Кулик Введение в теорию квантовых вычислений Книга 2 2008

Г л а в а 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

______________________________________________________

Содержание

Возникновение квантовой механики. Поляризация фотонов. Основные принципы. Фундаментальные принципы квантовой механики. Кэтпространство. Бра-пространство. Операторы. Внешнее произведение. Собственные значения и собственные векторы. Наблюдаемые. Измерения. Средние значения. Вырождение. Совместные наблюдаемые. Соотношение неопределенностей. Непрерывный спектр. Чистые и смешанные состояния. Матрица плотности.

1.1. Почему возникла квантовая механика?

Начало новой эры в физике положила работа Макса Карла Эрнста Людвига Планка, опубликованная в декабре 1900 г., в последние дни уходящего XIХ в. Планк занимался поисками формулы, правильно описывающей спектральное распределение интенсивности излучения абсолютно черного тела, т. е. тела, поглощающего все падающее на него излучение. Как было доказано еще в середине XIX в. на основании самых общих термодинамических рассуждений, это распределение должно зависеть только от абсолютной температуры тела Т. Методами статистической термодинамики из общих законов взаимодействия между веществом и излучением можно вывести классическую формулу для спектрального распределения интенсивности излучения. Эта формула находится в резком противоречии с опытом.

Планку удалось устранить это противоречие, но ценой отказа от классического закона взаимодействия между веществом и излучением. Он выдвинул гипотезу о том, что обмен энергией между веществом и излучением происходит не непрерывным образом, а путем передачи дискретных и неделимых порций энергии, или квантов энергии. Планк показал, что квант энергии пропорционален частоте ν излучения: ε = hν, и получил согласующееся с опытом выражение для спектрального распределения, выбирая соответствующим образом постоянную пропорциональности. Эта постоянная h с тех пор носит название постоянной Планка. В даль-

11

нейшем мы будем использовать технически более удобную постоянную = = h / (2π) .

При появлении гипотезы Планка она казалась неприемлемой, большинство физиков видело в ней только математический прием, который удастся в дальнейшем объяснить на основе классических представлений. Однако гипотеза Планка была в дальнейшем подтверждена и дополнена целой серией опытов, позволившей проанализировать элементарные процессы и доказать скачкообразность и прерывность эволюции физических систем на микроуровне.

К 20-м гг. ХХ в. нарастающее количество экспериментальных фактов ясно демонстрировало необходимость отказа от классической физики.

1.Аномальная стабильность атомов и молекул. В опытах Резерфорда была установлена планетарная модель атома, согласно которой электроны вращаются по орбитам вокруг центрального ядра. Однако, как утверждает классическая физика, электрон, вращающийся вокруг ядра, должен терять энергию за счет излучения

ипостепенно падать по спирали на ядро. Опыт не подтверждает этот вывод.

2.Аномально низкие значения удельных теплоемкостей атомов и молекул. Согласно теореме равнораспределения классической физики, каждая степень свободы атомной или молекулярной системы должна вносить величину R/2 в молярную теплоемкость, где R — газовая постоянная. На самом деле, создается впечатление, что вклад вносят только трансляционные и некоторые вращательные степени свободы, а колебательные степени свободы, похоже, не вносят никакого вклада. Кстати, эта фундаментальная проблема классической физики была известна и принималась во внимание еще в середине XIX в. Поэтому истории о том, что физики в начале ХХ в. считали, что классическая физика сумела объяснить все, за исключением нескольких мелочей, являются в значительной степени апокрифическими (см. Фейнмановские лекции по физике, гл. 40, §6).

3.Ультрафиолетовая катастрофа. Согласно классической физике, плотность энергии электромагнитного поля в вакууме бесконечна благодаря расходимости энергии, переносимой коротковолновыми модами. Экспериментально такая расходимость не на-

12

блюдается, и полная плотность энергии конечна.

4. Корпускулярно–волновой дуализм. Классическая физика имеет дело с волнами или частицами. Однако различные эксперименты (например, интерференция света, фотоэффект, дифракция электронов, эффект Комптона) ясно показывают, что волны иногда ведут себя как потоки частиц, а потоки частиц ведут себя как волны. Это совершенно необъяснимо в рамках классической физики.

Итак, физика начала ХХ в. была готова к решительным переменам. Следующими шагами после гипотезы Планка стали теория фотоэффекта Эйнштейна, полуклассическая теория строения атома Бора, затем возникли гипотеза де Бройля, матричная механика Гейзенберга, Борна и Иордана, волновое уравнение Шрёдингера и т. д. Взрыв интеллектуальной активности позволил в период с 1923 по 1930 гг. сформулировать основные постулаты новой науки и получить важнейшие практические результаты.

