Таблица 6.12
Затраты времени на одну деталь, мин.	Число рабочих в проценах к итогу
До 24	2
24-26	12
26-28	34
28-30	40
30-32	10
32-34	2
	100

Определите среднее квадратическое отклонение затрат времени на одну деталь.

6.4. Расчет дисперсии по формуле σ2 = х2 −х2 .

По индивидуальным данным и в рядах распределения

Методические указания и решение типовых задач

Техника вычисления дисперсии сложна, а при больших значениях вариант и частот может быть громоздкой. Расчеты можно упростить, используя свойствадисперсии. Напомнимнекоторыеизних.

1.Уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего признака в определенное число раз дисперсии не изменят.

2.Уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсии не изменят.

3.Уменьшение или увеличение каждого значения признака в какое-то число раз к соответственно уменьшает или увеличивает

дисперсию в к2 раз, а среднее квадратическое отклонение – в к раз. 4. Дисперсия признака относительно произвольноц величины всегда больше дисперсии относительно средней арифметической на квадрат разности между средней и произвольной величиной:

σ 2 =σ 2 А −(х− А)2 . Если А равно нулю, то приходим к следующему

равенству: σ 2 = х2 −(х)2 , т. е дисперсия признака равна разности

между средним квадратом значений признака и квадратом средней. Каждое свойство при расчете дисперсии может быть применено самостоятельно или в сочетании с другими. Воспользуемся ука-

занными свойствами для вычисления дисперсии.

123

Задача									6.			Рассмотрим							расчет				дисперсии по формуле
σ 2 =			−				2
	х2								по индивидуальным данным.
					х
Имеются следующие данные о производительности труда ра-
бочих:
																										Таблица 6.13
Табельный номер рабочего														Произведено продукции, шт. (варианта х )													х2
									1														8				64
									2														9				81
									3														10				100
									4														11				121
									5														12				144
					Итого																		50				510
Произведем следующие расчеты:
																=	50			=10шт.;
															х
																		5
											2		∑х2	∑х 2							510		50			2
		2				2
σ			= х						−(х)			=	п	=						=			−			=102 −100 = 2,0.
																					5
														п									5

Порядок расчета дисперсии следующий:

1.определяют среднюю арифметическую х = ∑пх;

2. возводят в квадрат среднюю арифметическую

(х)2 = ∑х 2 ;п

3. возводят в квадрат каждую варианту ряда х2i ; 4. находят сумму квадратов вариант ∑x2i ;

5. делят сумму квадратов вариант на их число, т.е. опреде-

ляют средний квадрат х2 = ∑nх2i ;

6.определяют разность между средним квадратом признака

иквадратом средней х2 −(х)2 .

Покажемрасчетдисперсиипоэтомуметодуврядахраспределения. Задача 7. Исчислим дисперсию в дискретном ряду распреде-

ления, используя табл. 6.6.

124

Таблица 6.14

	Произведено продукции	Число рабочих	xf	х2	x2 f
	одним рабочим, шт. ( х )	f
	8	7	56	64	448
	9	10	90	81	810
	10	15	150	100	1500
	11	12	132	121	1452
	12	6	72	144	864
	Итого	50	500	510	5074

								2				2		∑х	2	f		∑xf	2
		σ		2	= х				− х =											;
														∑ f			−	∑ f
	2		5074						500					2
σ		=					−							=101,48 −100 =1,48.
				50						50

Получили тот же результат, что в табл. 6.6 этой главы. Покажем расчет дисперсии в интервальном ряду распределения. Задача 8. Имеются следующие данные о распределении по-

севной площади колхоза по урожайности пшеницы:

							Таблица 6.15
				xf
Урожайность	Посевная		х		х	2		x	2	f
пшеницы, ц/га ( х )	площадь, га	f
				1500
14-16	100		15		225			22500
16-18	300		17	5100	289			36700
18-20	400		19	7600	361			144400
20-22	200		21	4200	441			88200
	1000			18400				341800

В подобных примерах прежде всего определяется дискретное значение признака в каждом интервале, а затем применяется метод расчета, указанный выше:

	2			2		2			∑х	2	f		∑xf	2
σ		= х		− х			=								=
									∑ f			−	∑ f
341800		18400						2
		−							= 341,8 −338,56 = 3,24.
1000				1000

Этот способ расчета дисперсии удобен при машинной обработке данных.

125

Порядок расчета дисперсии по этой формуле в нашем примере следующий: 1) определяют среднюю арифметическую х = ∑∑xff ; 2)

возводят в квадрат полученную среднюю (х)2 ; 3) возводят в квадрат каждую варианту х2i ; 4) умножают квадраты вариант на частоты х2i f ; 5) суммируют полученные произведения ∑х2i f ; 6) делят полученную сумму на сумму весов и получают средний квадрат призна-

			∑x2i f	; 7) находят разность между средним значением квад-
ка x2 =
			∑ f

ратовиквадратомсреднейарифметической, т.е. дисперсию х2 − х2 .

Задачи

7.1. Имеются следующие показатели по однородным предприятиям (млн. руб.):

					Таблица 6.16
	Стоимость	Выпуск		Стоимость	Выпуск
Номер	основных	продукции,	Номер	основных	продукции,
предприятия	фондов,	млн.руб.	предприятия	фондов,	млн.руб.
	млн.руб.			млн.руб.
1	12	6,0	6	16	7,0
2	8	4,0	7	11	4,6
3	10	4,4	8	13	6,5
4	7	2,4	9	14	7,0
5	9	3,6	10	10	4,5

Исчислите дисперсию основных фондов, используя формулу

σ2 = х2 − х2 .

