Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

могли сохраниться. В SU(5)-модели с минимальным набором частиц время жизни протона τp 1029 лет. Как можно ожидать, при

энергиях M x , кварки способны преобразовываться в лептоны

путём обмена X и Y-бозонами. Однако и при имеющихся в настоящее время энергиях возможен обмен виртуальными X и Y- бозонами. Очевидно, что такие обмены подавлены за счёт больших масс в пропагаторах X и Y-бозонов. Диаграммы, приводящие к распаду протона в объединённой SU(5) теории, представлены на рис. 8.1.

Рис. 8.1

Аналогично распаду мюона (μ → eνeνμ ) , можно ожидать для времени жизни протона

		AM 4
τp → e+π0	=		x	.	(8.10)
		αGUT2
			M 5p

В этом выражении безразмерная величина А~1 характеризует вероятность нахождения двух кварков в начале координат. Только тогда очень короткодействующий X-бозон способен осуществить пе-

реход ud → e+u . Фактор M x4 возникает за счёт пропагатора X- бозона, а фактор 1/ M 2p обеспечивает правильную размерность

271

	времени жизни. Если M x = 3 1014 ГэВ, αGUT		1	, A 1, то
		100

τp 4 1029 лет.

Интересно отметить, что в процессе распада протона p → e+π0

не сохраняется ни барионное число B, ни лептонное число L, однако разность B–L сохраняется.

Современные экспериментальные данные (с установки Super Kamiokande) дают ограничение на время жизни протона τp >1034

лет, и это исключает простейшую версию SU(5) как группы Большого объединения. Необходимо, однако, отметить, что в SU(5)- модели с дополнительными хиггсовскими бозонами время жизни

протона τp >1034 лет.

8.2. Масштаб объединения

Поскольку в SU(5)-модели кварки и лептоны находятся в одних мультиплетах, можно оценить слабый угол смешивания. Действи-

тельно, константы g и g’, определяющие tg θW = gg' должны быть

		связаны на масштабах Большого объеди-
		нения коэффициентами Клебша-Гордона.
		Рассмотрим диаграмму (рис. 8.2), характе-
	Рис. 8.2	ризующую смешивание Z0 и γ через фер-
		мионную	петлю (аналогично K 0 − K 0
		смешиванию).
	Поскольку Z0 и γ являются		ортогональными состояниями

Z0 γ = 0 , то после суммирования по всем фермионам в петле

(лептонам и кваркам), полная константа связи в переходе Z0 → γ должна равняться нулю. Константа связи фермионов с Z0 пропор-

циональна (I3 −Qsin2 θW ) , а константа связи с фотоном ~ Q. Для квинтета частиц в SU(5) квантовые числа (табл. 8.1).

272

		Таблица 8.1
	I3	Q
νe	1/2	0
e–	–1/2	–1
dR	0	1/3
dB	0	1/3
dG	0	1/3

Так как полная константа связи, просуммированная по всем

фермионам в петле, должна обращаться в ноль, то
∑Q(I3 −Qsin2 θW ) = 0 .					(8.11)
Отсюда	= ∑QI3
sin2 θ		=	3	.	(8.12)
W	∑Q2	8

Тот же результат получается, если суммирование провести по частицам из SU(5)-дублета. Поэтому на масштабах объединения

e2 = g 2 sin θ	=	3	g 2 .	(8.13)
W		8

Заметим, что величина sin2 θW в выражении (8.12) гораздо больше, чем наблюдаемое сейчас значение sin2 θW , однако противоречия нет, поскольку (8.12) относится к величине g′/ g в точке объединения M x 1015 ГэВ. Если обозначить через α1, α2 , α3 константы связи групп U(1), SU(2) и SU(3), то на масштабах M x :

α1(M x ) = α2 (M x ) = α3 (M x ) = αGUT .

