричном обозначении, можно записать нарушение за счет 45-плета в виде <A> = iτ2 diag(a, a, a, b, b), где а ≠ 0, b – может быть как отличным от нуля, так и равным нулю.

Вторая физически интересная цепочка нарушений:

В) SO(10) → G2 2 4D → GСтандартной Модели .

308

В этой цепочке обозначено													G224D =						SU(2)L×SU(2)R×U(4)c×Z2.
Нарушение происходит за счет хиггсовского мультиплета
																	′			(2,2,6) .					(8.98)
54 = (1,1,1) + (3,3,1) + (1,1,20 ) +
Вторая стадия нарушения G224D до GСтандартной Модели осуществляется
двумя способами,				приводящими										к		совершенно						разной			физике:
1) 16 +
	16 , 2) 126 + 126 .
Приведем разложение G224D на 16 и 126:
				16 =					(			)	+	(				)
										2,1,4				1,2,			4		;						(8.99)
126 =			(	3,1,10			)	+ 1,3,					)	+	(	2,2,15				)	+ 1,1,6		)	.
											10
									(												(
В матричном обозначении
<54> = diag(2a, 2a, 2a, 2a, 2a, 2a, –3a, –3a, –3a, –3a).																									(8.100)

Для мультиплета 126 возникает компонента с ненулевым вакуумным средним.

Важно отметить, что если суперсимметрия проявляет себя до электрослабого масштаба, то следует рассматривать хиггсовские

бозоны, которые парами (например, 16 + 16) уменьшают ранг группы.

С) SO(10) → G2231 → GСтандартной Модели .

Это нарушение происходит за счет комбинации 54 и 45 – мерных хиггсовских представлений. Отметим отсутствие Z2 симметрии после первого нарушения симметрии. Действительно, (1, 1, 15) (относительно G224D ) мультиплет, нарушающий SO(10) симметрию,

нечетен относительно преобразований D – четности. Второй этап нарушения – точно такой же, как в случае (В).

D) SO(10) → G2 2 4 → GСтандартной Модели .

На втором этапе нарушения отсутствует D – четность. Действительно, хиггсовский мультиплет 210 разлагается относительно G2 2 4 следующим образом:

210 = (1,1,15) + (1,1,1) + (2,2,10) +

(8.101)

+(2,2, 10) + (1,3,15) + (3,1,15) + (2,2,6).

Компонента, которая приобретает ненулевое вакуумное среднее –

∑ 78910 .

309

Обратимся теперь к обсуждению масс фермионов. Как обычно, в калибровочных теориях, они возникают из юкавских связей после спонтанного нарушения симметрии. Чтобы определить юкавские связи, заметим, что имеет место разложение 16×16=10+120+126. Поэтому калибровочно-инвариантные связи имеют вид:

16.16.10 ≡ ΨT C−1ГaΨHa ; 16.16.120 ≡ ΨГaГbГcΨΛabc

(8.102)

и 16.16.126 ≡ ΨГaГbГcГd ГeΨΔabcde.

В этих выражениях опущены индексы поколений. Трактуя юкавские связи как матрицы в пространстве поколений, получаем сле-

дующие		их симметричные свойства: h	= hT	,	h	= −hT	и
		10	10		120	120
h	= hT	, где индексы обозначают юкавские связи спиноров с
126	126

соответствующими хиггсовскими полями.

Чтобы после электрослабого нарушения симметрии фермионы приобрели массы, нужно придать ненулевые вакуумные средние

компонентам полей в различных случаях:	H9,10	≠ 0, Λ789,7810 ≠ 0
или Λ129 = Λ349 = Λ569 ≠ 0 . Аналогично	12789 =	34789 = 56789 ≠ 0
и т.д.
SO(10) модель подразумевает несколько важных ограничений на
фермионные массы:

а) если имеется только один хиггсовский 10-плет, «ответствен-

ный» за формирование масс, то только при	H10 ≠ 0 имеет место
соотношение Mu = M d = M e = M νD , где M F	(F = u, d,…) обозна-
чает массовую матрицу фермиона F – типа.
б) если имеются два 10-плета, то M d = M e	и Mu = MνD .

в) если фермионные массы формируются 126-плетом, то имеется массовое соотношение, следующее из SU(4) –симметрии: 3M d = −M e и 3Mu = −MνD .

Очевидно, если имеется только 10-плет, генерирующий массы фермионов, то возникают плохие массовые соотношения для первых двух поколений. С другой стороны, получается достаточно хорошее соотношение между массами b и τ. Один из путей улучшения ситуации – учесть вклады от 126-плета, который осуществляет

310