Банкстат / Банковская статистика_УМК_2008

Банковская статистика

Аналогично следует вычислять интервальные средние для любых явлений, варианты которых охватывают сплошные интерва- лы времени, как, например, средняя декадная сумма поступлений на счет или выдача со счета и т.п.

Таким образом, чтобы рассчитать интервальную среднюю хронологическую из интервального ряда динамики, нужно объем признака разделить на величину интервала.

Моментная средняя хронологическая из моментного ряда ди- намики с равноотстоящими уровнями вычисляется по следующей формуле:

		1	y1 + y2	+... +	1	yn
	=	2			2		,	(4.24)
y
			n	1

где n – число членов ряда динамики.

Пример 2. Даны данные клиента о задолженности банку на начало каждого месяца (табл. 4.13).

				Таблица 4.13
Динамика задолженности банку на начало месяца
Дата	1 января	1 февраля	1 марта		1 апреля
Задолженность, тыс. руб.	2000	1000	1600		1800

Вычислить среднюю месячную задолженность этого клиента за первый квартал года.

Предварительно вычислим средние величины задолженности клиента в каждый из трех месяцев квартала.

Точное их вычисление должно было бы опираться на 30 (31) остатков задолженности клиента в каждые из суток месяца («сред- ний суточный остаток»). Но, располагая в условии задачи ограни- ченными данными, можно только приближенно принять, что сред- няя задолженность за январь равна средней арифметической из на- чальной и конечной задолженности января, т.е.:

				y1	+y2				2000	+1000	= 1500;
	y	1	=			=
					2+y3					2+1600
				y2					1000		= 1300;
	y	2	=					=
					2					2
				y3	+y 4				1600 +1800		= 1700.
	y	3	=				=
					2					2

170

Глава 4. Статистика кредитных операций

Теперь пример 1 сведен к примеру 2, т.е. к вычислению интер- вальной средней из трех вариантов y1 ; y2 ; y3 , каждая из которых характеризует целый интервал времени (период). Поэтому находим y кв как простую среднюю арифметическую из трех месячных вариантов:

			=	у1 + у2 +у3	= 1500 +1300 +1700 = 1500 тыс. руб.
	у	кв
			3		3

Весь ход вычислений может быть представлен так:

	2000 +1000	+	1000 +1600	+	1600 +1800
	2		2		2		= 1500	тыс. руб.
			3

Преобразовав числитель, получим расчет средней месячной задолженности за первый квартал года по формуле 4.24:

				2000	+1000 +1600 +	1800
		=	2			2		= 1500 тыс. руб.
y	кв
					3

Следовательно, средняя хронологическая из моментного ряда динамики равна сумме показателей этого ряда, деленной на число показателей минус единица. В этой сумме начальный и конечный показатель взяты в половинном размере. Лишь в тех случаях, когда располагают данными только на начало и конец периода, характе- ризуемого средней, т.е. когда n = 2 моментная средняя хронологиче- ская принимает вид обычной простой средней арифметической:

		=	y1 + y2	.	(4.25)
	y
	2

На практике часто применяются иные приемы вычисления моментных средних. Так, среднюю за квартал года обычно вычис- ляют по формуле простой средней арифметической:

укв = у1 + у2 + у3 +y4 ,

4

иногда берут даже:

171

Банковская статистика

укв = у1 + у32 + у3 .

Все такие приемы и формулы теоретически неправильны,

они приводят к неточным значениям средних и поэтому приме-

няться не должны.

В процессе анализа динамической информации часто возни- кает необходимость дать обобщающую характеристику интенсив- ности развития за длительный период. Для этого исчисляются сред- ние темпы (коэффициенты) развития по формуле геометрической средней, которая представляет собой корень n-ной степени из про- изведения всех n вариантов данного признака, т.е.:

n
xy = n ∏xi .	(4.26)
1

Если бы, по условиям или по смыслу задачи, пришлось бы применить веса, то это было бы равносильно тому, что под знаком радикала надо было бы каждую из вариаций взять не один раз, а повторить в качестве сомножителя несколько раз, а именно:

xy = ∑f ∏(xf ),

(4.27)

где символ П означает «произведение», значки 1 и «n» при символе формулы 4.26 означают, что перемножены друг на друга все вари- анты признака х, начиная х1 от первой и кончая хn. f – частота по- вторения признака хi.

