Кулик Введение в теорию квантовых вычислений Книга 2 2008

ственных значения энергии Ee и Еg , т.е.

ˆ			g = Еg		g ,
H0
ˆ				(2.85)
			e = Еg			e .
H0

Верхнее состояние e будем называть возбужденным, а нижнее состояние g — основным. Если данная двухуровневая система представляет кубит, то можно использовать стандартные обозначения, например, e = 0 и g = 1 для состояний кубита.

Будем отсчитывать энергию от середины расстояния между

	уровнями. Тогда
	Еe,g= ±	ω	,	(2.86)
		2

а величина ω = (Ee − Eg ) представляет собой частоту перехода. С

учетом выражений (2.85) и (2.86) невозмущенный гамильтониан

ˆ записывается в виде

H0

ˆ		ω	{				}≡	ω
H0	=	2		e e	−	g g		2	σ3	,	(2.87)

где σ3 — матрица Паули (2.41). Она представляет собой матрицу оператора, который стоит в фигурной скобке, вычисленную в базисе { e, g}.

Электродипольное взаимодействие атома с классической линейно поляризованной (по оси z) волной описывается оператором

ˆ	ˆ	ˆ	(2.88)
Hint = −d		ε(t) = −dzε(t) ,
		91

ˆ

который строится из оператора d дипольного момента атома и направленного по оси z вектора ε(t) напряженности электрическо-

го поля волны. Для максимального упрощения вычислений считаем, что частота монохроматической волны совпадает с частотой атомного перехода ω , т.е. электрическое поле имеет вид

ε(t) = ε0 cosωt =	ε0	(e−iωt +eiωt ) .	(2.89)
	2

Следующее требование касается структуры рабочих уровней атомной системы. Взаимодействие с полем будет перемешивать состоя-

ния e и g двухуровневой системы, если недиагональные мат-

ричные элементы оператора ˆ между этими состояниями отлич- dz

ны от нуля1. Без ущерба для общности считаем их действительными и обозначим одной буквой d, т.е.

e

ˆ

g

= e

ˆ

g

*

≡ d .

(2.90)

d z

d z

Заметим,

что

при

этом

диагональные

члены

e

ˆ

e

=

g

ˆ

g

≡ 0 из-за правил отбора по четности для ди-

d z

d z

польных матричных элементов. Тогда оператор взаимодействия (2.88) принимает вид

ˆ	= −dε(t){ e g	+ g e } = −dε(t)σ1 .	(2.91)
Hint

1 Пусть, например, момент нижнего состояния Jg=0, а момент верхнего

состояния Jе=1. Оператор ˆ имеет отличные от нуля матричные элемен-

dz

ты только между состояниями с одинаковыми значениями проекции момента на ось квантования z. Поскольку в нижнем состоянии проекция равна нулю, то линейно поляризованное (по оси z) электрическое поле индуцирует переходы только на магнитный подуровень возбужденного состояния с нулевой проекцией момента. В результате мы имеем “чистую” двухуровневую систему на переходе |g,J=0,m=0> |e,J=1,m=0>.

92

Здесь, аналогично (2.87), σ1 матрица Паули представляет матрицу оператора, который стоит в фигурной скобке, вычисленную в базисе { e, g}.

Эволюция вектора состояния ψ(t) системы подчиняется уравнению Шрёдингера

	∂			ˆ
i	∂t		ψ(t)	= H		ψ(t)	(2.92)

с гамильтонианом

ˆ ˆ	ˆ	ω
H = H0	+ Hint =	2	σ3	−dε(t)σ1 .	(2.93)

Если представить ψ(t) в виде разложения

ψ(t) =Се(t)

e +Cg(t)

g

(2.94)

по базисным состояниям, то зависящие от времени амплитуды Се(t) и Cg(t) подчиняются условию нормировки

|Cg(t)|2 + |Се(t)|2=1

(2.95)

и выступают как компоненты вектор-столбца (“спинора”)

ψ(t) =	Ce (t)
	Cg (t) ,	(2.96)

на который действует гамильтониан (2.93), выраженный через матрицы Паули. В этом проявляется аналогия со случаем спина 1/2. Поэтому двухуровневую атомную систему часто называют энергетическим спином.

Подставляя (2.96) и (2.93) в уравнение Шрёдингера (2.92),

93

получаем следующую систему уравнений для амплитуд Се(t) и

Cg(t):

i		dCe		= ω C		e	− ΩcosωtC		g
		dt	2
	dCg		= −ω C						(2.97)
i								− ΩcosωtC ,
		dt	2				g		e
где величина
				Ω =	dε0				(2.98)

называется частотой Раби.

