Определим пределы, в которых находится среднее число детей в семье в городе А:

х= ~х ± ~х =1,5 ±0,5.

Свероятностью 0,997 можно утверждать, что среднее число

детей в семье в городе А находится в пределах 1,0 ≤ x ≤ 2,0.

Задачи

1.1.В порядке механической выборки было подвергнуто испытанию на разрыв 100 нитей из партии. В результате обследования установлена средняя крепость пряжи 320 г при среднем квадратическом отклонении 20 г. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится средняя крепость пряжи в партии.

1.2.Для определения зольности угля месторождения в порядке случайной выборки взято 400 проб. В результате исследования установлена средняя зольность угля в выборке 16% при среднем квадратическом отклонении 4%. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средняя зольность угля месторождения.

1.3.В порядке случайной повторной выборки из партии было взято 100 проб продукта А. В результате исследования установлена средняя влажность продукта А в выборке 9%. при среднем квадратическом отклонении 1,5%. С вероятностью 0,954 определите пределы,

вкоторых -находится средняя влажность продукта А в партии.

1.4.В порядке случайной выборки обследовано 900 деревьев, по этим данным установлен средний диаметр одного дерева 235 мм и среднее квадратическое отклонение равно 27 мм. С вероятностью 0,683 определите границы, в которых будет находиться средний диаметр деревьев Б генеральной совокупности.

2.1.На заводе с числом рабочих 1000 человек было проведено 2%-ное выборочное обследование возраста рабочих, методом случайного бесповторного отбора, В результате обследования получены следующие данные:

возраст рабочих, лет	до 30	30—40	40—50	50—60	свыше60
число рабочих	8	22	10	6	4

С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний возраст рабочих завода.

2.2. Для изучения производительности труда токарей на машиностроительном заводе было проведено 30%-ное выборочное

146

обследование 100 рабочих методом случайного бесповторного отбора. В результате обследования получены данные о часовой выработке рабочих:

часовая выработка, шт.	18–20	20–22	22–24	24–26	26–28	28–30
число рабочих	2	8	24	50	12	4

С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится среднее время обработки одной детали токарями завода.

2.3. На машиностроительном заводе с числом рабочих 5000 человек было проведено 4%-ное выборочное обследование квалификации рабочих методом случайного бесповторного отбора.

В результате обследования получены следующие данные:

квалификация рабочих (тарифные разряды	1	2	3	4	5	6
число рабочих	10	30	40	70	30	20

С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний тарифный разряд рабочих завода.

2.4. В районе 2000 семей. С целью определения среднего размера семьи района было проведено 3%-ное выборочное обследование семей методом случайного бесповторного отбора. В результате обследования получены следующие данные:

размер семьи, чел	0	1	2	3	4	5	6	7	8
число семей	4	8	14	16	8	4	3	2	1

С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний размер семьи в районе.

7.2. Определение ошибки выборочной доли при собственно-случайном и механическом отборе

Методические указания и решение типовых задач

При повторном отборе средняя ошибка выборочной доли рассчитывается по формуле

μ =	ω(1−ω)	,
	п
	147

где w = mn - выборочная доля, доля единиц, обладающих изучае-

мым признаком;

m – число единиц, обладающих изучаемым признаком; n – численность выборки.

Задача 3. При обследовании 100 образцов изделий, отобранных из партии в случайном порядке, оказалось 20 нестандартных. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля нестандартной продукции в партии.

Генеральная доля равна: P = w ±Δw . Чтобы определить грани-

цы генеральной доли, необходимо определить выборочную долю и ошибку выборочной доли.

Рассчитаем долю нестандартной продукции в выборочной совокупности:

ω = тп ; ω =10020 = 0,2.

Предельная ошибка выборочной доли с вероятностью 0,954 составит:

	= t	ω(1−ω)	= 2	0,2 0,8	= 0,08.
		n		100

Определим нижнюю границу генеральной доли: w − w = 0,2 - -0,08=0,12.

Определим верхнюю границу генеральной доли: w + w = 0,2 + 0,08 = 0,28.

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля нестандартной продукции в партии товара находится в пределах

12% ≤ р≤28%.

При бесповторном способе отбора средняя ошибка выборочной доли определяется по формуле

μ =	w(1−w)		−	n
		1			.
	n
				N

Задача 4. В городе 500 тыс. жителей. По материалам учета городского населения было обследовано 50 тыс. жителей методом случайного бесповторного отбора. В результате обследования установлено, что в городе 15% жителей старше 60 лет. С вероятностью 0,683 определите пределы, в которых находится доля жителей в городе в возрасте старше 60 лет.

148

Генеральная доля равна Р± w. . Выборочная доля равна

w = 15%.

С вероятностью 0,683 определим ошибку выборки для доли:

	= t		w (1− w)			−	n		=
w					1
			n
							N
=1		0,15 0,85		0,9 = 0,048 ≈ 0,05,или5%.
			50

Определим верхнюю границу генеральной доли: Рв = 0,15+ + 0,045 = 0,28 (или 20%).

Определим нижнюю границу генеральной доли: Рн = 0,15 –

–0,05 = 0,1 (или 10%).

Свероятностью 0,683 можно утверждать, что доля жителей в

возрасте старше 60 лет в городе А находится в пределах 10% ≤

≤ р ≤ 20%.

Задачи

3.1.При обследовании 500 образцов изделий, отобранных из партии готовой продукции предприятия в случайном порядке, 40 оказались нестандартными. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля нестандартной продукции, выпускаемой заводом.

3.2.Научно-исследовательским институтом для изучения общественного мнения населения области о проведении определенных мероприятий в порядке случайного повторного отбора было опрошено 600 человек. Из числа опрошенных 360 человек одобрили мероприятия. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится доля лиц, одобривших мероприятия.

3.3.в порядке случайной повторной выборки было обследовано 80 предприятий отрасли промышленности, из которых 20 предприятий имели долю нестандартной продукции выше 0,5%. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится доля предприятий, выпускающих более 0,5% нестандартной продукции промышленности данной отрасли.

3.4.В порядке случайной повторной выборки было отобрано 400 единиц готовой продукции предприятий, из которых 20 единиц были забракованы. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля бракованной продукции предприятия.

149

4.1.В городе 2000 семей. По результатам переписи населения города методом случайного бесповторного отбора обследовано 80 семей. В результате обследования установлено, что 24 семьи состоят из четырех и более человек. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля семей в городе, состоящих из четырех и более человек.

4.2.Для изучения мнения студентов о проведении определенных мероприятий из совокупности, состоящей из 10 тыс. человек, методом случайного бесповторного отбора опрошено 600 студентов. Из них 240 одобрили план мероприятий. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля студентов, одобривших мероприятия, во всей совокупности.

4.3.Из 100 тыс. семей, проживающих в городе А, методом случайного бесповторного отбора обследовано 2000 семей. Анкеты, посланные семьям, содержали вопрос: живет ли семья в квартире более 10 лет? Из опрошенных семей 600 дали утвердительный ответ. С вероятностью 0,997 определите долю семей в городе А, проживающих в квартире более 10 лет, в генеральной совокупности.

4.4.Из 5 тыс. человек, совершивших правонарушения в течение года, было обследовано 500 правонарушителей методом механического отбора. В результате обследования установлено, что 300 человек выросли в ненормальных семейных условиях. С вероятностью 0,997 определите долю правонарушителей, выросших в ненормальных семейных условиях, в генеральной совокупности.

7.3.Определение необходимой численности выборки

при изучении средней для собственно-случайного и механического отбора

Методические указания и решение типовых задач

В практике проектирования выборочного наблюдения возникает потребность определения численности выборки, которая необходима для обеспечения определенной точности расчета генеральных средних. Предельная ошибка выборки и ее вероятность при этом являются заданными.

