Номер рабочего	Выпущено изделий	Номер рабочего	Выпущено изде-
	за смену, шт.		лий за смену, шт.
1	16,0	6	17,0
2	17,0	7	18,0
3	18,0	8	20,0
4	17,0	9	21,0
5	16,0	10	18,0

В данном примере варьирующий признак – выпуск продукции за смену. Численные значения признака (16,17 и т.д.) называют вариантами. Определим среднюю выработку продукции рабочими данной группы:

х =	∑х	=	16,0 +17,0 +18,0 +... +18,0	=	178	=17,8 шт.
	п		10		10

Задачи

1.1.На часовом заводе рабочий обработал за каждый час дета-

лей: за 1-й – 10 деталей, 2-й – 11, 3-й – 9, 4-й – 10, 5-й – 11, 6-й – 13, 7-й – 8, 8-й – 8. Определите среднюю выработку рабочего за час.

1.2.Исчислите среднесуточную добычу угля на шахте по следующим данным:

число месяца	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
добыча угля в сутки, тыс. т	4,5	4,6	4,9	5,0	5,4	5,0	5,4	5,8	5,9	6,2

1.3. Имеются следующие данные об уборке картофеля в колхозах района по данным на 20 сентября 2003 г.:

			Таблица 5.1
Номер колхоза	Процент	Номер колхоза	Процент выполнения
	выполнения плана		плана
1	67,0	12	33,0
2	50,0	13	27,0
3	47,0	14	10,0
4	41,0	15	16,0
5	41,0	16	14,0
6	39,0	17	22,0
7	32,0	18	17,0
8	30,0	19	11,0
9	27,0	20	21,0
10	25,0
11	16,0

85

Исчислите средний процент выполнения плана уборки картофеля на 20 сентября по району.

1.4. Имеются следующие данные о выпуске продукции по 23 предприятиям отрасли (млн. руб.):

			Таблица 5.2
Номер	Выпуск	Номер	Выпуск
предприятия	продукции	предприятия	продукции
1	2,8	13	3,4
2	9,4	14	1,3
3	1,9	15	3,4
4	2,5	16	5,0
5	3,5	17	4,9
6	3,2	18	3,6
7	2,3	19	6,0
8	2,5	20	3,2
9	8,6	21	2,9
10	1,5	22	5,6
11	3,2	23	5,4
12	4,2

Исчислите средний размер продукции на один завод.

5.2.Исчисление средней арифметической взвешенной

вдискретном ряду распределения

Методические указания и решение типовых задач

Простая средняя арифметическая применяется в случаях, когда имеются отдельные значения признака, т.е. данные не сгруппированы. Если данные представлены в виде рядов распределения или группировок, то средняя исчисляется иначе.

Задача 2. Имеются следующие данные о заработной плате ра- бочих-сдельщиков:

По данным дискретного ряда распределения видно, что одни и те же значения признака (варианты) повторяются несколько раз. Так, варианта х1 встречается в совокупности 2 раза, а варианта x3 – 16 раз и т.д.

86

			Таблица 5.3
Месячная заработная плата (варианта – х) т. руб.		Число рабочих f		x • f
x1 =110		f1 =2		220
x2	=130	f2 =6	780
x3	=160	f3 =16	2 560
x4 =190		f4 =12	2 280
x5	=220	f5 =14	3 080
		50		8 920

Число одинаковых значений признака в рядах распределения называется частотой, или весом и обозначается символом f .

Исчислим среднюю заработную плату одного рабочего х :

	средняя заработная плата		=	заработная плата всех рабочих				;
		одного рабочего		число рабочих
х =		110 2 +130 6 +160 16 +190 12 + 220 14			=	8920	=178,4 т.руб.
		50		50

Фонд заработной платы по каждой группе рабочих равен произведению варианты на частоту, а сумма этих произведений дает общий фонд заработной платы всех рабочих.

В соответствии сэтимрасчеты можно представитьв общемвиде:

х =	x1 f1 + x2 f2 + x3 f3 +... + xn fn	=	∑xf
			∑f .
	f1 + f 2+ f3 +... + fn

Полученная формула называется средней арифметической взвешенной. Из нее видно, что средняя зависит не только от значений признака, но и от их частот, т.е. от состава совокупности, от ее структуры. Изменим в условии задачи состав рабочих и исчислим среднюю в измененной структуре.

Задача 3. По цеху имеются данныео заработной плате рабочих:

		Таблица 5.4
Месячная заработная плата (х), т.руб.	Число рабочих f	xf
110	2	220
130	4	520
160	8	1280
190	20	3800
220	16	3520
	50	9340

87

Средняя заработная плата одного рабочего составит:

х = ∑∑xff = 934050 =186,8 т. руб.

Частотами (весами) могут быть относительные величины, взятые в процентах или коэффициентах. Метод расчета средней и конечный результат от этого не изменяется.