Формула 4.26, в которой участвуют одни только варианты признака х без весов f, выражает простую невзвешенную геометри- ческую среднюю, а формула 4.27 – геометрическую среднюю взве- шенную.

Пример 3. Задан моментный ряд динамики остатков задол- женности (выданных ссуд) клиентуры отделению банка за полуго- довой период (табл. 4.14).

Таблица 4.14

Динамика остатков задолженностей клиентуры отделению банка за полугодовой период

Даты	01.01	01.02	01.03	01.04	01.05	01.06	01.07
Задолженность, млн руб. (уi)	50,4	53,7	58,0	62,5	65,1	72,7	78,1
Цепной коэффициент	–	1,065	1,080	1,077	1,041	1,117	1,074
роста (Кi)

172

Глава 4. Статистика кредитных операций

Определить среднегодовой темп роста и прироста за полуго- дие. В приведенных ранее примерах объем осредняемого признака определялся как сумма его значений у отдельных единиц. В силу этого для исчисления среднего показателя применялась средняя арифметическая. В данном примере сумма годовых коэффициентов

(темпов) роста (1,065 + 1,080 + 1,077 + 1,041 + 1,117 + 1,074 = 6,45) ниче-

го не означает с точки зрения экономики. Что же будет общим объ- емом признака в этом случае?

Годовой цепной коэффициент роста есть отношение уровня ряда текущего периода к уровню предыдущего периода. Точно также общий коэффициент роста за полугодие равен отношению уровня последнего месяца к исходному (базисному) (78,1 : 50,4 = 1,549). Это и есть общий объем осредняемого признака. Сумма годовых коэффи- циентов роста, как показано, не дает величин темпа за весь период. Следовательно, средняя арифметическая не годится для исчисления среднего темпа.

Как же образуется величина темпа за весь период? Уровень ряда любого месяца равен уровню ряда предшествующего месяца, умноженному на полугодовой коэффициент роста, т.е.:

53,7 = 50,4 × 1,065; 58 = 53,7 × 1,08 и т.д.

Это означает, что величина уровня ряда последнего месяца может быть получена как произведение уровня базисного месяца на все цепные коэффициенты за полугодие:

78,1 = 50,4 ×1,065 × 1,08 × 1,077 × 1,041 × 1,117 × 1,074.

Отсюда:

5078,,14 = 1,549 = 1,065×1,08×1,077 ×1,041×1,117 ×1,074 .

Таким образом, базисный коэффициент роста за весь период равен произведению цепных коэффициентов роста за период. Из этого следует, что отдельные значения признака связаны между со- бой не знаком суммирования, а знаком умножения. Говоря терми-

нами теории статистики, неизменность произведения вариаций

является определяющим свойством средней геометрической, оп- ределяющим условием ее применения.

Найдем средний коэффициент помесячного изменения (роста) задолженности по формуле средней геометрической:

173

Банковская статистика

K p = n 1 K 1 ×K 2 ×K 3 ×K 4 ×K 5 ×K 6 =

= 6 1,065×1,08×1,077 ×1,041×1,117 ×1,074 = 1,076 или 107,6%,

а средний темп прироста равен:

Tпр = Тр −100 = 107,6 −100,0 = 7,6%.

Среднегодовой коэффициент роста можно рассчитать и по формуле:

n−1 yn = 6 78,1 = 1,076.

y1 50,4

В этом случае можно и не иметь данных о темпах роста в от- дельные месяцы (годы).

§4.10. Анализ показателей оборачиваемости кредита с помощью индексного метода

Индексный метод позволяет проанализировать факторы из- менения скорости оборачиваемости хозяйственных операций. С этой целью применяются агрегатные и средние индексы.