При бесповторном случайном отборе необходимая числен-

ность выборки вычисляется по формуле

150

	n =		t2σ2 N	.
		N	2 +t2σ2

Задача 5. В районе А проживает2000 семей. В порядке случайной бесповторной выборки предполагается определить средний размер семьи при условии, что ошибка выборочной средней не должна превышать 0,8 человека с вероятностью Р = 0,954 и при среднем квадратическом отклонении 2,0 человека.

Рассчитаем необходимую численность выборки:

	n =	4 4,0 2000		= 24 семьи.
		2000 0,64 + 4	4,0

При повторном случайном отборе численность выборки определяется по формуле

n = t2σ2 2 .

Задача 6. для определения средней длины детали необходимо провести выборочное обследование методом случайного повторного отбора. Какое количество деталей надо отобрать, чтобы ошибка выборки не превышала 2 мм, с вероятностью 0,954 при среднем квадратическом отклонении 8 мм?

Рассчитаем необходимую численность выборки: n = 22 482 = 64 детали.

Задачи

5.1.Для определения среднего размера вклада определенной категории вкладчиков в сберегательных кассах города, где число вкладчиков 5000, необходимо провести выборку лицевых счетов методом механического отбора. Предварительно установлено, что среднее квадратическое отклонение размера вкладов составляет 120 руб. Определите необходимую численность выборки при условии, что с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превысит 10 руб.

5.2.Для установления среднего возраста 50 тыс. читателей библиотеке необходимо провести выборку из читательских карточек методом механического отбора. Предварительно установлено, что среднее квадратическое отклонение возраста читателей равно 10 годам. Определите необходимую численность выборки при условии, что с вероятностью 0,954 ошибка выборки будет не более двух лет.

151

5.3.На ткацкой фабрике работает 6 тыс. ткачих. Для установления норм выработки предполагается провести случайный бесповторный отбор ткачих. Предварительным обследованием установлено, что среднее квадратическое отклонение дневной выработки составляет 25 м. Определите необходимую численность выборки при условии, что с вероятностью0,954 ошибка выборкине превысит5 м.

5.4.На заводе, где работает 10 тыс. рабочих, необходимо установить их средний стаж работы методом механической выборки. Предварительным обследованием установлено, что среднее квадратическое отклонение стажа работы равно 5 годам. Определите необходимую численность выборки при условии, что с вероятностью 0,997 ошибка выборки не превысит 1,0 года.

6.1.В городе А с целью определения средней продолжительности поездки населения на работу предполагается провести выборочное обследование методом случайного повторного отбора. какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,997 ошибка выборочной средней не превышала 5 мин при среднем квадратическом отклонении 20 мин.

6.2.С целью определения среднего диаметра деревьев необходимо провести выборочное обследование деревьев методом случайного повторного отбора. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборочной средней не превышала 15 см при среднем квадратическом отклонении 25 см.

6.3.С целью определения качества пряжи на прядильной фабрике предполагается провести выборочное обследование пряжи методом случайного повторного отбора. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборочной средней не превышала 4 г при среднем квадратическом отклонении 20 г.

6.4.На заводе предполагается провести выборочное обследование средней часовой выработки рабочих методом случайного повторного отбора. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 5 шт., если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 225.

152

7.4. Определение необходимой численности выборки при изучени выборочной доли для собственно-случайного и механического отбора

Методические указания и решение типовых задач

При случайном бесповторном отборе для расчета необходимой численности выборки для определения доли с заданной точностью применяется следующая формула:

n =		t2 w(1−w) N
		2 N +t2 w(1	−w)
или по формуле		0,25t 2 N
n =				,
		2 N +0,25t 2

если дисперсия доли неизвестна.

Задача 7. В городе А 10 тыс. семей. В порядке механической выборки предполагается определить долю семей в городе А с числом детей три и более. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,02 человека, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,2.

Рассчитаем необходимую численность выборки:

n =	4	0,2 10000	=1666	семей.
	(0,02)	2 10000 + 4 0,2

При повторном способе отборки численность выборки рассчитывается по формуле

n = w(1− w)t 2 .

2

Задача 8. Используя данные условия предыдущей типовой задачи, рассчитаем необходимую численность выборки при условии, что метод отбора повторный.

	Численность выборки: n =	4 0,2	= 2000 семей.
		0,0004

Задачи

7.1. На заводе с числом рабочих 15 тыс. человек в порядке механической выборки предполагается определить долю рабочих со

153

стажем работы 20 лет и более. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,03, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,2?

7.2.В городе А поживает 20 тыс. семей. В порядке случайной бесповторной выборки установите долю семей с доходом на душу 50 руб. и менее. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,997 ошибка выборки не превышала 0,03, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,16?

7.3.В городе Н с числом семей 10 тыс. предполагается методом случайного бесповторного отбора определить долю семей с детьми ясельного возраста. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,04, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,24?

7.4.На заводе с числом рабочих 12 тыс. необходимо установить долю рабочих, обучающихся в высших учебных заведениях, методом механического отбора. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,997 ошибка выборки не превышала 0,08, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,16?

8.1.По данным задачи 7.1 гл. 7 определите численность выборки при условии, что метод отбора повторный.

8.2.По данным задачи 7.2 гл. 7 определите численность выборки при условии, что метод отбора повторный.

8.3.По данным задачи 7.3 гл. 7 определите численность выборки при условии, что метод отбора повторный.

8.4.По данным задачи 7.4 гл. 7 определите численность выборки при условии, что метод отбора повторный.

7.5.Определение ошибки выборочной средней типической выборки

Методические указания и решение типовой задачи

При типической (районированной) выборке генеральная совокупность разбивается на однородные типические группы по како- му-либо признаку или районы. Из каждой типической группы или

154

района в случайном порядке отбираются единицы выборочной совокупности. Отбор единиц из типов может производиться тремя методами: пропорционально численности единиц типических групп, непропорционально численности единиц типических групп, пропорционально колеблемости в группах.

Рассмотрим типическую выборку с пропорциональным отбором единиц из типических групп. Объем выборки из типических групп при отборе, пропорциональном численности единиц типических групп, определяется по формуле

ni = n NN1 ,

где ni – объем выборки из типической группы; n – общий объем выборки;

Ni – объем типических групп;

N – объем генеральной совокупности.

Средняя ошибка выборочной средней при бесповторном слу-

чайном и механическом способе отбора внутри типических групп рассчитывается по формуле

μ =	σ		2		−	n
		n		1			,
						N

где σ 2 - средняя из выборочных дисперсий типических групп.

Задача 9. В районе 10 тыс. семей. Из них 5 тыс. семей рабочих, 4 тыс. семей колхозников, 1 тыс. семей служащих. Для определения числа детей в семье была проведена 10%-ная типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности единиц типических групп. Внутри групп применялся метод механического отбора. Результаты выборки представлены в табл. 7.2.

				Таблица 7.2
		Число семей	Среднее число	Среднее квадратиче-
	Типы семей	в генеральной
			детей в семье, чел.	ское отклонение, чел.
		совокупности
	Рабочие	5000	2,3	1,2
	Служащие	1000	1,8	0,5
	Колхозники	4000	2,8	2,5

С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится среднее число детей в семье в районе.

155

Рассчитаем объем выборки в каждой типической группе при условии, что численность выборочной совокупности равна 1000 семей:

n1 =1000 100005000 = 500 семей; n2 =1000 100001000 =100 семей; n3 =1000 100004000 = 400 семей.

Рассчитаем общую выборочную среднюю из групповых выборочных средних путем взвешивания последних по численности

отобранных групп:
~		~			2,3 500 +1,8 100 + 2,8 400
		Σxi ni
x	=			=		= 2,45 чел.
		Σn			1000
		i

Средний размер семьи в выборке равен 2,45 человека. определим среднюю из внутригрупповых дисперсий:

σ 2 = Σσi 2ni ;

Σni

σ 2 = 1,44 500 +0,25 100 +6,25 400 =3,24. 1000

Рассчитаем среднюю ошибку выборочной средней типической выборки:

μ =	σ		2		−	n
		n		1			;
						N

	μ =	3,24				1000			= 0,053 чел.
				1	−
		1000				10000

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что в районе среднее число детей в семье находится в пределах 2,3 ≤ х ≤ 2,6.

