Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

зывающей пределы слабой и сильной константы α → α1 , и

T-дуальностью, связывающей большой и малый радиусы компак-

			1		g	2
	тификации:	R →		α =		S	– константа калибровочной группы на
			R		4π

струнном масштабе, R – радиус компактификации из D измерений в (D–1) измерение. На рис. 8.5 (принадлежит J. Schwarz) показаны соотношения дуальностей, связывающие различные 10-ти мерные теории суперструн между собой, а также с М-теорией «живущей» в 11-ти измерениях и содержащей мембраны. На этом рисунке маленькими окружностями, линиями, тором и цилиндром изображены соответствующие многообразия при изменении D на одну или две единицы.

Рис. 8.5

Две О(32) теории являются S-дуальными одна к другой, в то время как E8 × E8 слабо связанная гетеротическая струнная теория

(WCHS) пертурбативно инвариантна относительно Т-дуальности при компактификации на 4-е измерения. В этом случае R – радиус компактного 6-мерного многообразия.

Другое изображение М-теории, принадлежащее M. Green, представлено на рис. 8.6.

321

Рис. 8.6

Из этого рисунка видно, что все известные теории суперструн, как и D = 11 супергравитация, являются пределами М-теории. Каждая точка на этом рисунке обладает очень большим числом вакуумов. В настоящее время наблюдается значительная активность в попытках установить число типов вакуумов в II B теории. В популярном Horava-Witten (HW) сценарии компактификации, при компактификации одного измерения 11-мерной М-теории снова приходят к HW сценарию с двумя 10-мерными бранами, каждая из которых содержит E8 калибровочную группу. Если радиус 11-го из-

мерения устремить к нулю, возникает сценарий слабо связанных гетеротических струн. Именно этот сценарий наиболее естественным образом включает стандартную модель. В пределе бесконечного натяжения струны WCHS сводится к 10-мерной супергравитации, связанной с E8 × E8 янг-миллсовским калибровочным су-

пермультиплетом. Если 6 измерений компактифицируются, скажем, на три двухмерных тора, возникает плоская геометрия, причем теория будет иметь N = 4 SUSY, поскольку 8-ми компонентный спинор, генерирующий преобразования симметрии в 10-ти измерениях, обеспечивает четыре 2-х компонентных суперсимметричных генератора в 4-х измерениях. Выше уже отмечалось, что только N = 1 SUSY соответствует наблюдаемой физике частиц. Поэтому необходимо искривленное 6-мерное многообразие, имеющее

322

нетривиальную группу голономии (группа преобразований при параллельном переносе). Компактификация на пространства CalabiYau, имеет SU(3) ΣΟ(6) группу голономии, которая оставляет неизменным только 2-компонентный спинор, приводя, таким образом, к N = 1 суперсимметрии в 4-х измерениях. Калибровочную группу можно представить в виде:

E8′× E8 E8′× E6 ×SU (3) ,

(8.117)

при этом уравнения движения требуют, чтобы пространственновременная фоновая кривизна балансировалась фоном от напряженности калибровочного поля так, чтобы SU(3) подгруппу одной из E8 можно было идентифицировать с SU(3) группой голономии

многообразия Calabi-Yau. Остающаяся при этом 4-мерная калибровочная группа – E8′ × E6 . Другой способ компактификации (на ор-

бифолды) также очень популярен, поскольку компактное многообразие оказывается плоским за исключением сингулярных точек с бесконечной кривизной. В этом случае остаточная калибровочная группа в 4-х измерениях:

E8′× E6 ×[G′ SU (3)].

(8.118)

В любом случае, это рассмотрение обнадеживает, так как E6 счи-

тается кандидатом на единую группу симметрии сильных и электрослабых взаимодействий стандартной модели. Безмассовый спектр состоит из полей, которые инвариантны относительно диагональной группы из двух нарушенных SU(3) (или, при орбифолдной компактификации, соответствующей подгруппы). Остающимися степени свободы 10-ти мерного калибровочного супермультиплета:

( AM , g )E′ ×E ,		M = 0,....9	(8.119)
8	8
является 4-мерный калибровочный супермультиплет:
(Aμ, g )E′ ×E	,	μ = 0,....3,	(8.120)
8	6

который инвариантен относительно обеих SU(3), а также киральный мультиплет полей материи:

( Am , g )E8 /[E6×SU (3)]							E6 , m = 4,...9,
	= (27 + 27)							(8.121)
который преобразуется как (3,
		3) + (3, 3) .