Задача 4. Представим данные о численности рабочих в условии приведенной выше типовой задачи в относительных величинах:

Таблица 5.5

	Месячная зара-	Число рабочих в про-	x • f	Число рабочих в	x • f	′
	ботная плата	центах к итогу (f)		коэффициентах ( f ′ )
	(х), т. руб.
	110	4	440	0,04	4,4
	130	8	1040	0,08	10,4
	160	16	2560	0,16	25,6
	190	40	7600	0,40	76,0
	220	32	7040	0,32	70,4
		100,0	18680	1,00	186,8

Средняя заработная плата рабочего, взвешенная по процентным соотношениям, будет равна средней, полученной при решении типовой задачи 3:

	х =	110 4 +130 8 +160 16 +190 40 + 220 32	=	18680		=186,8 т. руб.
		100			100

Если весами являются частоты, выраженные в коэффициентах, то вычисления упрощаются. Так как сумма коэффициентов всегда равна единице, то расчет средней сводится к определению суммы произведений вариант начастоты(в данномслучаекоэффициенты):

х =110 0,04 +130 0,08 +160 0,16 +190 0,40 +220 0,32 =186,8 т. руб.

Задачи

2.1. Имеются следующие данные о производстве продукции рабочими бригады за каждый час рабочей смены:

88

Таблица 5.6

Число рабочих	Количество продукции, произведенной за час одним рабочим, шт.
	1-й	2-й	3-й	4-й	5-й	6-й	7-й	8-й
3	9	10	10	10	9	9	8	7
2	11	12	12	11	11	12	10	9
5	13	15	16	15	17	15	12	17
4	12	14	15	14	14	15	15	13
1	10	11	12	11	11	11	12	10

Определите: 1) среднюю выработку продукции за час одним рабочим по каждой группе; 2) среднюю выработку продукции за час одним рабочим бригады в целом.

2.2. Имеютсяданныео времени простоястанков по цехам завода:

		Таблица 5.7
		Число станков
Номер цеха	Время простоя станка за смену, мин.
1	70	7
2	40	9
3	30	12
4	25	6
5	90	6

Определите среднее время простоя одного станка.

2.3. Имеются следующие данные о численности учеников и сроках их обучения по профессиям:

		Таблица 5.8
Профессия	Число учеников	Срок обучения, мес.
Токарь	50	5
Слесарь	100	4
Фрезеровщик	50	5
Шлифовальщик	35	6
Литейщик	20	6
Сварщик	60	6
Модельщик	35	6
Плотник	30	3
Другие	120	3
Итого	500

Исчислите средний срок обучения учеников.

2.4. Имеются следующие данные о распределении рабочих двух заводов по тарифным разрядам:

89

			Таблица 5.9
	Тарифный разряд	Число рабочих на заводе
		№ 1	№2
	1-й	4	2
	2-й	13	10
	3-й	16	15
	4-й	30	30
	5-й	20	25
	6-й	17	18
		100	100

Определите средний тарифный разряд рабочего: 1) по заводу №1; 2) по заводу №2. Сравните полученные результаты.

3.1. При изучении стажа работы работников завода получены следующие данные:

			Таблица 5.10
	Стаж работы	Число работников в процентах к итогу
		рабочие	ИТР
	1	2	0,5
	3	10	2,5
	4	20	8,0
	7	21	15,0
	8	26	42,0
	10	11	20,0
	12	7	7,0
	13	3	5,0
		100	100,0

Определите средний стаж работы: 1) рабочих; 2) инженернотехнических работников.

3.2. В отчетном периоде распределение работников по продолжительностиотпусковхарактеризовалось следующими показателями:

			Таблица 5.11
	Продолжительность отпусков	Число работников в процентах к итогу
		рабочие	ИТР
	15	16	-
	18	20	17
	21	11	2,0
	23	15	1,0
	24	22	70,0
	30	16	10,0
		100	100,0

90

Исчислите среднюю продолжительность отпусков: 1)для рабочих; 2) для инженерно-технических работников. Сравните полученные данные.

3.3. В результате исследования продолжительности простоев рабочих по организационно-техническим причинам получены следующие данные:

			Таблица 5.12
	Продолжительность простоев, мин.	Удельный вес рабочих
		токари завода	ткачихи комбината
	20	0,24	0,26
	40	0,24	0,23
	120	0,32	0,49
	180	0,13	0,01
	420	0,07	0,01
	Итого	1,00	1,00

Определите среднее время простоев: 1) токарей завода; 2) ткачих комбината. Сравните полученные результаты.

3.4. В результате выборочного обследования рабочих машиностроительного завода получены следующие данные о времени сверхурочной работы за неделю:

					Таблица 5.13
				Сверхурочное время, ч
	Номер группы	Число работающих
		мужчин	женщин	мужчин	женщин
	1	3,0	30,0	1,8	1,6
	2	10,0	56,0	3,6	2,0
	3	9,0	10,0	4,5	2,4
	4	52,0	1,0	4,7	5,5
	5	26,0	3,0	7,6	8,5
		100,0	100,0

Определите среднее сверхурочное время работы за неделю: 1) для мужчин; 2) для женщин. Сравните полученные результаты.