Задачи

9.1. В области 150 тыс. молочных коров. Из них: в районе А – 70 тыс. коров, в районе Б – 50 тыс. коров, в районе В – 30 тыс. коров. Для определения средней удойности коров области произведена 1%-ная типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности коров в районах (внутри районов применялся случай-

156

ный бесповторный метод отбора). Результаты выборки представлены в табл. 7.3.

		Таблица 7.3
Район	Средний удой коров, кг	Среднее квадратическое отклонение, кг
А	3200	700
Б	3000	400
В	2500	240

С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средняя удойность коров в области.

9.2. Для определения средней заработной платы продавцов была произведена 20%-ная типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности типических групп (внутри типов применялся метод случайного бесповторного отбора). Результаты выборки представлены в таблице.

			Таблица 7.4
Тип магазина	Средняя заработная	Среднее квадратиче-	Число продавцов,
	плата, руб	ское отклонение, руб	чел
I	100	5	150
II	110	20	500
III	150	10	350

С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средняя заработная плата всех продавцов магазинов.

9.3. В целях изучения производительности четырех типов станков, производящих одни и те же операции, была произведена 10%-ная типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности типических групп (внутри групп применялся метод случайного бесповторного отбора). Результаты выборки представлены в табл. 7.5.

			Таблица 7.5
Тип станка	Число отобранных	Среднее число деталей,	Среднее квадрати-
	станков	изготовленных на станке	ческое отклонение,
		за час работы, шт.	шт.
I	15	400	40
II	30	520	20
III	45	700	50
IV	10	610	70

157

С вероятностью 0,997 определите предел, в котором находится среднее число деталей, производимых на одном станке за 1 ч работы для всей совокупности станков.

9.4. Для выявления затрат времени на обработку деталей рабочими разных квалификаций на заводе была произведена 10%-ная типическая выборка пропорционально численности выделенных групп (внутри типичных по специальности групп произведен механический отбор). Результаты обследования представлены в табл. 7.6.

			Таблица 7.6
Группы рабочих	Число рабочих	Средние затраты	Среднее квадрати-
		времени на обработку	ческое отклонение,
по квалификации	в выборке	одной детали, мин	мин
I	60	10	1
II	120	14	4
III	80	20	2
IV	40	25	6

С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находятся средние затраты времени на обработку деталей рабочими завода.

7.6. Определение ошибки выборочной доли в районированной и типической выборке

Методические указания и решение типовой задачи

При типическом и районированном способе отбора с пропорциональным отбором внутри типических групп или районов средняя ошибка выборки для доли определяется по формуле (отбор внутри групп механический или случайный бесповторный)

μ =		w(1− w)			−	n
				1			,
		n
						N

где w(1− w) - средняя из внутригрупповых дисперсий.

Задача 10. для выявления доли простоев из-за несвоевременного поступления полуфабрикатов была проведена фотография рабочего дня 10% рабочих четырех различных цехов. Отбор рабочих внутри цехов производился методом механического отбора. В результате выборки были получены следующие данные:

158

		Таблица 7.7
		Удельный вес простоев
Цех	Число рабочих в выборке	из-за несвоевременного поступления
		полуфабрикатов, %
№1	20	5
№2	36	10
№3	14	15
№4	30	2

С вероятностью 0,954 требуется определить пределы, в которых находится доля простоев на заводе из-за несвоевременного поступления полуфабрикатов.

Рассчитаем долю простоев из-за несвоевременного поступления полуфабрикатов в выборке:

w = ΣΣwni ni ;

w = 5 20 +10 36 +15 14 +30 2 = 7,3%. 100

Рассчитаем дисперсии типических групп:

	I	σ 2	=ω (1−ω ) = 5 95 = 475;
		I	1	1
для группы	II	σII2	=ω2 (1−ω2 ) =10 90 =900;
	III	σIII2	=ω3 (1−ω3 ) =15 85 =1275;
	IV	σIV2	=ω4 (1−ω4 ) = 2 98 =196;

Средняя из внутригрупповых дисперсий определяется по формуле

w(1− w) = Σwi (1− wi ) ni ;

Σni

		=	475 20 +900 36 +1275 4 +196 30							= 656,3.
	w(1− w)
						100
Определим среднюю ошибку выборочной доли:
				656,3			100
			μw =		1	−			= 2,42%.
				100			1000

Рассчитаем предельную ошибку выборки для доли с вероятно-

стью 0,954:

= 2 2,42 = 4,8%.

159

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля постоев рабочих из-за несвоевременного поступления полуфабрикатов находится в пределах 2,5% ≤ р ≤ 12,1%.

Задачи

10.1. Для установления дальности побега машин на трех автобазах методом механического отбора было отобрано 300 путевок. Из них (путевок) на автобазе 1 – 150, 2 – 60, 3 – 90. В результате обследования установлено, что доля машин с дальностью побега свыше 100 км составляет (процентов) на автобазе 1 – 30, на автобазе 2 – 15 и на автобазе 3- 25. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля машин с дальностью пробега, превышающей 100 км, по трем автобазам.

10.2. С целью определения доли брака по всей партии изготовленных деталей была произведена 10%-ная типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности единиц типических групп. Внутри типических групп применялся метод механического отбора. Результаты выборки представлены в таблице:

			Таблица 7.8
			Процент брака
	Тип станка	Выработка одного станка, шт.
			по данным выборки
	1	1500	2,0
	2	2000	3,0
	3	4000	1,5
	4	5000	1,0
	5	2500	1,8

С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится доля брака во всей партии деталей, изготовленных на всех станках.

10.3. Для определения доли рабочих завода, не выполняющих норму выработки, была произведена 10%-ная типическая выборка рабочих с отбором числа рабочих пропорционально численности типических групп. Внутри типических групп применялся метод случайного бесповторного отбора. Результаты выборки представлены в таблице:

160

			Таблица 7.9
		Число рабочих	Доля рабочих,
	Цех		не выполняющих норму
		в выборке
			выработки, %
	Основной	120	5
	Вспомогательный	80	2

С вероятностью 0,683 определите пределы, в которых находится доля рабочих завода, не выполняющих норму выработки.

10.4. С целью определения доли расходов на питание населением города А методом типической выборки был произведен 5%- ный отбор семей. Внутри типов производилась механическая выборка. Результаты выборки представлены в таблице:

		Таблица 7.10
	Численность выборки	Доля расходов на питание, %
Одинокие	30	33
Семейные	70	45

С вероятностью 0,954 определите предел, в котором находится доля расходов на питание семей города А.

7.7. Определение необходимой численности выборки для расчета выборочной средней районированной и типической выборки

Методические указания и решение типовой задачи

Численность типической или районированной выборки при случайном бесповторном или механическом отборе внутри типов районов определяется по формуле

n =	t2 σ 2 N						.
	2 N +t2
				σ 2
Объем выборки из типических						групп, районов при отборе,

пропорциональном численности единиц типических групп, районов, определяется по формуле

ni = n NNi . 161

Задача 11. В районе 10 тыс. семей. Из них 5 тыс. – семьи рабочих, 1 тыс. – семьи служащих, 4 тыс. – семьи колхозников. Для определения среднего размера семьи района проектируется типическая выборка со случайным бесповторным отбором внутри типических групп. Какое число семей необходимо отобрать, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,5 человека, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия среднего размера семьи в выборке равна 9?