323

Эти состояния разлагаются относительно калибровочных групп SO(10) и SU(5) следующим образом:

27E6 = (16 +10 + 1)SO(10) = (5		+ 10 + 1 + 5 + 5 + 1)SU (5) .			(8.122)

Комбинация 5 +10 группы SU(5) содержит кварки и лептоны стандартной модели. Форма 16-плета SO(10), совместно с синглетом стандартной модели, может соответствовать недавно обнаруженным малым массам нейтрино и смешиваниям. Мультиплет

5 + 5, содержащийся в 10-плете SO(10), включает, помимо прочих частиц, два хигсовских дублета, необходимые в суперсимметричных расширениях стандартной модели.

Таким образом, рассмотренные в этой главе симметрии Большого объединения так или иначе возникают в теории струн. Проблема в том, что этих возможностей теория струн предлагает чрезвычайно много. Какую (какие?) из них выбрала Природа? Ответ на этот вопрос способен многое прояснить в строении и эволюции нашей Вселенной. Действительно, новые симметрии – это новые взаимодействия и новые частицы. Существование темной материи и темной энергии – экспериментально установленный факт. Новые симметрии, безусловно, должны существовать. Просто в том масштабе расстояний и энергий, которыми мы обладаем, они не проявляют себя (или проявляют чрезвычайно слабо). Пожалуй, вряд ли мы найдем ответ на поставленный выше вопрос. Многое осознано в окружающем нас мире, но гораздо больше предстоит осознать на пути познания….

324

Глава 9 НАРУШЕНИЕ ЛОРЕНЦЕВСКОЙ

И CPT ИНВАРИАНТНОСТИ

9.1. Введение

Уже более 100 лет прошло с того времени, когда А. Эйнштейн опубликовал свою первую статью по специальной теории относительности. Эта теория основана на принципе лоренцинвариантности: законы физики и скорость света одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Через несколько лет после появления пионерской работы Эйнштейна, Минковский показал, что специальная теория относительности требует новой пространственной геометрии. В этом отношении лоренц-симметрия – точная пространственно-временная симметрия, которой свойственна метрика Минковского в различных картезианских координатных системах.

В 1907–1915 годах А. Эйнштейн развил общую теорию относительности как новую теорию гравитации. В общей теории относительности пространство-время описывается в терминах метрики, являющейся решением уравнений Эйнштейна. При этом геометрия оказалась римановой, а физика – инвариантной относительно общих координатных преобразований. Лоренцевская же симметрия стала локальной. В каждой точке пространственно-временного многообразия можно выбрать такую локальную систему координат, в которой метрика оказывается метрикой Минковского. Однако выбор локальной системы координат не единственный, и локальные лоренц-преобразования обеспечивают связь между физически эквивалентными локальными системами.

Стандартная модель (СМ) физики частиц – релятивистская теория. СМ в пространстве Минковского инвариантна относительно глобальных лоренцевских преобразований, в римановом же про- странстве-времени взаимодействия частиц должны быть инвариантными относительно как общих координатных преобразований, так и локальных лоренцевских преобразований.

325

Поля также инвариантны относительно калибровочных преобразований. Как хорошо известно, точная симметрия относительно локальных калибровочных преобразований приводит к существованию безмассовых калибровочных полей, таких как фотон. Спонтанное нарушение локальной калибровочной симметрии в электрослабой теории включает механизм Хиггса, и калибровочные поля приобретают массу.

Классические гравитационные взаимодействия можно описать с помощью формализма вербейна по аналогии с калибровочной теорией. На этом пути описываются фермионы в искривленном про- странстве-времени. Ковариантные производные тензоров в локальной лоренцевской системе включают спиновые связности. В римановом пространстве-времени с нулевым кручением спиновая связность не является не зависимой от поля, она зависит от вербейна и его производных. Однако естественной выглядит трактовка компонент спиновой связности как независимых степеней свободы. В результате приходим к пространству Римана-Картана с отличным от нуля кручением. В пространстве времени Римана-Картана ассоциированные полевые напряженности вербейна и спиновой связности являются тензорами кривизны и кручения. Обычное риманово пространство-время общей теории относительности возникает в пределе нулевого кручения. Аналогично, если тензор кривизны обращается в ноль, пространство-время сводится к пространствувремени Минковского.