7.2.По данным задачи 7.1. исчислите дисперсию выпуска про-

дукции, используя формулу σ 2 = х2 − х2 .

7.3. Исчислите дисперсию по данным задачи 4.3 гл. 6, исполь-

зуя формулу σ 2 = х2 − х2 .

7.4. Имеются следующие данные о себестоимости единицы продукции А по шести заводам отрасли:

Номер завода		1	2	3	4	5	6
Себестоимость единицы продукции, руб.		3,0	3,1	2,9	3,0	2,8	3,2
126

Определите дисперсию себестоимости единицы продукции,

используя формулу σ 2 = х2 − х2 .

8.1. По данным задачи 3.1. гл. 5 исчислите дисперсию стажа работы инженерно – технических работников завода по формуле

σ 2 = х2 − х2 .

8.2. По данным задачи 2.4. гл. 5, используя формулу σ 2 = х2 −(х2 ), исчислите дисперсии тарифных разрядов рабочих: 1)

по заводу 1; 2) по заводу 2.

8.3. По данным задачи 5.1. гл. 7 исчислите дисперсию размера продукции на 100 га сельскохозяйственных угодий, используя формулу σ 2 = х2 − х2 .

9.1. Затраты труда на 1 ц в совхозах области за отчетный год характеризуются следующими данными:

	Таблица 6.17
Группы совхозов по затратам труда на 1 ц зерна, чел. – ч.	Число совхозов
0,8-1,2	101
1,2-1,6	90
1,6-2,0	70
2,0-2,4	15
2,4-2,8	20
2,8 и выше	4
Итого	300

Исчислите дисперсию затрат труда по формуле σ 2 = х2 − х2 . 9.2. Распределение предприятий по объему выпуска продукции

за год характеризуется следующими данными:

	Таблица 6.18
Продукции за год, млн.руб.	Число предприятий
До 2	2
2-4	5
4-6	8
6-8	3
8-10	2
	20

127

Исчислите дисперсию выпуска продукции, используя формулу

σ2 = х2 − х2 .

9.3.По данным типовой задачи 5 гл. 5 исчислите дисперсию производительности труда рабочих за смену, используя формулу

σ2 = х2 − х2 .

6.5. Расчет дисперсии по способу моментов

Методические указания и решение типовой задачи

Расчет дисперсии можно значительно упростить, если применить способ моментов (способ отсчета от условного нуля). Этим способом удобно пользоваться, когда значения признака заданы в виде рядов распределения с равными интервалами.

Задача 9. Покажем расчет дисперсии по способу моментов, используя данные задачи 7 гл. 5.

Представим условие и необходимые расчеты в следующей таблице:

Группы электроламп по времени горения, ч

A

800-1000

1000-1200

1200-1400

1400-1600

1600-1800

1800-2000

Итого

Число ламп f

1

20

80

160

90

40

10

400

x

2

900

1100

1300

1500

1700

1900

х-А = х- 1300

3

-400 -200 0 200 400 600

Таблица 6.19

х − А						х − А					x − A 2							x		− A		2
			=					f	=							=						f	=
	i						i				i									i
=	х −1300				=		x −1300			f		x −1300 2							x −1300					2
											=							=						f
	200						200
														200						200
	4							5						6
																				7
	-2						-40							4						80
	-1						-80							1						80
	0							0						0						0
	1						90							1						90
	2						80							4						160
	3						30							9						90
							80													500

Поясним расчеты. Воспользуемся тем, что уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину не изменяет дисперсии. Применяя это свойство, можно исчислить дисперсию не по заданным вариантам, а по от-

128

клонениям их от какого-то постоянного числа. В рядах распределения с равными интервалами за постоянное число принято брать варианту ряда с наибольшей частотой. В нашем примере это А = 1300. Отнимая это число от каждой варианты, получим значения признака, представленные в гр. 3 табл. 6.19. Отклонение от постоянной условной варианты в третьей группе равно нулю.

Используя третье свойство дисперсии, уменьшим все варианты в несколько раз. Для всех вариант кратным числом является величина интервала (i = 200). Разделив (x – А) на 200, получим упрощенные значения признака, приведенные в гр. 4. Используя оба свойства дисперсии и воспользовавшись формулой σ2 =х2 −х2 , получим следующую формулу для расчета дисперсии:

σ 2 =i2 [x 2 −(x)2 ],

или в развернутом виде:

σ

2

= i

2 ∑x2 f

−

∑xf 2

∑f

∑f

.

Исчислим дисперсию для нашего примера:

σ

2

2

500

80

2

2

(1,25 −0,04)= 48400.

= 200

−

= 200

400

400

Среднее

квадратическое

отклонение

составит:

σ = 48400 = 220 .

Среднее квадратическое отклонение может быть исчислено сразу по

формуле
σ =i x	2	2	=i	∑x2	f		∑xf	2
		−(x)		∑f		−		=
							∑f

		500		80		2
	= 200		−			= 200 1,25		−0,04 = 200 1,21 = 220.
		400
				400
	В статистике величину						∑x2 f	называют моментом второго
							∑f
								∑x f
	порядка и условно обозначают символом m2, а величину ∑f								–
							129