Рассчитаем необходимую численность типической выборки:

	n =	t2	σ 2 N				=	4	9 10000	=141	семья.
								(0,5)	2 1000 + 4 9
		2 N +t2σ 2

Необходимо отобрать 141 семью, из них: семей рабочих

n1 =141100005000 = 71;

семей колхозников

n2 =141100004000 =56;

семей служащих

n3 =141100001000 =14.

Задачи

11.1.В области 10 тыс. молочных коров. Из них в районе (тыс.) А – 5, Б – 3, В – 2. с целью определения средней удойности коров предполагается провести типическую выборку коров с пропорциональным отбором внутри типических групп. Отбор внутри групп механический. Какое количество коров необходимо отобрать, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 5 л, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия типической выборки равна 1600?

11.2.В механическом цехе завода 1000 рабочих. Из них 800 квалифицированных и 200 неквалифицированных. С целью изучения производительности труда предполагается провести типическую выборку рабочих с пропорциональным отбором. Отбор внутри групп механический. Какое число рабочих необходимо отобрать, чтобы с вероятностью 0,907 ошибка выборки не превышала 6 единиц изделий, при среднем квадратическом отклонении 25?

162

11.3.На машиностроительном заводе 1600 станков четырех типов. Из них I типа – 320, II типа – 480, III типа – 640 и IV типа –

160.для изучения производительности станков предполагается провести типическую выборку станков с пропорциональным отбором. Отбор внутри типов механический. Какое количество станков необходимо отобрать, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 10 единиц изделий? На основе предыдущих обследований известно, что дисперсия типической выборки равна 4900.

11.4.В городе 15 тыс. семей. Из них 10 тыс. – семьи рабочих. 4 тыс. – служащих, 1 тыс. – колхозников. Для определения среднего размера семьи в городе предполагается провести типическую выборку семей с пропорциональным отбором внутри типических групп. Отбор внутри типов механический. Какое количество семей необходимо отобрать, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,5 человека, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия типической выборки равна 2,25?

7.8.Определение необходимой численности выборки

для расчета выборочной доли при районированной и типической выборке

Методические указания и решение типовой задачи

Если отбор внутри типических групп производится методом случайного бесповторного или механического отбора, то численность выборочной совокупности рассчитывается по формуле

n =	t2	w(1	− w)		N	,

2 N +t2 w(1− w)

где w(1− w) - средняя из внутригрупповых дисперсий.

Задача 12. В городе 12 тыс. жителей. Из них 7 тыс. женщин и 5 тыс. мужчин. С целью определения доли жителей в возрасте старше 60 лет предполагается провести типическую выборку жителей с пропорциональным отбором. Отбор внутри типов механический. Какое количество жителей необходимо отобрать, чтобы с вероятностью 0,997 ошибка выборки не превышала 5%? На основе предыдущих обследований известно, что дисперсия типической выборки 1600.

163

Определим необходимую численность типической выборки по формуле

	n =	9 1600 12000	=500 чел.
		25 12000 +9 1600

Определим численность выборки первой типической группы (женщин)

n1 = 55012 7 = 319 чел.

Определим численность выборки второй типической группы (мужчин)

n2 = 55012 5 = 231чел.

Задачи

12.1.В городе 5 тыс. семей. Из них 1 тыс. составляют одинокие и 4 тыс. – семейные. С целью определения доли семей, имеющих отдельные квартиры, предполагается провести типическую выборку семей с пропорциональным отбором внутри типических групп. Отбор внутри групп механический. Какое количество семей необходимо отобрать, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 5%? На основе предыдущих обследований известно, что дисперсия типической выборки равна 100.

12.2.На заводе 2000 рабочих. Из них 1500 мужчини 500 женщин.

Сцелью определения доли рабочих, которые проработали на заводе более 5 лет, предполагается провести типическую выборку рабочих с пропорциональным отбором. Отбор внутри групп механический. Какое число рабочих необходимо отобрать, чтобы с вероятностью 0,683 ошибка выборки не превышала 3%, если на основе обследований известно, что дисперсиятипическойвыборкиравна2100?

12.3.На заводе 4000 рабочих. Из них 3000 со стажем более 5 лет, а 1000 рабочих со стажем менее 5 лет. С целью определения доли рабочих завода, не выполняющих норму выработки, предполагается провести типическую выборку рабочих с пропорциональным отбором. Отбор внутри типов механический. Какое количество рабочих необходимо отобрать, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 5%? На основе предыдущих обследований известно, что дисперсия типической выборки равна 900.

12.4.В области 10 тыс. семей. Из них 6 тыс. рабочих, 3 тыс. колхозников, 1 тыс. служащих. С целью определения доли семей,

164

имеющих более трех детей, предполагается повести типическую выборку с пропорциональным отбором. Отбор внутри типов механический. Какое количество семей необходимо отобрать, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 5%? Дисперсия типической выборки равна 2100.

7.9. Определениеошибкивыборочнойсреднейприсерийнойвыборке

Методические указания и решение типовой задачи

При серийной выборке генеральную совокупность делят на одинаковые по объему группы – серии. В выборочную совокупность отбирают серии. Внутри серий производится сплошное наблюдение единиц, попавших в серию.

При бесповторном отборе серий средняя ошибка выборочной средней определяется по формуле

μ =	δ 2		−	r
	r	1			,
				R

где δ 2 - межсерийная дисперсия средних;

R – число серий в генеральной совокупности; r - число отобранных серий.

Задача 13. В механическом цехе завода в десяти бригадах работает 100 рабочих. В целях изучения квалификации рабочих была произведена 20%-ная серийная бесповторная выборка, в которую вошли 2 бригады. Получено следующие распределение обследованных рабочих по разрядам:

						Таблица 7.11
		Разряды	Разряды	Рабочие	Разряды	Разряды
	Рабочие	рабочих в	рабочих в		рабочих в	рабочих в
		бригаде 1	бригаде 2		бригаде 1	бригаде 2
	1	2	3	6	6	4
	2	4	6	7	5	2
	3	5	1	8	8	1
	4	2	5	9	4	3
	5	5	3	10	5	2

Необходимо определить с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится средний разряд рабочих механического цеха.

165

Определимвыборочные средниепо бригадам иобщуюсреднюю:

~

2 +

4 +5 + 2 +5 + 6 +5

+8 + 4 +5

46

xI

=

=

= 4,6;

10

10

~

3 +6 +1+5 +3 + 4 + 2 +1+3 + 2

xII =

= 3,0;

10

~

30 + 46

xC

=

=3,8.

20

Определим межсерийную дисперсию:

δ 2

=

(4,6 −3,8)2 +(3,0 +3,8)2

= 0,64.

2

Рассчитаем среднюю ошибку выборки:

0,64

2

μ~ =

1−

= 0,5.

x

2

10

Вычислим предельную ошибку выборки с вероятностью 0,997.

~ = 0,5 3 =1,5.

x

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний разряд

рабочих механического цеха находится в пределах

2,0 ≤ x ≤ 5,0.

Задачи

13.1.Для установления среднего срока службы деталей из совокупности, включающей 1000 шт. кассет с деталями, методом механического отбора проверено 10 шт. кассет. Результаты проверки показали, что средний срок службы деталей в отобранных кассетах составил (месяцев): 7; 8,2; 8,6; 7,8; 8,0; 5,8; 8,8; 7.2; 6,1; 6,0. Сред-

ний срок службы деталей в выборке – 7,6 месяца. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний срок службы деталей во всей совокупности.

13.2.Выпускаемая продукция упаковывается в ящики по 100 шт. Из 100 ящиков, поступивших на склад готовой продукции, в порядке случайной бесповторной выборки было отобрано 5, все детали которых проверены на вес. Результаты поверки показали, что средний вес деталей в ящиках составил (г): 50, 54, 46, 44, 52. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится средний вес деталей, поступивших на склад готовой продукции.