91

5.3. Исчисление средней арифметической взвешенной

винтервальном ряду распределения с закрытыми

иоткрытыми интервалами

Методические указания и решение типовых задач

Статистический материал в результате обработки может быть представлен не только в виде дискретных рядов распределения, но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами. Рассмотрим расчет средней арифметической для таких рядов.

Задача 5. Имеются следующие данные:

			Таблица 5.14
Группы рабочих по количеству произ-	Число ра-	Середина		x • f
водственной продукции за смену, шт.	бочих	интервала
	f	х
3-5	10	4		40
5-7	30	6	180
7-9	40	8	320
9-11	15	10	150
11-13	5	12	60
Итого	100,0		750

Исчислим среднюю выработку продукции одним рабочим за смену. В данном ряду варианты осредняемого признака (продукция за смену) представлены не одним числом, а в виде интервала «от - до». Рабочие первой группы производят продукцию от 3 до 5 шт., рабочие второй группы – от 5 до 7 шт. и т. д. Таким образом, каждая группа ряда распределения имеет нижнее и верхнее значения варианта, или закрытые интервалы. Исчисление средней по сгруппированным данным производится по формуле средней арифметической взвешенной:

х = ∑∑xff .

Чтобы применить эту формулу, необходимо варианты признака выразить одним числом (дискретным). За такое дискретное чис-

92

ло принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значения интервала. Так, для первой группы дискретная величина х будет равна:

3 +2 5 = 4.

Дальнейший расчет производится обычным методом определения средней арифметической взвешенной:

х = ∑∑xff = 100750 = 7,5.

Итак, все рабочие произвели 750 шт. изделий за смену, а каждый в среднем произвел 7,5 шт.

Преобразуем рассмотренный выше ряд распределения в ряд с открытыми интервалами.

Задача 6. Имеются следующие данные о производстве продукции за смену:

		Таблица 5.15
	Группы рабочих по количеству произведенной продукции	Число рабочих
	за смену, шт.
	До 5	10
	5 –7	30
	7 –9	40
	9 – 11	15
	Свыше 11	5
	Итого	100

В таких рядах условно величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы – величине интервала предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше.

Задачи

4.1. В результате группировки данных по капитальным затратам по леспромхозам получено:

93

	Таблица 5.16
Группы леспромхозов по размеру капитальных затрат,	Число леспромхозов
тыс. руб.
8 –10	6
10 –12	8
12 –14	15
14 –16	15
16 –18	10
18 –20	6
Итого	60

Определите средний размер капитальных затрат на одно хозяйство.

4.2. Имеютсяследующиеданныео составе строительных бригад:

				Таблица 5.17
	Группы бригад по	Число бригад	Группы бригад по	Число бри-
	числу рабочих		числу рабочих	гад
	16 –20	80	36 –40	40
	20 -25	44	41 –45	20
	26 –30	100	46 -50	16
	31 –35	200
	Итого			500

Определите среднее число рабочих в бригаде.

4.3. Состав работников предприятия по стажу работы характеризуется следующими показателями:

			Таблица 5.18
	Группы работников по стажу, лет	Число работников, чел.
		рабочих	служащих
	1-3	26	4
	3-5	30	12
	5-10	25	43
	10-15	12	17
	15-20	5	13
	Свыше 20	2	10
	Итого	100,0	100,0

Определите средний стаж работы: 1) рабочих; 2) служащих. Сравните полученные результаты.

94

4.4. В результате выборочной проверки получено следующее распределение рабочих по проценту допускаемого брака:

			Таблица 5.19
	Процент допускаемого брака	Число рабочих в цехе
		№1	№2
	0,5-1,0	4	2
	1,0-2,0	20	12
	2,0-3,0	16	20
	3,0-5,0	5	13
	Свыше 5,0	5	1
		50	50

Исчислите средний процент брака, допускаемого рабочими:

1)в цехе №1; 2) в цехе №2.

5.1.Имеются следующие данные о распределении заводов цементнойпромышленности по величине производственной мощности:

Таблица 5.20

	Производство цемента в год, тыс. т.	Удельный вес заводов
		в процентах к итогу

До 100	10
100-200	15
200-300	25
300-500	21
500-700	16
Свыше 700	13
Итого	100

Вычислите среднее производство цемента в год на одном заводе. При расчетах принять значение варианты для первой группы равным 70.

5.2. По району имеются следующие данные о распределении колхозов по объему валовой продукции:

валовая продукция, млн. руб.	до 5	5-7	7-9	9-11	Свыше 11
число колхозов	5	7	3	3	7

Определите средний размер валовой продукции, приходящейся на один колхоз в данном районе.

95