Одновременно выяснилось, что квантовая механика кардинальным образом отличается от классической физики. Понимание основных законов квантовой механики требует отказа от общепринятых классических представлений. На смену им приходят вероятностные представления. Одновременно требуют изменения привычные взгляды на причинность. Понимание этих особенностей квантовой механики далось не сразу и потребовало нескольких лет научных споров, в том числе таких корифеев как Бор и Эйнштейн. Сложившаяся к середине 30-х гг. так называемая «копенгагенская интерпретация» квантовой механики была принята не сразу и не всеми. Даже в наши дни продолжаются жаркие споры о том, как следует понимать тот странный и удивительный мир, законы которого носят название квантовой механики.

1.2. Поляризация фотонов. Основные принципы

Экспериментально известно, что когда для выбивания фотоэлектронов используется плоскополяризованная электромагнитная волна, у электронов возникает предпочтительное направление эмиссии. Ясно, что поляризационные свойства света, которые обычно связываются с его волновой природой, также распространяются и на корпускулярную природу. В частности, можно припи-

13

сать определенную поляризацию каждому отдельному фотону в пучке света.

Рассмотрим следующий хорошо известный эксперимент. Пучок плоскополяризованного света проходит через поляризатор (например, поляроидную пленку), обладающий тем свойством, что он пропускает только свет, плоскость поляризации которого перпендикулярна оптической оси поляризатора. Согласно классической теории электромагнитных волн, если световой пучок поляризован перпендикулярно оптической оси поляроида, то весь свет проходит, если же пучок поляризован параллельно оптической оси поляроида, то свет не проходит вовсе. Наконец, если свет поляризован под углом α к оптической оси, то проходит доля интенсивности пучка, равная sin2α (закон Малюса). Рассмотрим теперь эти эксперименты с точки зрения представлений о свете как об отдельных фотонах.

Плоскополяризованный в каком-то направлении пучок света состоит из потока фотонов, каждый из которых плоскополяризован в том же направлении. Подобная интерпретация не вызывает никаких трудностей, если плоскость поляризации лежит параллельно или перпендикулярно оптической оси поляроида. В первом случае ни один из фотонов не проходит через поляроидную пленку, во втором проходят все фотоны. Но что произойдет в случае падения пучка, поляризованного под углом к оптической оси?

Этот вопрос задан не очень точно. Переформулируем его как вопрос, относящийся к результату некоторого эксперимента, который мы можем осуществить. Предположим, что мы пускаем на поляроидную пленку один фотон, а затем смотрим, появился ли этот фотон по другую сторону от пленки. Возможные результаты эксперимента: либо наблюдается целый фотон, энергия которого равна энергии падающего фотона, либо фотон не наблюдается вообще. Любой фотон, прошедший через пленку, должен быть поляризован перпендикулярно оптической оси. Кроме того, невозможно представить (в рамках физики), что по другую сторону пленки будет наблюдаться часть фотона. Если мы много раз повторим описанный эксперимент, то в среднем доля sin2α фотонов пройдет через пленку, а доля cos2α поглотится. Таким образом, мы заключаем, что фотон с вероятностью sin2α проходит через пленку как фотон, поляризованный в плоскости, перпендикулярной оптиче-

14

ской оси, а с вероятностью cos2α поглощается пленкой. Эти значения вероятностей приводят к правильным классическим пределам для пучка, содержащего большое количество фотонов.

Заметим, что нам удалось во всех случаях сохранить индивидуальность фотонов, отвергнув детерминизм классической теории и приняв фундаментально вероятностный подход. У нас нет способов узнать, собирается ли отдельный поляризованный под углом фотон пройти через пленку или поглотиться. Мы только знаем вероятность каждого события. Это довольно неопределенное утверждение, однако вспомним, что состояние фотона полностью задается его энергией, направлением распространения и поляризацией. Если мы проводим эксперименты, используя монохроматический свет, падающий по нормали на поляроидную пленку, с определенной поляризацией под углом к оптической оси, тогда состояние каждого отдельного фотона в пучке полностью задано, и ничто не мешает однозначно определить, пройдет ли фотон через пленку или нет.

Предыдущее обсуждение результатов эксперимента с отдельным поляризованным под углом фотоном, падающим на поляроидную пленку, отвечает на все вопросы, которые могут быть на законном основании заданы относительно судьбы фотона, достигшего пленки. Вопросы типа «Что решает, пройдет ли фотон через пленку или нет? Как изменится направление поляризации фотона?»» или, что еще хуже, «Кто это решает?» являются незаконными, так как они не связаны с результатом возможного эксперимента. Тем не менее, требуются некоторые дополнительные рассуждения, чтобы результаты этого эксперимента были скоррелированы с результатами других экспериментов, которые можно осуществить, используя фотоны.