13.3.Изготовленная продукция упаковывается в ящики по 50 шт. Из 500 ящиков, поступивших на склад, в порядке случайной бесповторной выборки обследовано 10 ящиков, все детали которых

166

проверены на вес. Результаты проверки показали, что средний вес деталей в ящиках составил (г): 30, 34, 28, 36, 40, 26, 38, 34, 44, 50.

Средний вес деталей в выборке равен 32 г. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний вес деталей, поступивших на склад готовой продукции.

13.4. Из совокупности, разбитой на 100 равных по величине серий, методом механического отбора отобрано 10 серий. Межсерийная дисперсия равна 20, а средняя величина признака в выборке

– 140. с вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится генеральная средняя.

7.10. Определение ошибки выборочной доли при серийной выборке

Методические указания и решение типовой задачи

При бесповторном серийном отборе средняя ошибка выборки

для доли определяется по формуле

μw	=	δ 2		−	r
		r	1			,
					R

где δ 2 - межсерийная дисперсия доли.

Задача 14. 200 ящиков деталей упакованы по 40 шт. в каждом. Для проверки качества деталей был проведен сплошной контроль деталей в 20 ящиках (выборка бесповторная). В результате контроля установлено, что доля бракованных деталей составляет 15%. Межсерийная дисперсия равна 49. с вероятностью 0,997 определим пределы, в которых находится бракованной продукции в партии ящиков.

Определим среднюю ошибку выборки для доли:

	μw	=	49		−	20		=1,48%.
				1
			20			200

Предельная ошибка выборки для доли с вероятностью 0,997

равна: w =1,48 3 = 4,44%.

С вероятностью 0.997 можно утверждать, что доля бракованных деталей в партии будет находиться в пределах от 10,59

до 19,41%.

167

Задачи

14.1.Из партии семян, разбитой на 40 равных по величине серий, методом случайного бесповторного отбора было проверено 8 серий на всхожесть. В результате обследования установлено, что доля взошедших семян составляет 75%. Межсерийная дисперсия равна 900. с вероятностью 0,683 определите пределы, в которых находится доля всхожести семян во всей партии.

14.2.В механическом цехе завода имеется 30 бригад по 20 человек в каждой. Для определения доли рабочих цеха, не выполняющих нору выработки, методом случайного бесповторного отбора обследовано 10 бригад. В результате обследования установлено, что 10% рабочих не выполняют норму выработки. Дисперсия серийной выборки равна 160. с вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля рабочих, не выполняющих норму выработки в генеральной совокупности.

14.3.С чулочной фабрики на базу поступило 2 тыс. коробок чулок, упакованных по 20 пар в каждой коробке. Для проверки качества чулок методом механического отбора проверено 50 коробок.

Врезультате проверки установлено, что 80% чулок первого сорта. Дисперсия серийной выборки равна 16. с вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля чулок первого сорта в генеральной совокупности.

14.4.Из механического цеха завода на склад готовой продукции поступило 500 ящиков деталей по 50 шт. в каждом. Для установления доли бракованных деталей методом механического отбора было проверено 10 ящиков. Результаты проверки показали, что доля бракованных деталей составляет 10%. Дисперсия серийной выборки равна 25. с вероятностью 0,954 определите долю бракованных деталей по всей партии деталей, поступивших на склад готовой продукции.

7.11.Определение необходимой численности выборки

для расчета выборочной средней при серийной выборке

Методические указания и решение типовой задачи

Численность выборки при серийном бесповторном отборе оп-

ределяется по формуле

168

r =		t2δ 2 R	.
	R
		2 +t2δ

Задача 15. В механическом цехе завода А имеется 10 бригад по 20 рабочих в каждой бригаде. Для установления квалификации рабочих цеха проектируется серийная выборка методом механического отбора. Какое количество бригад необходимо отобрать чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 1,0, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия выборки равна 0,9?

Численность выборочной совокупности равна:

	r =			4 9 10	≈3 бригады.
		1		10 + 4 0,9

Задачи

15.1.Совокупность разбита на 100 серий. Межсерийная дисперсия равна 20. сколько серий надо отобрать бесповторным методом, чтобы с вероятностью 0,997 ошибка выборочной средней не превысила 4?

15.2.На склад завода поступило 100 ящиков готовых изделий по 80 шт. в каждом. Для установления среднего веса деталей необходимо провести серийную выборку деталей методом механического отбора так, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 2 г. На основе предыдущих обследований известно, что дисперсия серийной выборки равна 4.

15.3.Из партии готовых изделий 1000 ящиков для определения среднего срока службы изделий необходимо провести серийную выборку методом механического отбора так, чтобы с вероятностью 0,997 ошибка выборки не превышала 1 месяц. На основе предыдущих обследованийизвестно, что дисперсиясерийнойвыборкиравна12.

15.4.Изготовленная продукция упакована в 400 ящиков по 100 шт. в каждом. Для установления среднего веса детали необходимо провести серийную выборку деталей медом механического отбора так, чтобы с вероятностью 0,997 ошибка выборки не превышала 2 г. На основе предыдущих обследований известно, что дисперсия серийной выборки равна 25.

169

ГЛАВА 8. РЯДЫ ДИНАМИКИ

Практические занятия по данной теме предусматривают решение следующих типов задач и упражнений: 1) установление вида ряд динамики (1.1 – 1.4); 2) приведение рядов динамики к сопоставимому виду (2.1 – 3.4); 3)определение среднего уровня ряда динамики (4.1 – 5.4); 4) определение показателей изменения уровней ряда динамики, определение среднего абсолютного прироста (6.1- 7.4); 5) определение в рядах динамики среднего темпа роста и прироста (8.1 – 14.4); 6) приведение рядов динамики к общему основанию (15.1 – 16.4); 7) определение в рядах динамики общей тенденции развития (17.1 – 19.4); 8) определение в рядах внутригодовой динамики индексов сезонности (20.1 – 23.4).

8.1. Установление вида ряда динамики

Методические указания и решение типовых задач

В зависимости от качественной особенности изучаемого явления, а также вида исходных данных ряда динамики подразделяются на ряды абсолютных, относительных и средних величин. При этом первоначальными являются ряды динамики абсолютных величин, которые могут быть моментными или интервальными рядами динамики.

Отнесение ряда динамики к тому или иному виду имеет важное значение для их изучения. Выбор соответствующих приемов и способов анализа зависит от задач исследования и определяется характером исходных данных. Поэтому, приступая к анализу рядов динамики, важно правильно их классифицировать.

Задача 1. Численность населения Камчатской области характеризуется следующими данными (по данным Камчатского статистического ежегодного сборника, на начало 2003 года, тыс.чел.).

1999	2000	2001	2002	2003
396,1	389,1	384,2	380,2	376,9

Приведенный ряд динамики – моментный, уровни этого ряда даны по состоянию на определенную дату (момент времени).

Задача 2. Объем производства пищевой рыбной продукции (без рыбных консервов) по Камчатской области характеризуется следующими данными (по данным Камчатского статистического ежегодного сборника 2003 г., тыс. тонн).

170

1998	1999	2000	2001	2002
335,7	309,5	483,3	480,8	438,2

Это интервальный ряд динамики. Его уровни характеризуют суммарный итог выпуска рыбной пищевой продукции за четко определенные отрезки времени (за каждый год с 1 января по 31 декабря). Поэтому данные интервальных рядов динамики не содержат повторного счета и могут быть суммированы.

Задача 3, Имеются следующие данные, характеризующие урожайность сельскохозяйственных культур области (в хозяйствах всех категорий; ц с 1 га):

			Таблица 8.1
	2000	2002	2003
Зерновые культуры	9,5	15,6	18,5
Картофель	103	120	122

Это ряды динамики средних величин, которые характеризуют среднюю урожайность, приходящуюся на единицу земельной площади. Подобно интервальным рядам, они характеризуют периоды времени, но суммирование их уровней самостоятельного значения не имеет.

