Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

Матрица	2	iσ2	0	(7.93)
	−iγ	β =
		0	−iσ2	ΨM .
действует как метрика в формировании произведения двух

Очевидно, что (7.92) сводится к (7.87) при Ψ1M = Ψ2M = ΨχM и к

(7.88), если Ψ1M = Ψ2M = ΨψM .

Выше уже отмечалось, что простейший вариант SUSY включает комплексное скалярное поле и двухкомпонентное спинорное поле. Это прообраз минимальной суперсимметричной стандартной мо-

дели (MSSM).

Использование спиноров χ-типа (или L-типа спиноров) не вызывает сомнений, поскольку (V-A)-структура электрослабого сектора стандартной модели выделяет именно L-компоненты. В контексте SUSY очень удобно использовать один тип спиноров. Для MSSM – это L-тип. Но как быть с R-частями полей стандартной модели? Рассмотрим, например, электронное поле, записанное в виде

Ψ(e	−		ψ(e−)		(7.94)
		) =	R	.
			(e−)
			χL

Вместо использования правого электронного поля, можно выбрать зарядово-сопряжённое левое позитронное поле, т.е. вместо (7.94) записать

	−iσ	2		χ(e+ )*		(7.95)
Ψ(e) =				L	.
	χ		(e−)

В обычных обозначениях

χ(Le+ )C = iσ2χ(Le+ )* ,

(7.96)

или, в более компактной форме, – eL+C . Наш предыдущий опыт га-

рантирует, что (7.95) имеет правильные лоренцевские трансформационные свойства. В терминах (7.95) массовый член (не майорановского!) дираковского фермиона (опуская индекс “L” для χ):

251

(e)

(e)

(e)+ 0

1

(e)

Ψ

Ψ

= Ψ

Ψ

=

1

0

(7.97)

(iσ2χ

(e+ )

)

T

χ

(e−)+

χ(e−)

= χ

(e+ )

χ

(e−)

+ χ

(e−)+

iσ2χ

(e+ )*

=

+

.

iσ2χ

(e

)*

Таким образом, дираковский массовый член записан целиком в терминах двух спиноров L-типа: один ассоциирован с e--модой, а другой – с e+-модой.

7.7. Простейший суперсимметричный лагранжиан

Построим простейшую суперсимметричную теорию, включающую только два свободных поля: комплексное (со спином 0) поле φ и L-типа спинорное поле χ, оба безмассовые. Плотность лагранжиана этой теории:

L = ∂μφ+∂μφ + χ+iσμ∂μχ .

(7.98)

Часть лагранжиана, связанная с φ, хорошо известна из стандартных курсов квантовой теории поля, часть с χ – из дираковского лагран-

жиана (7.69).

Уравнение движения для поля φ, конечно, φ = 0 , для χ: iσμ∂μχ = 0 .

Нам хотелось бы найти преобразование которое изменяло бы φ пропорционально χ (как в (7.35)), а χ – пропорционально φ, оставляя при этом лагранжиан L инвариантным. Сначала разберёмся с размерностями. Действие – интеграл от плотности лагранжиана по 4-х мерному пространству. Действие в единицах = c =1 безразмерно. В теории остаётся лишь один параметр с размерностью массы (энергии) M. Длина имеет размерность времени (c =1) , т.е. раз-

мерность

Поскольку

φ и χ:

M −1. Плотность лагранжиана имеет размерность M 4. производные имеют размерность M, то размерности

[φ] = M ; [χ] = M 3/2 .

(7.99)

252

Какое SUSY преобразование связывает φ и χ? Некоторые соображения, хотя и не дающие прямого ответа, весьма полезны. Рассмотрим изменение δζφ , где ζ – построенный (не зависящий от x)

параметр. Это изменение (как и в (7.35)), можно записать в виде:

изменение φ = параметр ζ × поле χ.

(7.100)

В левой части (7.100) содержится поле спина 0, инвариантное относительно преобразований Лоренца. Поэтому надо построить инвариант из χ и параметра ζ. Повторим, что ζ – спинор. Он не зависит от пространственно-временной точки x и неинвариантен относительно преобразований Лоренца: он преобразуется как спинор χ- типа, т.е. с помощью V –1+. Он имеет две компоненты, каждая из которых комплексна, т.е. зависит от 4-х вещественных чисел. Хотя ζ не зависит от x, и в этом смысле не является полевым оператором, будем предполагать, что его компоненты антикоммутируют с компонентами спинорных полей. Из размерных соображений в (7.100), получаем размерность

[ζ] = M −1/2 .

(7.101)

Для построения инварианта из χ и ζ проще всего считать, что ζ – тоже спинор χ (или L-типа) и воспользоваться инвариантным произведением (7.75).