Обычно энергия электродипольного взаимодействия dε0 гораз-

до меньше расстояния ω между уровнями, т.е. dε0 <<			ω или
Ω =	dε0	<<ω .	(2.99)

В этом практически важном случае можно использовать так называемое резонансное приближение и получить простое аналитическое решение системы уравнений (2.97).

Итак, будем искать решение системы (2.97) в виде

−iωt
Ce (t) = a(t) e	2 ,
	(2.100)
Cg (t) = b(t) ei	ωt
	2 .

Подставляя эти выражения в (2.97), получаем следующую систему

94

уравнений для новых функций a(t) и b(t):

	i		da		= −			Ω		(1 + e2iωt ) b ,
			dt				2
										(2.101)
		db
	i				= −	Ω				(1 + e−2iωt ) a .
							2
			dt

Зависимость функций a(t) и b(t) от времени характеризуется двумя существенно отличающимися частотами Ω и ω , которые удовлетворяют сильному неравенству (2.99). Медленная зависимость с частотой Ω определяется первыми членами в круглых скобках в правых частях уравнений (2.101). Вторые слагаемые в круглых скобках являются знакопеременными быстро осциллирующими с частотой ω >> Ω величинами. Этими членами можно пренебречь, так как их вклад в решение будет мал по параметру Ω/ω <<1. После этого уравнения (2.101) принимают вид:

i dadt = − Ω2 b ,

(2.102)

i dbdt = − Ω2 a .

Пренебрежение малыми быстро осциллирующими членами на фоне медленной зависимости от времени с характерной частотой Ω, в результате чего получаются уравнения (2.102), с физической точки зрения представляет собой переход к резонансному приближению. Действительно, рассмотрим первое из уравнений (2.97). Полевой член в этом уравнении описывает вынужденный переход

в возбужденное состояние | e с энергией Ee = 2ω из основного

95

Состояния | g , имеющего энергию Eg = − 2ω . Такой процесс

будет резонансным, если происходит поглощение энергии ω из переменного внешнего поля, и тем самым выполняется закон сохранения энергии Eg+ ω =Ee. Временная зависимость внешнего

поля описывается функцией cosωt = 12 (e−iωt +eiω t ) , в которой

первая экспонента соответствует поглощению атомом энергии ω , а вторая экспонента отвечает процессу излучения. Поэтому в резонансном приближении в первом из уравнений (2.97)

надо в функции cosωt оставить только e−iωt , а во втором урав-

нении — соответственно, eiωt . После этого подстановка (2.100) приводит к уравнениям (2.102).

Складывая и вычитая уравнения (2.102), получаем два независимых уравнения

	i	d	(a ± b) =	Ω	(a ± b) ,	(2.103)
		dt		2

решения которых имеют вид

a(t) ±b(t) = (A ± B)e±i	Ωt
	2 ,	(2.104)

где а(0) = А и b(0) = B есть произвольное (с точностью до нормировки |А|2+|B|2=1) начальное условие. Подставляя далее эти выражения в (2.100), получаем окончательные выражения

Ce (t) = e−iω2t (Acos Ω2t +iB sin Ω2t ) ,

(2.105)

Cg (t) = eiω2t (iAsin Ω2t + B cos Ω2t )

96

для интересующих нас амплитуд

Се(t) и Cg(t),

удовлетворяющих начальным условиям

Се(0) = А и Cg(0) = B.

Если записать эту пару функций в виде “спинора” (2.96), то его временная эволюция

Ce (t)		ˆ
		=U (t)
Cg (t)

описывается унитарной матрицей

		−i		ωt			Ωt
	e			2	cos
ˆ					2
U (t) =			i	ωt		Ωt
	ie			2	sin
					2

AB

ie−iω2t sin Ωt

2 eiω2t cos Ωt , 2

которую можно представить как произведение

(2.106)

(2.107)

−i	ωt	σ3	i	Ωt	σ1
ˆ	2		e	2
U (t) = e

двух поворотов – сначала на угол Ωt вокруг первой оси, а потом на угол −ωt вокруг третьей оси.

Первое из этих преобразований совпадает, очевидно, с выражением (2.75), а второе эквивалентно (2.80).

97

Задачи

ˆ

ˆ

ˆ

1

1. Построить матрицы операторов Sx ,

Sy ,

Sz

для спина

в Sz –

2

представлении.