8.2. Приведение рядов динамики к сопоставимому виду

Методические указания и решение типовых задач

Ряды динамики получают в результате сводки и обработки материалов периодического статистического наблюдения. Повторяющиеся во времени (по отчетным периодам) значения одноименных показателей в ходе статистической сводки систематизируются в хронологической последовательности. Поскольку ряды динамики охватывают отдельные обособленные периоды времени, в течение которых могут происходить изменения, вызывающие несопоставимость уровней ряда. Это делает ряды динамики непригодными для анализа. Поэтому важнейшим требованием подготовки ряда динамики для анализа является установление в соответствии с задачами исследования причин, которые

171

вызывают несопоставимость статистических данных, и и последующая обработка исходных материалов для достижения сопоставимости ряда динамики.

Приведем наиболее характерные для ряда динамики случаи несопоставимости, а также приемы обработки уровней ряда динамики для приведения их к сопоставимому виду. Несопоставимость уровней ряда динамики может возникнуть в связи с территориальными изменениями.

Задача 4. Имеются следующие данные о валовом сборе овощей в колхозах и совхозах района, тыс. ц.:

в границах	1998	1999	2000	2001	2002	2003
старых	416,0	432	450	-	-	-
новых	-	-	630	622,5	648,1	684,4

Для приведения ряда динамики к сопоставимому виду определим для 2000 г. коэффициент соотношении уровней двух рядов: 630 : 450 = 1,4.

Умножая на этот коэффициент уровни 1-го ряда, получаем их сопоставимость с уровнями 2-го ряда, тыс. ц:

1998 г. – 416,0 · 1,4 = 582,4;

1999 г. – 432,0 · 1,4 = 604,8.

Получен сопоставимый ряд динамики валового сбора овощей в колхозах и совхозах района (в новых границах), тыс. ц:

1998	1999	2000	2001	2002	2003
582,4	604,8	630	622,5	648,1	684,4

Несопоставимыми ряды динамики являются и в том случае, если они составлены из разновеликих по продолжительности периодов времени. Это прежде всего относится к рядам внутригодовой динамики с месячными и квартальными уровнями.

Задача 5. Имеются следующие данные о розничной реализации хлебобулочных изделий в торговой сети города по кварталам

2003 г., т:
I	II	III	IV
2340	1820	1380	2024

Для приведения этого ряда динамики к сопоставимому виду определим размер среднедневной реализации с учетом числа дней торговли по кварталам, т:

172

I	2340 : 90 = 26;
II	1820 : 91 = 20;
III	1380 : 92 = 15;
IV	2024 : 92 = 22.

Получен ряд динамики сопоставимых уровней розничной реализации хлебобулочных изделий в торговой сети города по кварта-

лам 2003 г. (среднедневная реализация), т:
I	II	III	IV
26,0	20,0	15,0	22,0

Задачи

2.1. Имеются следующие данные о производстве молока в колхозах и совхозах района области, тыс. т:

в границах	1998	1999	2000	2001	2002	2003
старых	6,5	7,9	8,6	-	-	-
новых	-	-	12,9	12,1	13,2	13,8

Укажите причины несопоставимости уровней ряда динамики для сравнительного анализа. Приведите уровни ряда динамики к сопоставимому виду. Установите вид ряда динамики и изобразите производство молока в колхозах совхозах района в виде линейной диаграммы.

2.2. Валовой сбор зерновых культур в колхозах совхозах района области характеризуется следующими данными, тыс. ц:

в границах	1998	1999	2000	2001	2002	2003
старых	2,2	2,5	2,9	-	-	-
новых	-	-	4,1	3,2	5,3	4,5

Укажите причины несопоставимости уровней ряда динамики для сравнительного анализа. Приведите уровни ряда динамики к сопоставимому виду. Установите вид ряда динамики и изобразите валовой сбор зерновых культур в совхозах и колхозах района в виде линейной диаграммы.

2.3. Производство мяса (в весе живого скота) в районе области характеризуется следующими данными, тыс. т:

в границах	1998	1999	2000	2001	2002	2003
старых	1,9	2,1	2,4	-	-	-
новых	-	-	3,3	3,4	2,8	3,8

173

Укажите причины несопоставимости уровней ряда динамики для сравнительного анализа. Приведите уровни ряда динамики к сопоставимому виду. Определите вид ряда динамики и изобразите рост производства мяса в виде линейной диаграммы.

2.4. Имеются следующие данные о розничном товарообороте торга города, млн. руб.:

	1998	1999	2000	2001	2002	2003
без мелкого опта	360	380	410	-	-	-
с мелким оптом	-	-	460	490	520	570

Установите причины несопоставимости уровней ряда динамики для сравнительного анализа. Приведите уровни ряда динамики к сопоставимому виду. Определите вид ряда динамики и изобразите динамику розничного товарооборота в виде линейного графика.

3.1. Получены следующие данные о распределении родивших-

ся детей по кварталам 2003 г., чел.:
I	II	III	IV
1152	1097	1028	952

Установите причины несопоставимости уровней ряда динамики для сравнительного анализа. Приведите уровни ряда динамики к сопоставимому виду. Определите вид полученного ряда динамики

инанесите его уровни на линейный график.

3.2.Имеются следующие данные о реализации овощей в продовольственных магазинах города по кварталам 2003 г., т:

I	II	III	IV
1800	1710	2460	2020

Установите причины несопоставимости уровней ряда динамики для сравнительного анализа. Приведите уровни ряда динамики к сопоставимому виду. Установите вид полученного ряда динамики и нанесите его уровни на линейный график.

8.3. Определение среднего уровня ряда динамики

Методические указания и решение типовых задач

При изучении ряда динамики возникает необходимость получения обобщающей величины его абсолютных уровней. Для этого определяют средний уровень ряда динамики за те или иные перио-

174

ды времени. Такая обобщающая величина в рядах динамики называется средней хронологической. Методы её расчета зависят от вида ряда динамики и способов получения статистических данных.

В интервальном ряду динамики расчет среднего уровня ряда производится по методу средней арифметической простой (невзвешенной):

у= ∑у = у1 + у2 +... + уп

пп

где у – абсолютные уровни ряда; п – число уровней.

Задача 7. Имеются следующие данные о валовом сборе овощей в хозяйствах области, млн. ц:

1999	2000	2001	2002	2003
7,6	9,1	7,8	8,4	9,6

Необходимо определить средний уровень валового сбора овощей за годы десятой пятилетки.

Определим средний уровень данного интервального ряда:

у =	∑у	=	7,6 +9,1+7,8 +8,4 +9,6	=	42,5	=8,5 млн.чел.
	п		5		5

В моментном ряду динамики с равноотстоящими датами определение среднего уровня ряда производится по формуле средней хронологической моментного ряда динамики:

		1	у	+ у		+...у		+	1	у
	2						п−1		2		п
у =			1		2							.
						п−1

Задача 8. По следующим данным о товарных запасах в розничной сети торгующих организаций города определить величину среднеквартального запаса за 1979 г., млн. руб.:

1/I	1999 г. – 64,1;
1/IV	2000 г. – 57,8;
1/VII	2001 г. – 60,0;
1/X	2002 г. – 63,2;
1/I	2003 г. – 72,3.

Определим средний уровень данного моментного ряда динамики:

175

		1		у + у		+ у			+ у			+	1	у
		у =	2	1	2			3			4		2		5			=
						5 −1
	64,2	+57,8 +60,0		+63,2		+	72,3					249,2
=	2							2		=							= 62,3 млн. руб.
		5 −1											4

В практике экономической работы часто приходится определять средние уровни ряда моментных величин с неравноотстоящими датами времени. Например, списочная численность работников предприятия за январь (чел.): на 1/I – 842, на 5/I – 838, на 12/I – 843,

на 26/ I – 845.