(8.14)

В приближении лидирующих логарифмов константы связи ведут себя следующим образом:

α(q2 ) =		α(μ2 )		,	(8.15)
		+ Rα(μ2 )ln(q2
1			/ μ2 )
		273

где R = −β0 =11nb − 4n f /(12π), nb = 0 , 2 и 3 для групп U(1), SU(2) и SU(3), число фермионных поколений n f = 3 . Когда в 70-х годах прошлого века впервые экстраполировали примерные величины

	α	s	, α	em	и sin2 θ на большие энергии, то оказалось, что α , α				2	и
					W	1
	α3		пересекаются в одной точке M x ≈ 3 1014			ГэВ и αGUT	≈		1		.
								43

Этот результат казался очень красивым и в значительной степени стимулировал эксперименты по поиску распада протона. Однако

более поздние и более точные измерения sin2 θW и αs на масштабах μ = M z показали, что функции α1, α2 , α3 не пересекаются в 1 точке (рис. 8.3)

Рис. 8.3

Если масштаб объединения определяется пересечением α1−1 и α3−1 , то, экстраполируя sin2 θW к имеющимся энергиям, получаем sin2 θW = 0.214 ± 0.004 , что значительно меньше измеренного зна-

чения sin2 θW = 0.2313 ± 0.003 .

Интересная возможность Большого объединения имеется в суперсимметричной версии SU(5) – модели. Включение новых степе-

ней свободы изменяет коэффициент при ln q2 / μ2 , т.е. в этом случае

274

R = RSUSY	=	9nb − 6n f	.	(8.16)
		12π

В результатае масштаб объединения возрастает и, что замечатель-

	но, функции α−1	,	α−1	и	α−1		пересекаются в одной точке при
	1		2		3
	MGUT = 3 1016 ГэВ и αGUT					1	, как показано на рис. 8.4
					24

Рис. 8.4

Подводя итоги рассмотрения группы SU(5) как кандидата на группу Большего объединения, можно отметить следующие её достоинства:

А. Кварки несут дробный электрический заряд, поскольку в одном мультиплете с лептонами они имеют три цветовых заряда, а

электрон – бесцветен, и для частиц мультиплета ∑Qi = 0 ; элек-

i

трический заряд – изначально генератор группы U(1) становится генератором неабелевой группы SU(5).

Коммутационные соотношения среди генераторов группы SU(5) допускают лишь дискретные значения электрического заряда, т.е. квантование электрического заряда есть следствие Большого объединения.

Б. Подобие между лептонными и кварковыми дублетами, проявляется в слабых взаимодействиях, например, (νl ,l)L и (u,dc )L , и соотношение Q(ν) −Q(l) = Q(u) −Q(d) является естественным следствием лептон-кварковой симметрии.

275

Однако, как уже отмечалось выше, SU(5) в её простейшем варианте предсказывает “слишком малые” времена жизни протона, уже отвергнутые современным экспериментом. Поэтому вполне правомерен поиск других групп симметрии Большого объединения.

Группа SO(10) – группа ортогональных вращений в 10-мерном пространстве. В этой группе векторные частицы принадлежат 45плету, а фермионы относятся к спинорному представлению. SO(10) – спинор имеет 16 компонент. Помимо 15 фермионов SU(5)- модели, имеется 16-й фермион – левое антинейтрино. Очевидно, что группа SU(5) является подгруппой группы SO(10), а 16-плет

фермионов состоит из трёх SU(5)-мультиплетов: 16 =10 + 5 +1. Группа SO(10) нарушена, и цепочка спонтанных нарушений вы-

глядит следующим образом:

SO(10)→SU(5)→SU(3)×SU(2)×U(1)→SU(3)×U(1). (8.17)

Возможна и другая последовательность нарушений. Как и в случае SU(5), SO(10) модель в своём простейшем варианте предсказывает

для времени жизни протона τp 1029 лет, и, следовательно, проти-

воречит эксперименту. Интересно, что кроме распада протона, SO(10)-модель даёт предсказания для другого процесса с несохранением барионного числа ( B ≠ 0). Это вакуумный переход ней-

трона в антинейтрон, аналогичный осцилляциям K 0 − K 0 , но гораздо более медленный. Кроме того, в SO(10)-модели возникает отличная от нуля масса нейтрино. Действительно, фермионный 16плет содержит как правые, так и левые нейтринные состояния.

Как известно, существуют четыре серии регулярных групп Ли и соответствующих им алгебр:

Al = SU (l +1), Bl = SO(2l +1), Cl = Sp(8.2l), Dl = SO(2l), (8.18)

где l – ранг группы. Однако имеется ещё пять исключительных групп, ранг которых фиксирован: G2, F4, E6, E7, E8 (нижний индекс соответствует рангу). Среди кандидатов на группу Большого объединения рассматриваются группы E6, E7, E8.