Предполагается, что поляризованный под углом к оптической оси фотон можно рассматривать как находящийся частично в состоянии поляризации, параллельной оси, а частично — в состоянии поляризации, перпендикулярной оси. Иными словами, состояние поляризации под углом к оси есть определенная суперпозиция двух состояний параллельной и перпендикулярной поляризаций. Так как в нашем эксперименте ориентация оптической оси никак не выделена, мы должны заключить, что любое состояние поляриза-

15

ции можно рассматривать как суперпозицию двух взаимно перпендикулярных состояний поляризации.

Когда мы сталкиваем фотон с поляроидной пленкой, мы осуществляем над фотоном наблюдение. На самом деле, мы наблюдаем, поляризован ли фотон параллельно или перепендикулярно оптической оси. Результат осуществления этого наблюдения состоит в том, чтобы заставить фотон перейти полностью в состояние с параллельной или перпендикулярной поляризацией. Иными словами, фотон должен внезапно перескочить из состояния, являющегося смесью двух базисных состояний, в состояние, в котором у фотона поляризация точно определена (либо параллельно, либо перпендикулярно оси). Невозможно предсказать, в какое из двух состояний он перескочит, и это определяется вероятностными законами. Если фотон перескакивает в состояние с параллельной поляризацией, он поглощается. В противоположном случае он проходит через пленку. Заметим, что в этом примере введение в задачу недетерминированности ясно связано с актом наблюдения. Иными словами, недетерминированность возникает в результате неизбежного возмущения состояния, связанного с актом наблюдения.

1.3.Фундаментальные принципы квантовой механики

Врассмотренном примере с фотоном, проходящим через поляроидную пленку, нет ничего особенного. В точности такие же заключения можно получить, изучая другие простые эксперименты (интерференция фотонов, опыт Штерна–Герлаха и пр.) Изучение этих простых экспериментов позволяет сформулировать ряд фундаментальных принципов квантовой механики.

1.Бритва Дирака. Квантовая механика может отвечать только на вопросы, связанные с результатами возможных экспериментов. Любые другие вопросы лежат вне сферы физики.

2.Принцип суперпозиции состояний. Любая микроскопиче-

ская система (например, атом, молекула или частица) в данном состоянии может рассматриваться как находящаяся частично в каждом из двух или более других состояний. Иными словами, любое состояние можно рассматривать как суперпозицию двух или более других состояний. Такие суперпозиции можно реализовать бесконечным числом разных способов.

16

3. Принцип недетерминированности. Наблюдение, произ-

водимое над микроскопической системой, заставляет ее перескочить в одно или более конкретное состояние (которые связаны с типом наблюдения). Невозможно предсказать, в какое конечное состояние перейдет конкретная система, однако можно предсказать вероятность перехода данной системы в данное конечное состояние.

Первый из этих принципов был сформулирован в 1920-е гг. (в наиболее ясной форме это сделал П. Дирак), чтобы уйти от ужасных вопросов типа «Как может система перепрыгивать из одного состояния в другое?» или «Как система решает, в какое состояние ей перепрыгнуть?» Как мы увидим далее, второй принцип есть основа математической формулировки квантовой механики. Третий принцип все еще довольно туманен. Необходимо расширить его так, чтобы мы научились предсказывать, в какие возможные состояния может перескочить система после конкретного типа наблюдений, а также чему равна вероятность перехода системы из одного конкретного состояния в другое.

1.4. Кэт-пространство

Этим разделом мы начинаем изучение основ математического аппарата квантовой механики.

Рассмотрим микроскопическую систему, составленную из частиц или тел с определенными свойствами (масса, момент инерции, заряд и пр.), которые взаимодействуют согласно определенному силовому закону. Существуют различные возможные движения частиц или тел, совместимые с заданными силовыми законами. Назовем каждое такое движение состоянием системы. Согласно принципу суперпозиции состояний любое заданное состояние может рассматриваться как суперпозиция двух или более других состояний. Следовательно, состояния должны быть связаны с математическими величинами определенного типа, которые можно складывать, получая при этом другие величины того же типа. Наиболее очевидным примером подобных величин являются векторы.