Тогда	δζφ = ζT (−iσ2 )χ .	(7.102)
Что касается δζχ, то это изменение должно иметь структуру
	δζχ ~ произведение ζ и φ.	(7.103)

Левая часть этого выражения имеет размерность M 3/2 , в то время как правая часть – размерность M −1/2+1 = M 1/2. Надо ввести в правую часть объект с размерностью M 1. В безмассовой теории есть только один размерный параметр – оператор импульса i∂μ . Но в

этом случае надо “поглотить” индекс μ в правой части (7.103). Для этого выберем δζχ в виде

δζχ = (iσμ∂μφ)ζ ,	(7.104)
253

где σμ	задаются выражением (7.66). Отметим, что матрицы
2×2 σμ	действуют на двухкомпонентный столбец, т.е. слева в

(7.104) должен быть двухкомпонентный столбец. Хотя и правая, и левая части (7.104) – двухкомпонентные вектора, правая часть не преобразуется как спинор χ-типа. Если обратиться к соотношениям

(7.67) и (7.68), то можно заметить, что комбинация σμ∂μ , действуя на ψ, создаёт объект, преобразующийся как χ. Таким образом, следует допустить, что σμ∂μ действует не на ζ, а на ψ-подобный объ-

ект. В результате получается объект, преобразующийся как χ. Но мы знаем, как создать ψ-подобный объект без использования ζ. Со-

гласно (7.76), нужно взять iσ2χ* . Поэтому окончательно получаем

δ

ζ

χ

q

= A iσμ

(

iσ

2

ζ*

∂

μ

φ,

(7.105)

) q

где A – некоторая константа, которая определяется из условия инвариантности плотности лагранжиана относительно преобразований (7.100) и (7.105). Выражение (7.105) содержит в обеих частях χ-типа спинорный индекс. Соотношения (7.100) и (7.105) задают SUSY преобразования полей φ и χ, но, поскольку они комплексные поля, нужно выяснить, как преобразуются эрмитово-сопряжённые поля φ+ и χ+. Напомним, что φ и χ – квантованные поля (хотя мы не пишем над ними традиционные шляпки), а ζ – не поле (не зависит от x). При обсуждении выше лоренц-преобразований спиноров, для обозначения комплексного сопряжения использовался индекс “*”, при этом предполагалось, что мы имеем дело с волновыми функциями, а не с полевыми операторами. Рассмотрим разложение квантованного поля

φ =	∫	d 3k		a(k)e−ikx + b+ (k)eikx .		(7.106)
		(2π)3
			2ω

Оператор a(k) уничтожает частицу с импульсом k, а b+(k) рождает античастицу с 4-импульсом k. Для соотношения (7.106) операция комплексного сопряжения не подходит, так как оператор a*(k). По-

этому вместо “ φ* ” мы имеем дело с φ+ , который определяется с помощью (7.106) и необходим для выполнения двух условий:

254

а) выбора комплексно-сопряжённых волновых функций (e±ikx ) ; б) выбора “крестованных” операторов a(k) и b(k). Таким образом,

φ+ =	∫	d 3k		a+ (k)eikx + b(k)e−ikx .		(7.107)
		(2π)3
			2ω

Для спинорных полей, например, χ-типа, ситуация несколько сложнее, так как в аналоге соотношения (7.106) скалярные (спин 0) волновые функции нужно заменить на 2-компонентные спиноры.

Символически, первая (верхняя) компонента квантованного по-

	ля χ будет иметь следующую форму:
	χ1	~ (модовый оператор)×	(7.108)
	× (первая компонента спинора χ-типа).
	Аналогично для χ+ :
	1
	χ+ ~ (модовый оператор)+×		(7.109)
	1
	× (первая компонента спинора свободной частицы)*.

Имея это в виду, найдём эрмитово сопряжение от (7.102), т.е. δζφ+ . Для этого перепишем (7.102) по компонентам

δ	ζ	φ = (ζ	1	ζ	2	) 0		−1 χ1				= −ζ χ	+ ζ	χ .	(7.110)
							1	0		χ2		1 2		2 1

Мы хотели бы провести операцию эрмитового сопряжения (“крестования”) соотношения (7.110), но как провести эту операцию над произведением антикоммутирующих компонент, подобных ζ1χ2 ?

В случае двух матриц известно, что (AB)+ = B+A+. Аналогично, определим операцию “крестования”, обращая порядок спиноров

δ	ζ	φ+ = −χ+ζ* + χ+ζ* .	(7.111)
		2 1 1 2

Так как ζ – не квантовое поле, то с операцией “*” всё в порядке. Выражение (7.111) можно записать и в более компактной форме

δζφ

+

+ *

+ *

+

+

0 1

ζ1*

= χ

+

(iσ2 )ζ

*

,

(7.112)

= χ1 ζ2

− χ2 ζ1

= (χ1

χ2 )

−1 0

ζ*2

где символ “+” в последнем равенстве применён к двухкомпонентному спинору, понимаемому в матричном смысле:

255

χ	+	χ1			+	+	+	(7.113)
		=	χ2			= (χ1	χ2 ).