Группа E6 содержит SO(10) как подгруппу. Группа E6 имеет 78 калибровочных бозонов, а фермионы образуют 27-плет. Следует отметить две альтернативных E6-модели. В первой E6-модели име-

276

ется несколько фермионных 27-плетов, каждый из которых имеет следующий SO(10) состав: 27=16+10+1. Поэтому, кроме 16-ти известных фермионных состояний, каждое поколение имеет ещё 11 состояний: синглетный кварк с Q = –1/3, синглетный майорановский лептон N0 и дублет лептонов L+, L0. Предполагается, что все они сверхтяжёлые. В другой версии E6-модели все известные фермионы, плюс несколько дополнительных частиц, входят в 27-плет, который содержит 2 кварка с Q = 2/3(u, c), 4 кварка с Q = (–1/3)(d, s,

b, h), 4 лептона с Q = –1(e, μ, τ, λ) и 5 лептонов с Q = 0 (νe , νμ , ντ , νλ ,

νρ). Таким образом, E6 -модель предсказывает существование четырёх до сих пор необнаруженных частиц. Однако среди них нет t-кварка. Кроме того, в этой модели имеются нейтральные токи, изменяющие аромат кварков. В модели основанной на группе E7, сдержится 133 векторных бозона, фермионы относятся к 56-плету, включающему 6 цветных кварков, 6 цветных антикварков, 10 лептонов (8.4 заряженных и 6 нейтральных) и 10 антилептонов. К сожалению, в этой модели sin2θW оказывается вдвое больше измеряемой величины.

Модель, основанная на группе E8 – слишком широкая, в ней 248 фермионов и 248 калибровочных бозонов, а число скалярных частиц превышает тысячу.

8.3. Суперсимметричное Большое объединение

8.3.1. Введение

Одной из фундаментальных симметрий природы, широко обсуждаемой в течение последних 30–40 лет, является симметрия между бозонами и фермионами – суперсимметрия (см. главу 7). Помимо объединения различных форм материи, идея суперсимметрии позволяет разрешить две концептуальные проблемы стандартной модели – происхождение электрослабого масштаба и его стабильности относительно квантовых поправок. По-видимому, теория частиц и их взаимодействий, так или иначе, должна включать суперсимметрию.

Поскольку суперсимметрия преобразует бозон в фермион и наоборот, неприводимое представление суперсимметрии будет со-

277

держать как фермионы, так и бозоны. В SUSY-теории все известные частицы сопровождаются суперпартнерами. например, электронный (е) супермультиплет будет содержать суперпартнера e (сэлектрон), имеющего спин ноль. Преобразования суперсимметрии не коммутируют с лоренц-преобразованиями, однако коммутируют со всеми внутренними симметриями. Таким образом, все не лоренц-инвариантные квантовые числа, как для бозона, так и фермиона в одном и том же супермультиплете должны быть одинаковыми. Как и в случае всех симметрий, реализованных в вигнервейлевской моде, в пределе точной суперсимметрии все частицы супермультиплета должны иметь одинаковые массы. Поскольку это утверждение противоречит экспериментальным данным, суперсимметрия должна быть нарушенной. Интересная особенность суперсимметричных теорий состоит в том, что нарушающие суперсимметрию члены фиксируются требованием того, чтобы структура расходимостей теории оставалась неизменной.

8.3.2. Суперсимметричные теории поля

Чтобы определить действие суперсимметричной теории поля, рассмотрим теорию, содержащую киральные поля, обозначаемые

Φ(x,θ) , с компонентами (φ, ψ) и калибровочные поля V (x,θ, θ) с

компонентами – калибровочными и калибринными полями (Aμ,λ) . Действие теории в суперполевых обозначениях имеет вид

S = ∫ d 4 x ∫ d 2 θd 2 θΦ +eV Φ +

(8.19)

+∫ d 4 x∫ d 2 θ(W (Φ) + Wλ (V )Wλ (V ) + э.с.