Рассмотрим конкретную микроскопическую систему в определенном состоянии, которое мы обозначим А, например, фотон с

17

определенными значениями энергии, импульса и поляризации. Можно рассматривать это состояние как определенный вектор, который мы также обозначим А, лежащий в определенном векторном пространстве, причем другие элементы пространства представляют все другие возможные состояния системы. Такое пространство называется кэт-пространством (по предложению Дирака). Вектор состояния по соглашению записывается как

A. (1.1)

Предположим, что состояние А является на самом деле суперпозицией двух различных состояний В и С. В кэт-пространстве связь этих состояний записывается как

A =		B +		C ,	(1.2)

где B — вектор, связанный с состоянием В и т. д. Например,

состояние B может представлять фотон, распространяющийся в направлении оси z и поляризованный вдоль оси x, а состояние C

может представлять аналогичный фотон, поляризованный вдоль оси y. В этом случае сумма двух таких состояний представляет фотон, плоскость поляризации которого составляет угол 45° с осями x и y (по аналогии с классической физикой). Такое состояние

представляется суммой B+ C в кэт-пространстве.

Предположим, что мы хотим построить состояние, плоскость поляризации которого составляет произвольный угол α с осью x. Это можно сделать путем подходящей суперпозиции состояний В и С, взятых с нужным весом. По аналогии с классической физикой, мы выбираем состояние В с весом cos α, а состояние С — с весом sinα. Новое состояние задается суммой

cos α		B +sin α		C	(1.3)

в кэт-пространстве. Заметим, что мы не получим нового состояния,

18

если возьмем суперпозицию состояния с самим собой. Например, суперпозиция поляризованного вдоль оси y фотона с таким же фотоном (с той же энергией и импульсом) описывает тот же фотон. Отсюда следует, что кэт-вектор

c1		A +c2		A = (c1 +c2 )		A	(1.4)

соответствует тому же состоянию, что и A . Следовательно, кэт-

векторы отличаются от обычных векторов тем, что их величины или длины физически несущественны. Все состояния системы находятся в одно-однозначном соответствии со всеми возможными направлениями векторов в кэт-пространстве, причем не делается

никакого различия между кэт-векторами A и – A . Правда, су-

ществует одно исключение. Если с1 + с2 = 0, то результат суперпозиции — это отсутствие состояния. Оно представляется нулевым

вектором 0 в кэт-пространстве. Нулевой вектор обладает довольно очевидным свойством:

A + 0 = A

(1.5)

для любого вектора A . Тот факт, что кэт-векторы, направленные

в одну сторону, представляют одно и то же состояние, тесно связан с квантованием материи, т. е. с тем, что она представляется в виде более неделимых групп, называемых фотонами, электронами, атомами и т. д. Если мы наблюдаем микроскопическую систему, то или видим состояние (т. е. фотон, атом, молекулу и т. п.), или не видим ничего, но ни при каких условиях мы не можем видеть долю состояния или кратное число состояний. В классической физике, если наблюдаем волну, то ее амплитуда может принимать любое значение от нуля до бесконечности. Таким образом, если бы мы описывали классическую волну вектором, то его величина или длина соответствовала бы амплитуде волны, а направление — частоте или длине волны, так что два вектора разной длины, направленные в одну сторону, представляли бы различные состояния волны.

19

Как следует из формулы (1.3), любое состояние фотона с плоской поляризацией можно представить как линейную суперпозицию двух ортогональных состояний поляризации с весами, являющимися вещественными числами. Предположим, что мы хотим построить состояние фотона с циркулярной поляризацией. Из классической физики известно, что циркулярно поляризованная волна есть суперпозиция двух волн равной амплитуды, плоскополяризованных в ортогональных направлениях и сдвинутых по фазе на 90°. Это означает, что циркулярно поляризованный фотон есть суперпозиция с равными весами фотона, поляризованного вдоль оси x (состояние В), и фотона, поляризованного вдоль оси y (состояние С), при условии, что состояние С сдвинуто по фазе на 90° относительно состояния В. По аналогии с классической физикой, мы можем использовать комплексные числа для одновременного описания веса и относительной фазы в линейной суперпозиции. Так, циркулярно поляризованный фотон представляется как

B +i		C	(1.6)

в кэт-пространстве. В общем случае, эллиптически поляризованный фотон представляется вектором

c1		B +c2		C ,	(1.7)

где с1 и с2 — комплексные числа. Мы приходим к выводу, что если кэт-пространство должно правильно представлять взаимосвязи между возможными состояниями микроскопической системы, это пространство должно быть комплексным векторным пространством.

Предположим, что кэт-вектор R линейно выражается через кэт-векторы A и B , так что

R = c1		A +c2		B .	(1.8)

Мы говорим, что R линейно зависит от A и B . Отсюда сле-

20