Аналогично получаем “крестованный” аналог выражения (7.105):

δζχ+ = A∂μφ+ζT iσ2iσμ ,

(7.114)

где для удобства последующего использования ∂μφ+ перемещён в

начало выражения. Теперь всё готово для выбора величины A, обеспечивающей инвариантность лагранжиана L при преобразова-

ниях (7.100), (7.105), (7.112) и (7.114). Таким образом,

δL = ∂μ (δζφ+ )∂μφ + ∂μφ+∂μ (δζφ) + (δζχ+ )iσμ∂μχ +

+χ+iσμ∂μ (δζχ) = ∂μ (χ+iσ2ζ* )∂μφ + ∂μφ+∂μ (ζT (−iσ2 )χ) + (7.115)

+A(∂μφ+ζT iσ2iσμ )iσν∂νχ + Aχ+iσν∂ν (iσμiσ2ζ* )∂μφ.

Вэтом выражении содержатся два типа членов: с параметром ζ* и с параметром ζT .

Рассмотрим член, включающий Aζ* . Он появляется в комбинации с

σν∂ν∂μ∂μ = (∂0 + σ )(∂0 − σ ) = ∂02 − 2 = ∂μ∂μ .	(7.116)
Поэтому можно объединить этот и другой член в (7.115):
δL |ζ* = ∂μχ+iσ2ζ*∂μφ −iAχ+∂μ∂μσ2ζ*φ.	(7.117)

Это выражение определяет изменение L при SUSY преобразованиях. Кажется, что мы не обнаружили инвариантности, так как нет оснований надеяться, что это изменение сокращается с членом, со-

держащим ζT . Напомним, однако, что действие – интеграл по про-

странству-времени от L. Действие будет инвариантным, если изменение L можно представить в виде полной производной

δζ L |ζ* = ∂μ (χ+iσ2ζ*∂μφ),	(7.118)
если A = –1.
Аналогично, если A = –1, то член, содержащий ζT , имеет вид
δζL |ζT = ∂μφ+∂μ (ζT (−iσ2 )χ) + ∂μφ+ζT iσ2σμσν∂νχ.	(7.119)
256

Второе слагаемое в (7.119) можно переписать в виде

∂μ (φ+ζT iσ2σμσν∂νχ) + φ+ζ+ (−iσ2 )σμσν∂μ∂νχ =

(7.120)

= ∂μ (φ+ζT iσ2σμσν∂νχ) + φ+ζT (−iσ2 )∂μ∂μχ.

Второе слагаемое в (7.120) и первое слагаемое в (7.119) объединяются в полную производную

	∂μ (φ+ζT (−iσ2 )∂μχ) ,	(7.121)
поэтому окончательно имеем
δL |	T = ∂μ (φ+ζT (−iσ2 )∂μχ) + ∂μ (φ+ζT iσ2σμσν∂νχ) ,	(7.122)
ζ

и это полная производная.

Итак, мы показали, что преобразования (7.105), (7.112) и (7.114) с A = –1 изменяют L на полную производную, т.е. не меняют действия. Пара (φ, спин 0) и (χ, L-типа, спин 1/2) составляют киральный супермультиплет.

7.8.Минимальная суперсимметричная стандартная модель

Обсудим, какое отношение может иметь идея суперсимметрии к физике частиц. Что мы имели до сих пор? Одно комплексное скалярное поле и одно фермионное поле L-типа, которые между собой не взаимодействуют. Подчеркнём, что SUSY преобразования не действуют на SU(3)c, SU(2)L или U(1)em степени свободы. Рассмотрим, например, электронное поле eL. Электрон eL входит в SU(2)L- дублет, его партнёр νeL :

	νeL	(7.123)
	.
	eL

Этот дублет требует в SUSY-партнёры бозоны со спином 0, образующих другой SU(2)L дублет

	φ+			(7.124)
	φ	0

или его зарядово-сопряжённый дублет

257

		0
	φ
	φ	−	.	(7.125)

Но эти хиггсовские дублеты не несут лептонного числа (которое будем предполагать сохраняющимся). Нельзя допустить, чтобы некоторые из частиц SUSY мультиплета несли сохраняющееся квантовое число, а другие – нет. Поэтому нужны новые частицы – партнёры к дублету (7.123):

	νeL		νeL	,	(7.126)
		партнёр
	eL		eL

где ν – скалярный партнёр нейтрино (снейтрино) и e – скалярный партнёр электрона (сэлектрон). Аналогично, должны быть смюон, стаулептон и их снейтрино. Все они находятся в киральных супермультиплетах и SU(2)L-дублетах.