Двухфакторная мультипликативная модель оборота по пога- шению ссуд за анализируемый период можно представить как:

On = K ×n ,

где Оn – оборот по погашению ссуд (общий размер погашенных ссуд);

K – средняя ссудная задолженность за период;

n – число оборотов за период.

Таким образом, факторами изменения оборота по погаше- нию кредитов выступают размер ссудной задолженности ( K ) и

среднее число оборотов ссуд ( n ). В свою очередь, средняя скорость (среднее число) оборота ссуд по банку зависит от двух факторов – изменения структуры ссудной задолженности (di) и индивидуаль-

ной (по отдельным ссудозаемщикам) скорости оборота ссуд ( n i).

174

Глава 4. Статистика кредитных операций

Для изучения влияния отдельных факторов на изменение сред- него числа оборотов строится система взаимосвязанных индексов:

•Индекс среднего числа оборотов кредита переменного состава определяется по формулам:

1

∑On1

∑On0

I

=

n

=

:

(4.27)

n

n0

∑K1

∑K0

или

∑n1

1

∑n0

0

I

=

K

:

K

(4.28)

n

∑

1

∑

0

K

K

∑n1d1

′

′

K

In =

∑n0d0′ , где d

= ∑K

(4.29)

∆

=

1-

0

(4.30)

n

n

n

Данный индекс показывает абсолютное и относительное из- менения среднего числа оборотов кредита за счет двух факторов: изменения числа его оборотов и структурных сдвигов в средних ос- татках кредита.

•Индекс среднего числа оборотов кредита постоянного состава определяется по формулам:

∑n1

∑n0

1

K

K

In =

1

:

1

=

n

(4.31)

∑

1

∑

1

K

K

n'0

In =

∑n1d1

(4.32)

∑n0d1

∆n = n1 −n'0

Индекс показывает абсолютное и относительное изменения среднего числа оборотов кредита за счет одного фактора – измене- ния оборачиваемости кредита.

• Индекс структурных сдвигов определяется по формуле:

∑n0

1

∑n0

0

Incтp =

K

:

K

,

(4.33)

∑

1

∑

0

K

K

175

Банковская статистика

	I	ncòp	=	∑n0d1				,		(4.34)
				∑n0d0
	∆ncтp =				n'0	−			.	(4.35)
							n 0

Он показывает абсолютное и относительное изменения сред- ний оборачиваемости кредита за счет структурных сдвигов в сред- них остатках кредита.

Абсолютное изменение среднего числа оборотов кредита за счет двух факторов составляет:

∆		= ∆n + ∆ncтp .	(4.36)
	n

Для изучения влияния отдельных факторов на изменение

средней длительности пользования кредитом также строится сис-

тема взаимосвязанных индексов: I t ; I t ; Itcтp , т.е.:

Itcтp = It : It .

(4.37)

Рассмотрим каждый из них:

•Индекс средней длительности пользования кредитом переменно- го состава вычисляются по формуле:

	∑				∑
It =		K1		:		K0		,	(4.38)
	∑m1				∑m0

где m – однодневный оборот по погашению кредита, равный Оn : Д. Так как

t = mK , то K = tm

Подставив вместо K его значение в формулу индекса пере- менного состава получим:

			1		∑t1m1		∑t0m0
I	=	t		=		:		.	(4.39)
					∑m1		∑m0
t		t0

Еслипринять, что d = ∑mm , тоформулаэтогоиндексаприметвид:

∑t1d1		(4.40)
It = ∑t0d0	,

176

Глава 4. Статистика кредитных операций

∆t =

t1

−

t0

.

(4.41)

Данный индекс показывает абсолютное и относительное из- менение за счет влияния двух факторов: изменения длительности пользования кредитом отдельных единиц совокупности и измене- ния удельного веса однодневного оборота по погашению отдельных частей совокупности в общей его величине во всей совокупности.

•Индекс средней длительности пользования кредитом постоянно- го состава рассчитывается по формуле:

It = ∑∑t1m1 : ∑∑t0m1 m1 m1

I t = ∑t1d1 . ∑t0d1

∆t = t1 −t'0 .