Расчет среднего уровня в таких рядах динамики производится по методу средней арифметической взвешенной:

у = ∑∑ytt ,

где у – уровни, сохраняющиеся без изменения в течение промежутков (интервалов) времени t.

Задача 9. За январь 2003 г. произошли следующие изменения в списочном составе работников предприятий, чел.:

состояло по списку на 1/I 2003 г.	842
выбыло с 5/I	4
зачислено с 12/I	5
зачислено с 26/ I	2

Необходимо определить среднедневную списочную численность работников предприятия за январь.

Для расчета средней численности работников определим продолжительность t каждого календарного периода с постоянной численностью работающих и общее число человеко-дней.

			Таблица 8.2
Календарные периоды	Число	Длина перио-	Число человеко-
января	работников у	да, дней t	дней tу
1-4	842	4	3 368
5-11	838	7	5 866
12-25	843	14	11 802
26-31	845	6	5 070
Итого	-	31	26 106

176

Отсюда среднедневная списочная численность работников в январе:

у = ∑∑tyt = 2631106 =842 чел.

Задачи

4.1. За 2003 г. списочная численность рабочих на строительстве объекта составляла на начало месяца, чел.:

1/I	400	1/VII	496
1/II	420	1/VIII	450
1/III	405	1/IX	412
1/IV	436	1/X	318
1/V	450	1/XI	231
1/VI	472	1/XII	235
		1/I (2004 г.)	210

Определите: 1) вид ряда динамки; 2) среднемесячные уровни ряда в первом и втором полугодиях; 3) изменение списочной численности рабочих на строительстве данного объекта во втором полугодии по сравнению с первым.

4.2. Имеются следующие данные об остатках строительных материалов в первом полугодии 2003 г. по месяцам года, тыс. руб.:

	I	II	III	IV	V	VI	VII
остатки на начало периода	820	726	618	516	413	411	390

Определите: 1) вид ряда динамки; 2) среднемесячные остатки строительных материалов за I и II кварталы года; 3) изменение остатка строительных материалов во II квартале по сравнению с I.

4.3. Остатки вкладов населения в сберегательных кассах города в 2003 г. характеризуется следующимиданнымина дату, тыс. руб.:

1/I	1/II	1/III	1/IV	1/V	1/VI	1/VII
300,2	312,4	323,3	314,8	316,5	319,3	324,6

Определите: 1) вид ряда динамки; 2) среднемесячные уровни остатка вкладов населения на I и II кварталы; 3) изменение остатка вкладов населения во II квартале по сравнению с I.

4.4. Получены следующие данные о товарных запасах торговой организации по товарным группам в 2003 г. на дату (в сопоставимых ценах; тыс. руб.):

177

Товары	1/ I	1/ IV	1/ VII	1/Х	1/ I(2004 г)
продовольственные	106	135	156	190	220
непродовольственные	610	650	520	670	540

Определите: 1) вид ряда динамки; 2) среднеквартальные запасы по продовольственным и непродовольственным товарам и по обеим группам в целом; 3) относительные величины структуры товарных запасов: а) на начало года, б) на конец года.

5.1. Имеются следующие данные о движении материала А на вкладе базы за январь-февраль 2003 г., т:

Остаток на 1/ I	50,0
5/I поступило от поставщиков	120,0
8/ I отгружено потребителям	90,0
15/ I поступило от поставщиков	80,0
6/ II отгружено потребителям	70,0
10/ II поступило от поставщиков	60,0
12/ II отгружено потребителям	50,0
20/ II отгружено потребителям	30,0

5.2. Движение денежных средств на счете вкладчика в сберегательной кассе за 2003 г. характеризуется следующими данными, руб.:

остаток на 1/ I	650
16/ III выдано	100
1/ IV списано по перечислению	140
20/ VII внесено	200
1/Х поступило по переводу	350
1/ХII выдано	150

Определите: 1) средний остаток вклада: а) за первое полугодие, б) за второе полугодие; 2) абсолютный прирост изменения среднего остатка вклада во втором полугодии по сравнению с первым.

5.3. Имеются следующие данные об изменениях в списочном составе работников фабрики за I и II кварталы 2003 г., чел.:

состояло по списку на 1/ I	634
зачислено с 12/ I	10
выбыло с 26/ I	12
зачислено с 23/ III	6
зачислено с 1/ IV	18
выбыло с 1/ IV	8

178

Определите: 1) среднесписочную численность работников фабрики: а) за I квартал, б) за II квартал; 2) абсолютный прирост численности работников фабрики во II квартале по сравнению с I.

5.4. За январь и февраль 2003 . произошли следующие изменения в списочном составе работников цеха завода, чел.:

состояло по списку на 1/ I 1980 г.	126
выбыло с 5/ I	3
выбыло с 12/ I	4
выбыло с 26/ I	5
зачислено с 9/ II	8
выбыло с 16/ II	3
зачислено с 25/ II	6

Определите: 1) среднесписочную численность работников цеха завода: а) за январь, б) за февраль; 2) абсолютный прирост численности работников цеха завода в феврале по сравнению с январем.

8.4. Определение показателей изменения уровней ряда динамики, определение среднего абсолютного прироста

Методические указания и решение типовой задачи

Одним из важнейших направлений анализа рядов динамики является изучение особенностей развития явления за отдельные периоды времени.

В статистике для выявления специфики развития изучаемых явлений за отдельные периоды времени определяют относительные и абсолютные показатели изменения ряда динамики: темпы роста,

абсолютные и относительные приросты, абсолютное значение одного процента прироста.

Задача 10. Выпуск продукции предприятием за 1998–2003 гг. характеризуется следующими данными (в сопоставимых ценах;

млн. руб.):
1998	1999	2000	2001	2002	2003
12,3	13,4	14,8	16,4	17,8	19,9

Требуется произвести анализ динамики выпуска продукции предприятием за годы десятой пятилетки.

Важнейшим показателем изменения абсолютных уровней ряда динамики по отдельным периодам времени является темп роста

179

К. Величина этого показателя определяется из сопоставления уровня изучаемого периода yi с уровнем, который принимается за базу сравнения. Выражаются темпы роста в процентах или в виде коэффициентов. Выбор базы для расчета в ряду динамики темпов роста определяется задачей исследования.

Если задачей изучения ряда динамики является, например, контроль хода выполнения данным производством пятилетнего плана, то сравнение уровней ряда динамки производится по отношении к году, который принимался за базу при разработке пятилетнего плана. В данном примере – это 1998 г., и расчет темпов роста будет производится на постоянной базе сравнения, т.е. по схеме базисных темпов роста:

Кб = yуi .

0

Определим базисные темпы роста:

	1999	13,4	=1,089;
		12,3
	2000	14,8	=1,203;
		12,3
	2001	16,4		=1,333;
		12,3
	2002	17,8	=1,447;
		12,3
	2003	19,9	=1,618.
		12,3

Из полученных базисных темпов роста следует, что по годам пятилетки происходило систематическое возрастание темпов роста выпуска продукции, %:

108,9 < 120,3 < 133,3 < 144,7 < 161,8.

Если же при изучении данного ряда динамики ставится задача определить изменения выпуска продукции в каждом последующем периоде по сравнению с предыдущим (например, для контроля выполнения годовых планов), то определяются цепные (погодовые) темпы роста Кц, когда за базу сравнения отдельных уровней ряда yi каждый раз принимается предыдущий уровень yi-1 :

180

Кц = yуi−i 1 .

Определим цепные темпы роста:

	1999	13,4		=1,089;
			12,3
	2000		14,8	=1,104;
		13,4
	2001	16,4			=1,108;
			14,8
	2002		17,8			=1,085;
		16,4
	2003	19,9		=1,118.
			17,8

Из полученных цепных темпов роста видно, что в 1999, 2000 и 2001 гг. происходил рост выпуска продукции из года в год, %:

108,9 < 110,4 < 110,8.

В 2002 г. имело место некоторое замедление роста выпуска продукции, %:

110,8 > 108,5 < 111,8.