Комбинация СМ и эйнштейновской классической теории гравитации дает успешное описание экспериментальных данных. Однако теория Эйнштейна не является квантовой теорией, поэтому можно надеяться, что она – предельный случай более общей квантовой теории. Кандидатом на квантовую теорию гравитации можно считать теорию струн. Масштаб, на котором становятся сущест-

венными квантовые эффекты гравитации, – масса Планка MPl ≈ ≈1019 ГэВ.

Достаточно очевидно, что такой масштаб масс (энергий) на ускорителях нам недоступен. В этой ситуации следует выбрать альтернативный подход – исследовать эффекты новой физики в прецизионных экспериментах. Но для этого необходимо, чтобы новые эффекты были заметными на фоне процессов СМ или обычной

326

классической теории гравитации. Один из возможных сигналов, удовлетворяющий этому требованию, – наблюдение подавленных массой Планка эффектов нарушения лоренц-инвариантности.

Детектирование отклонений от специальной теории относительности было бы прямым указанием на существование новой физики на планковских масштабах. Эта идея не представляется полностью спекулятивной, поскольку как струнная модель, так и петлевая теория квантовой гравитации приводят к нарушению лоренцинвариантности. К сожалению, эти теории еще недостаточно разработаны, чтобы допустить экспериментальную проверку при низких энергиях. Тем не менее, в настоящее время в этом направлении, благодаря идее эффективной теории поля, достигнут значительный прогресс. Чтобы быть реалистичной, эффективная теория должна содержать как СМ, так и общую теорию относительности, а также связи между ними. Кроме того, эта теория должна проявлять независимость от координат (или наблюдателя). В полной теории сектор гравитации должен содержать дополнительные поля, как, например, кручение, которые не содержатся в эйнштейновской общей теории относительности. Включение же таких полей приводит к более общим геометриям (включая пространство-время РиманаКартана). Эффективная теория поля такого типа, включающая независимое от наблюдателя лоренц-нарушение, называется расширением стандартной модели (СМР). Лагранжиан СМР, по определению, содержит скалярные члены, состоящие из произведений полей СМ и обобщенных гравитационных полей, а также связей, нарушающих лоренц-симметрию. В принципе, СМР, может иметь бесконечное число слагаемых в лагранжиане, в том числе неперенормируемых членов с произвольной размерностью. Для исследования при низких энергиях, где и представляют интерес сигналы нарушения лоренц-инвариантности, ограничиваются в лагранжиане СМР конечным числом слагаемых. Обычно говорят о так называемом минимальном СМР, когда учитываются перенормируемые и калибровочно-инвариантные слагаемые.

Исторически интерес к нарушению лоренц-симметрии возник после работ Kosteletcky и Samuel в конце 80-х годов прошлого века, в которых было показано, что в теории струн оказывается возможным спонтанное нарушение лоренцевской симметрии. Спон-

327

танное нарушение лоренц-симметрии возникает в непертурбативном вакууме струнной теории, когда тензорные поля приобретают ненулевые вакуумные средние – T ≠ 0 . В результате низкоэнер-

гетическая эффективная теория содержит неограниченное число слагаемых типа

	L ~	λ	T Γψ(i∂)k χ ,	(9.1)
		M Plk

где k – натуральная степень, λ – константа связи, ψ и χ – фермионные поля. В выражении (9.1) вакуумное среднее T несет про-

странственно-временные индексы, которые здесь опущены. Эти вакуумные средние являются набором функций или констант, которые фиксированы в заданной системе отсчета наблюдателя. Это означает, что взаимодействия с этими коэффициентами имеют выделенные направления в пространстве-времени. Таким образом, коэффициенты при вакуумных средних индуцируют нарушение лоренц-симметрии.

Заметим, что многомерные (k > 0) связи через производные, как

ожидается, компенсируют дополнительные обратные степени планковской массы. В наиболее полной низкоэнергетической эффективной теории, описывающей фермионы ψ и χ, могут быть дополнительные юкавские связи. В общем случае член со взаимодействием в (9.1) записывается в виде:

L ~ t(k )Γψ(i∂)k χ ,

(9.2)

где коэффициент t(k ), несущий пространственно-временные индексы, содержит все константы связи, обратные массы и вакуум-

ные средние. Коэффициент t(k ) действует как фиксированное фоновое поле, вызывающее нарушение лоренц-инвариантности. Конечно, помимо взаимодействий фермионов, могут быть и слагаемые со связями калибровочных и гравитационных взаимодействий. Важно подчеркнуть, что каждый член СМР считается наблюдаемым скаляром, т. е. все пространственно-временные индексы свер-