(4.42)

(4.43)

(4.44)

Данный индекс характеризует относительное и абсолютное изменения при изменениях длительности пользования кредитом отдельных единиц совокупности.

•Индекс средней длительности пользования кредитом структур- ных сдвигов рассчитывается по формуле:

It стр =	∑t0m1	:	∑t0m0
	∑m1		∑m0
	или

I t стр = ∑t0d1

∑t0d0

∆t стр=t'0 −t0

(4.45)

(4.46)

(4.47)

Данный индекс показывает абсолютное и относительное из- менения средней длительности пользования кредитом за счет структурных сдвигов в однодневном обороте.

Общее изменение средней длительности пользования креди- том определяется следующим образом:

177

Банковская статистика

∆t = ∆t +∆t стр .

(4.48)

В статистике кредита для изучения связи оборачиваемости кредита с кредитными вложениями можно использовать агрегатные индексы.

• Индекс среднего остатка кредита определяется по формуле:

				∑t1m1	(4.49)
		I		= ∑t0m0 .
			K
∆		= ∑t1m1 −∑t0m0.			(4.50)
	K

Данный индекс показывает относительное и абсолютное из- менения среднего остатка кредита во времени под влиянием двух факторов: изменений длительности пользования кредитом и одно- дневного оборота по погашению.

•Индекс длительности пользования кредитом определяется по формуле:

		∑t1m1	(4.51)
		It = ∑t0m1 .
∆		= ∑t1m1 −∑t0m1.	(4.52)
	K

Он характеризует относительное изменение средней длитель- ности пользования кредитом во времени и абсолютное изменение средних остатков кредита за счет изменения длительности пользо- вания кредитом.

•Индекс однодневного оборота по погашению определяется по формуле:

		∑m1t0	(4.53)
		Im = ∑m0t0
∆		m = ∑t0m1 −∑t0m0	(4.54)
	K

Он показывает относительное изменение однодневного оборо- та по погашению и абсолютное изменение среднего остатка кредита за счет изменения однодневного оборота по погашению.

Общее абсолютное изменение среднего остатка кредита под влиянием двух факторов t и m равно:

178

Глава 4. Статистика кредитных операций

∆

K

= ∆

K

m +∆

Kt

(4.55)

Между рассматриваемыми выше индексами существует взаи- мосвязь. Размер кредитных вложений, выражаемый средним остат- ком кредита, зависит от длительности пользования ссудой, рассчи- танной по данным оборота по выдаче (t’) и от величины одноднев- ного оборота по выдаче (m’), т.е.:

K = t′m′.

На основании этой связи можно записать систему взаимо-

связанных индексов среднего остатка кредитов:

	I			= I t′ ×Im′				(4.56)
		K
∑t1′m1′			∑t1′m1′			∑t0′m1′
	=				×		.	(4.57)
∑t0m0′			∑t0m1′			∑t0′m0′

Таким образом, индекс среднего остатка кредита равен произ- ведению индекса длительности пользования кредитом, вычислен- ный по данным его оборота по выдаче, на индекс однодневного оборота по выдаче. Разность числителя и знаменателя первого ин- декса после знака равенства дает абсолютный прирост среднего ос- татка кредита, обусловленного изменением длительности пользова- ния ссудой, а второго индекса – абсолютный прирост его вследствие изменения однодневного оборота кредита по выдаче. Оборот кредита по погашению связан с числом оборотов и средним остатком кредита: чем выше оборачиваемость ссуд по числу оборотов, тем при прочих равных условиях будет больше размер оборота по погашению; с дру- гой стороны, если будут увеличиваться средние остатки задолженно- сти, то будут возрастать и оборот кредита по погашению.

Связьэтихиндексов можнопредставить следующим равенством:

Iоб.п = I

×I

(4.58)

n

K

∑n1

∑n1

1

∑n0

1

K

1

K

K

(4.59)

∑n0

= ∑n0

×

∑n0

K0

K1

K0

Вычитая из числителя знаменатель индекса числа оборотов, получаем абсолютный прирост размера оборота по погашению за

179