Как насчёт кварков? Они образуют триплет SU(3)c цветовой калибровочной группы, в стандартной модели нет других цветовых триплетов. Поэтому нужны новые скалярные партнёры кварков (скварки), являющиеся цветовыми триплетами и входящие в киральный супермультиплет. Электрослабые взаимодействия лептонов и кварков – киральные. Это означает, что L и R-части полей взаимодействуют по-разному: L-части относятся к SU(2)L- дублетам, а R-части – к SU(2)L-синглетам. Поэтому нужны скаляр-

ные партнёры для L и	R-частей.			Например,		(eR ,eR ) , (uR ,uR ) ,
(dR , dR ) и т.д., а также
uL		,	uL		, …	(7.127)
dL			dL

Мы пока ничего не говорили о SUSY поле со спином 1. Это поле принадлежит к векторному (или калибровочному) супермультиплету, ассоциированному с безмассовым векторным полем с двумя степенями свободы), которое называется калибрино. У калибрино квантовые числа относительно калибровочной группы такие же, как для калибровочных бозонов, т.е. для получения суперсимметричной КХД нужно ввести октет глюино, плюс SU(2)L-триплет (вино и зино), а также фотино. После нарушения SU(2)L-симметрии

258

(a la Higgs), получаем три фермионных партнёра для W , Z0 – соответственно W , Z и фотино γ .

Наконец, хиггсовский сектор. Мы не можем найти хиггсовскому дублету известного фермионного партнёра, т.е. нужно ввести хиггсино – фермионный аналог, входящий в киральный супермультиплет. Важный момент при построении суперсимметричной стандартной модели – нужно вводить два отдельных хиггсовских дублета

Hu :

Hd :

H	+		H	+
	u0		,	u0		;
Hu			Hu
Hd0			Hd0
	0		,	0	.
Hd			Hd

(7.128)

(7.129)

Киральный и калибровочный супермультиплеты, введённые выше, характеризуют минимальное расширение стандартной модели. Полная теория, включающая суперсимметричные взаимодействия, называется минимальной суперсимметричной стандартной моде-

лью (MSSM).

Важно отметить, что до сих пор ни один из суперпартнёров не найден, т.е. суперпартнёры не имеют той же массы, что и их партнёры из стандартной модели.

7.9. Супергравитация

7.9.1. Велбейны и спиновые связности

Гравитация определяется метрикой gμν , которая, в свою оче-

редь – символами Кристофеля Γμνρ(g) , представляющими собой калибровочное поле гравитации с римановым тензором Rνρσμ (Γ) ,

играющим роль напряжённости поля.

Существует и другая формулировка, в которой аналогия с калибровочной теорией проявляется наиболее полно. Она основана

на формализме велбейна eμa и спиновых связностей ωμab . Термин “велбейн” происходит от немецких слов viel ≡ много и bein ≡ нога.

259

В 4-х измерениях говорят о “вербейне”, поскольку vier ≡ четыре. В других измерениях используют термины einbein, zweibein, dreibein (1, 2, 3 = ein, zwei, drei), в общем же случае говорят о велбейне (vielbein). Любое искривлённое пространство оказывается локально плоским, если его рассматривать на масштабах, гораздо меньших масштаба кривизны. Это означает, что локально имеет место ло- ренц-инвариантность специальной теории относительности. Велбейн является объектом, в свойствах которого проявляется локальная лоренц-инвариантность. Можно сказать, что велбейн – своего рода корень квадратный из метрики, т.е.

g	μν	= ea (x)eb (x)η		ab	.	(7.130)
		μ	ν

В eμa (x) μ – “искривлённый” индекс, на который действует общее координатное преобразование (так что eμa – ковариантный вектор

относительно общих координатных преобразований, подобный калибровочному полю); индекс же “a” – “плоский” индекс, связанный с локальной лоренц-инвариантностью. Иначе говоря, в каждой пространственно-временной точке определяется малая плоская окрестность (“касательное пространство”), индекс a – тензорный индекс, относящийся к локальному пространству Минковского, на который действуют преобразования Лоренца.

Можно проверить, что инфинитезимальное общее координатное преобразование) δxμ = ζμ , действующее на матрицу, даёт

δζ gμν (x) = (ζρ∂ρ )gμν + (∂μζρ )gρσ + (∂νζρ )gρσ ,

(7.131)

где первый член соответствует трансляции, но есть и дополнительные слагаемые. Таким образом, общие координатные преобразования оказываеются аналогом трансляций в специальной теории относительности.

Действие инфинитезимального координатного преобразования

на велбейн ea	даёт
μ	δζeμa (x) = (ζρ∂ρ )eμa + (∂μζρ )eρa ,
		(7.132)

т.е. оно действует только на “искривлённый” индекс μ. С другой стороны, локальное лоренц-преобразование

260