В этом выражении первый член – калибровочно-инвариантная кинетическая энергия полей материи Ф; W(Ф) – голоморфная функция Ф, называемая суперпотенциалом. W(Ф) приводит к хигсовскому потенциалу для обычных калибровочных теорий поля.

Функция W (V ) ≡ D2				−iσ ∂		. Член, включающий
	DV , где D = ∂		θ		x
λ

Wλ (V ) , приводит как к калибровочно-инвариантной энергии для калибровочных полей, так и полей калибрино.

278

Втерминах компонент полей, лагранжиан теории записывается

ввиде

L = Lg + Lматерия + LY −V (ϕ) ,

где

Lg = 14 F μν + 12 λγμiDμλ;

Lматерия = Dμϕ 2 + ΨγμiDμΨ; ;

LY = 2gλψϕ+ + ψaψbWab ;

V (ϕ) = Wa 2 + 12 DαDα,

(8.20)

(8.21)

здесь Dμ обозначает ковариантную производную по отношению к калибровочной группе; Dα – так называемый D-член, задаваемый соотношением Dα = g ϕ+Tα ϕ (g – калибровочная константа, Тα –

генераторы калибровочной группы); Wa и Wab – первая и вторая производные суперпотенциала по полю Фа, индекс «а» соответствует различным полям материи модели.

Очень важным свойством суперсимметричных теорий поля является их ультрафиолетовое поведение: в пределе точной суперсимметрии параметры суперпотенциала W(Ф) не получают какихлибо (конечных или бесконечных) поправок за счет фейнмановских диаграмм, содержащих петли. Другими словами, если величина параметра суперпотенциала фиксирована на классическом уровне, это значение остается неизменным во всех порядках теории возмущений. Это утверждение известно как теорема о неперенормируемости. Указанное свойство является ключевым при решении проблемы хиггсовской массы в стандартной модели: радиационные поправки к массе хиггс-бозона в стандартной модели квадратично расходятся, и планковская масса служит естественным масштабом обрезания, если до этого масштаба не проявляют себя эффекты новой физики! Поскольку хиггсовская масса прямо пропорциональна массе W-бозона, то петлевые поправки способны «увести» массу W-бозона к планковской массе, дестабилизируя тем самым стандартную модель. В суперсимметричной версии стандартной моде-

279

ли (MSSM) в пределе точной суперсимметрии радиационные поправки к любому массовому параметру отсутствуют, поэтому значение массы хиггсовского бозона совпадает с его значением на древесном уровне. Таким образом, если бы суперсимметрия существовала во всем интервале энергий, проблема стабильности электрослабого масштаба была бы решена. Однако, поскольку SUSY должна быть нарушенной симметрией (мы пока не наблюдаем суперсимметричных партнеров известных частиц), то следует считать, что члены в гамильтониане теории, которые нарушают SUSY, не нарушают теорему о неперенормируемости таким образом, что в поправках к хиггсовской массе возникают бесконечности.

Это действительно происходит, если SUSY «мягко» нарушается членами вида:

1) ma2ϕ+a ϕa , где φ – бозонная компонента кирального суперполя Фа;

2)m∫d 2θθ2 (AW (3) (Φ) + BW (2) (Φ)) , где W(3)(Ф) и W(2)(Ф) – полиномы второго и третьего порядка в суперпотенциале;

3)12 mλλT C−1λ , где λ – поле калибрино.

Мягко нарушающие члены вносят лишь конечные петлевые поправки в параметры суперпотенциала. Так как все мягко нарушающие SUSY-члены имеют связи с положительными размерностями массы, петлевые поправки к хиггсовской массе будут зависеть от этих масс, и мы должны удерживать их на масштабе, меньшем ТэВа. Таким образом, электрослабый масштаб остается стабильным. Суперпартнеры известных частиц оказываются доступными для поиска на ILC и LHC.

Размерности масс, ассоциированные с мягко нарушающими членами, зависят от способа нарушения SUSY. Обычно предполагается, что SUSY нарушена в секторе, содержащем поля, которые не имеют каких-либо квантовых чисел стандартной модели. Это так называемый скрытый сектор. Нарушенная суперсимметрия трансформируется в видимый сектор или посредством гравитационных взаимодействий, калибровочных взаимодействий стандартной модели или посредством аномального U(1) D-члена.

280