Решение

Собственные состояния оператора

ˆ

отвечающие собствен-

Sz ,

1

ˆ

ным значениям σ = ±

2

, обозначим как

σ

,

т.е. Sz

σ

= σ

σ .

В Sz – представлении эти состояния используются в качестве базиса для вычисления матричных элементов. Поэтому сам оператор

ˆ

Sz имеет отличные от нуля только диагональные матричные эле-

менты

1 2

ˆ

1 2

=

1

,

−1 2

ˆ

−1 2 = −

1

, −1 2

ˆ

1 2

= 0,

Sz

2

Sz

2

Sz

т.е. матрица имеет вид

ˆ

1 2

0

=

1

σz ,

σz

1 0

Sz

=

0

2

=

.

−1 2

0

−1

ˆ

=

ˆ

ˆ

Далее введем операторы S±

Sx

± iSy . Из коммутационных соот-

ношений (2.28) следует, что

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

[Sz

, S± ] = Sz

S±

− S± Sz

= ±S± .

Здесь надо везде брать либо верхний знак, либо нижний. Рассмот-

рим состояние					ˆ		σ , которое получается из базисного век-
					Ψ = S+
тора		σ					ˆ	. Подействуем на него опера-
			под действием оператора S+
						98

тором ˆz и, воспользовавшись одним из приведенных выше ком-

S

мутационных соотношений, получим

ˆ

ˆ

ˆ

σ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

Ψ = (σ+1)

Ψ .

Sz

Ψ = Sz

S+

= (S+ Sz

+ S+ )

σ =(σ +1)S+

Таким образом, под действием оператора

ˆ

S+ собственное состоя-

ние

σ оператора

ˆ

Sz переходит в другое собственное состояние

ψ

, отвечающее собственному значению

ˆ

назы-

σ +1. Поэтому S+

вают повышающим оператором. Так как максимальное собственное значение равно 12 , то отличный от нуля результат получает-

ˆ

−1 2

. Итак, у оператора

ˆ

ся, если S+ действует на состояние

S+

есть

единственный

отличный

от

нуля

матричный

элемент

1 2

ˆ

который

без ущерба

для

общности

можно

| S+ |–1 2 ≡ λ ,

считать действительным и положительным.

Итак, матрица

ˆ

S+

имеет вид

ˆ

0

λ

0

1

S+ =

= λ

0

.

0

0

0

Читателю предлагается самостоятельно показать, что оператор

ˆ

S−

понижает проекцию на единицу, т.е.

ˆ

ˆ

σ )

ˆ

σ ).

Sz (S−

= (σ −1)(S−

Для этого надо воспользоваться коммутационным соотношением

ˆ	ˆ	ˆ	. Так как минимальное собственное значение рав-
[ Sz S−		] = – S−
			ˆ	есть единственный отличный от нуля матричный
но –1 2 , то у S−

элемент

99

−1 2

ˆ

|1 2

= −1 2

ˆ +

|1 2 = 1 2

ˆ

|–1 2

*

= λ

*

| S−

| S+

| S+

= λ .

ˆ

ˆ

Здесь мы учли, что операторы S+

и S− получаются друг из друга

эрмитовым сопряжением

ˆ +

ˆ

ˆ

+

ˆ

ˆ

ˆ

S+

= ( Sx + i Sy )

= Sx ─i

Sy

= S− .

Для матриц это эквивалентно операциям транспонирования (повороту вокруг главной диагонали) и комплексного сопряжения. По-

этому матрица ˆ имеет вид

S−

ˆ

0

0

S−

= λ

.

1

0

ˆ

ˆ

:

Чтобы найти λ , рассмотрим произведение операторов S+ и

S−

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ2

ˆ2

ˆ ˆ

]

ˆ 2

ˆ2

ˆ

S+ S− =( Sx

+ iSy )( Sx – iSy )= Sx + S y

– i[SxSy

= S

– Sz

+ Sz ,

где

оператор

квадрата

спина

ˆ

2

есть число

S(S+1)= 3 4 ,

а

S

ˆ

ˆ

ˆ

[SxSy ] = iSz . Тогда

ˆ

ˆ

3

ˆ

2

ˆ

S+

S−

=

– Sz + Sz .

4

Вычислив

диагональный

матричный

элемент

1 2 |…|1 2

от

обеих частей этого равенства, получим

1 2

ˆ

ˆ

= 1 2

ˆ

ˆ

|1 2 = λ

2

=

| S+

S− |1 2

| S+

|–1 2 –1 2 | S−

100