нуты. СМР коэффициенты t(k ) предполагаются подавленными степенями планковской массы, причем степень подавления растет с ростом k. В отсутствие законченной теории струн невозможно при-

328

писать определенные численные значения этим коэффициентам. Возможно, что между ними существует определенная иерархия. Поскольку лоренц-нарушение до сих пор не наблюдалось, следует считать, что СМР коэффициенты малы. С другой стороны, можно ограничиться феноменологическим подходом и извлекать ограничения на эти коэффициенты из эксперимента.

Интересно отметить, что СМР первоначально мотивировано идеями теории струн, включая спонтанное нарушение лоренцевской симметрии, однако значение СМР выходит далеко за пределы этих идей. Действительно, СМР не содержит ничего, что требовало бы для лоренц-нарушающих коэффициентов наличия спонтанного нарушения лоренц-симметрии. Коэффициенты СМР можно рассматривать как результат прямого нарушения лоренц-симметрии или как результат доселе неизвестного механизма. Чтобы это проиллюстрировать, обратимся к некоммутативной теории поля. Это теории, содержащие некоммутативные координаты:

xμ, xν		= iθμν .	(9.3)

Известно, что подобные конструкции возникают в струнных теориях и приводят к нарушению лоренц-инвариантности. Однако в этом случае механизм, ведущий к нарушению лоренц-симметрии, отличен от спонтанного нарушения симметрии. Тем не менее, форма эффективных взаимодействий такая же, как СМР. Фиксированные

параметры θμν , нарушающие лоренц-симметрию, «действуют» как коэффициенты СМР. Например, эффективная теория поля, включающая U(1) калибровочное поле в некоммутативной геометрии, описывается лагранжианом

L ~	1	iqθαβF	ψγμD ψ ,	(9.4)
	4	αβ	μ

где Fαβ – полевые напряженности. В этом выражении, как и в

(9.1), взаимодействие имеет вид скалярного произведения известного поля, операторов производных и набора фиксированных фоновых функций.

Необходимо подчеркнуть, что помимо нарушения лоренцевской симметрии, СМР приводит к нарушению дискретной CPT-симметрии. Эта симметрия есть произведение операций зарядового сопряжения (C), четности (P) и обращения времени (T). Со-

329

гласно CPT-теореме, релятивистская теория поля, описывающая точечные частицы, должна быть CPT-симметричной.С другой стороны, другая (обратная) теорема утверждает, что если CPT-инвариантность нарушена в теории поля, то лоренцинвариантность тоже должна быть нарушенной. Таким образом, любая независимая от наблюдателя эффективная теория поля, описывающая CPT-нарушение, должна содержаться в СМР. Поскольку CPT-теорема может быть проверена с высокой точностью в экспериментах с веществом и антивеществом, то это открывает новые возможности для изучения нарушения лоренц-инвариантности.

Таким образом, полная СМР определяется как наиболее общая, независящая от наблюдателя теория с нарушенной лоренц- и CPT-инвариантностью, содержащая СМ и гравитацию.

Наконец, необходимо сделать несколько замечаний относительно коэффициентов СМР. Эти коэффициенты, связанные с ненулевыми вакуумными средними тензорных полей, генерируемых при спонтанном нарушении лоренц-симметрии, напоминают «старый добрый» эфир. Однако эфир первоначально считался средой, в которой распространяется свет. СМР коэффициенты нет необходимости рассматривать подобным образом. Эти коэффициенты действуют как фоновые вакуумные поля. Их взаимодействия «выбирают» определенные сорта частиц. Действительно, если частица не является фотоном, то СМР-коэффициент не влияет на зависимость скорости света от направления. Более того, СМР-коэффициенты несут тензорные индексы, поэтому имеют выделенные пространст- венно-временные направления в любой системе отсчета. Итак, несмотря на некоторую похожесть с представлениями об эфире, физическое содержание СМР-коэффициентов значительно отличается от этих представлений.

9.2.Расширения стандартной модели, нарушающие лоренцевскую инвариантность

Одна из основных особенностей СМР состоит в том, что эта теории не зависит от наблюдателя. Поэтому весьма важно различать лоренц-преобразования наблюдателя и частицы. Лоренцпреобразование наблюдателя изменяет систему отсчета наблюда-

330