Это специфика развития данного явления в 2002 г. из определенных выше показателей базисных темпов роста не была видна.

Для выражения изменений уровней ряда динамики в абсолютных величинах исчисляют статистический показатель абсолютного прироста ∆у. Величина этого показателя определяется как разность между уровнем изучаемого периода yi и уровнем, принимаемым за базу сравнения. При определении накопленных (базисных) абсолютных приростов ∆уб за базу сравнения принимается постоянный уровень. В рассматриваемом примере – это уровень 1998 г., и расчет накопленного (базисного) абсолютного прироста (млн. руб.) производится по формуле

∆уб = yi – уо.

1999	13,4-12,3=1,1;
2000	14,8-12,3=2,5;
2001	16,4-12,3=4,1;
2002	17,8-12,3=5,5;
2003	19,9-12,3=7,6.
	181

Из полученных значений накопленных абсолютных приростов видно, что по годам пятилетки происходило систематическое возрастание абсолютных приростов выпуска продукции, млн. руб.:

1,1 < 2,5 < 4,1 < 5,5 < 7.6.

При определении цепных абсолютных приростов ∆уц базой сравнения каждый раз выступает уровень предыдущего периода уi -1, и расчет абсолютных приростов (млн. руб) производится по формуле

Следовательно,		∆уц = уi - уi -1.
1999	13,4	– 12,3 = 1,1;
2000	14,8	– 13,4 = 1,4;
2001	16,4	– 14,8 = 1,6;
2002	17,8	– 16,4 = 1,4;
2003	19,9	– 17,8 = 2,1.

Из полученных погодовых (цепных) абсолютных приростов видно сокращение абсолютного прироста выпуска продукции на данном предприятии в 2002 г., млн. руб.:

1,1 < 1,4 < 1,6 > 1,4 < 2,1.

Для выражения изменения величины абсолютного прироста уровней ряда динамики в относительных величинах определяется статистический показатель – темп прироста ∆К. Величина темпа прироста ∆К определяется из сравнения в отношении абсолютного прироста ∆у с уровнем, принимаемым при анализе за базу сравнения. При исчислении базисных темпов прироста ∆Кб в качестве базы сравнения берется постоянный уровень у0. В рассматриваемом ряду динамики – это уровень 1998 г., и расчет базисных темпов

прироста производится по формуле.								уб
			К	б	=				.
							у0
Определим базисные темпы прироста, %:
1999		1,1	100 =		8,9;
	12,3
2000		2,5	100 =		20,3;
	12,3
2001		4,1	100 =		33,3;
	12,3
				182

	2002		5,5	100 = 44,7;
		12,3
	2003		7,6	100 = 61,8.
		12,3

Базисные темпы прироста, подобно базисным темпам роста, показывают систематическое возрастание по годам пятилетки выпуска продукции данным предприятием. Но в отличие от темпов роста, показывающих, во сколько раз (или процентов) происходит рост выпуска продукции, базисные темпы прироста показывают, насколько произошло приращение (в относительных величинах) абсолютных уровней ряда динамики.

При определении цепных темпов прироста ∆Кц в качестве базы сравнения выступает уровень предшествующего периода уi-1, и расчет осуществляется по формуле

Кц = ууц .

i−1

Определяем эти показатели, %:

	1999		1,1	100 =8,9;
		12,3
	2000		1,4		100 =10,4;
		13,4
	2001		1,6	100 =10,8;
		14,8
	2002		1,4			100 =8,5;
		16,4
	2003		2,1		100 =11,8.
		17,8

Если же при определении темпов прироста ∆К предварительно были исчислены темпы роста К, то расчет темпов прироста производят так: ∆К=К-1, или ∆К=К-100% (если темп роста выражен в процентах).

Например, для 2003 г.

∆Кц = Кц (2003 г.) -1=1, 118 – 1 =0, 118, или Кц (2003 г.) -100 = 111,8% - 100% = 11,8%,

∆Кб = Кб (2003 г.) – 1 = 1,618 – 1 = 0,618,

183

или	Кб (2003 г.) – 100	= 161,8% - 100% = 61,8%.
	Показатель абсолютного	значения одного процента прироста

(А%) определяется путем отношения (в каждом периоде) абсолютного прироста ∆уц к темпу прироста ∆Кц. Расчет этого показателя имеет экономический смысл только по цепной основе:

А% =	уц	.
	Кц %

Определяем эти показатели, тыс. руб.:

	1999		1,1		=123;
		8,9
	2000		1,4			=134;
		10,4
	2001		1,6			=148;
		10,8
	2002		1,4		=164;
		8,5
	2003		2,1			=178.
		11,8

При анализе погодовых уровней ряда динамики расчет абсолютного значения одного процента прироста можно произвести по схеме:

А% = 0,01у-1.

Например, для 2002 г. А% = 0,01 у (2001 г.) = 0,01×16,4 = 0,164 млн. руб.; для2003 г. А% = 0,01 у(2002 г.) = 0,01×17,8 = 0,178 млн. руб.

Для суждения о среднем изменении абсолютных приростов исчисляется показатель среднего абсолютного прироста у . Спо-

собы расчета среднего абсолютного прироста зависят от характера исходных данных.

Обычно определение среднего абсолютного прироста производят по цепным абсолютным приростам ∆уц по формуле

у = ∑п уц .

Так, для данного примера этот расчет будет следующим:

	у =	1,1+1,4 +1,6 +1,4 + 2,1		=	7,6	=1,52 млн.руб.
			5		5

184

Средний абсолютный прирост можно исчислить и непосредственно по абсолютным уровням ряда динамики у по формуле

		у =			уп − у0	,
					m −1
где m – число учетных единиц времени в ряду динамики.
Для данного примера имеет:
у =	19,9 −12,3	=	7,6		=1,52 млн.руб.
	6 −1
		5

И наконец, в тех случаях, когда в качестве исходных материалов даны накопленные (базисные) абсолютные приросты ∆уб, то расчет среднего абсолютного прироста производится по формуле

у = ту−б1.

Для рассматриваемой задачи накопленный (базисный) абсолютный прирост равен 7,6 млн. руб. По этому значению расчет среднегодового прироста составляет:

у = 67−,61 =1,52 млн.руб.

Задачи

6.1. Получены следующие данные о производстве продукции промышленным предприятием за 1998 – 2003 гг. (в сопоставимых

ценах; млн. руб.):
1998	1999	2000	2001	2002	2003
23,3	24,9	26,6	27,6	29,0	32,3

Для анализа ряда динамки: определите: 1) показатели, характеризующие рост производства продукции (по годам и по отношению к базисному 1998 г.): а) темпы роста, б) абсолютные приросты, в) темпы прироста; 2) определите абсолютно значение одного процента прироста (для каждого года); 3) представьте полученные данные в табличной форм; 4) определите средний абсолютный прирост за пятилетие в целом.

6.2. Имеются следующие данные по заводу о выпуске продукции за 1998 – 2003 гг. (в сопоставимых ценах; млн. руб.):

1998	1999	200	2001	2002	2003
46,8	50,9	55,3	58,7	62,4	66,2

Для анализа ряда динамик: 1) определите показатели, характеризующие рост выпуска продукции (по годам и по отношению

185

к базисному 1998 г.): а) темпы роста, б) абсолютные приросты, в) темпы прироста; 2) определите для каждого года абсолютное значение одного процента прироста; 3) представьте полученные данные в табличной форме; 4) определите за пятилетие в целом средний абсолютный прирост.

6.3. Имеются следующие данные о производстве продукции предприятиями объединения за 1998 – 2003 гг. (в сопоставимых

ценах; млн. руб.):
1998	1999	2000	2001	2002	2003
50,9	55,3	58,7	62,4	66,2	70,3

Для анализа ряда динамик: 1) определите показатели, характеризующие рост производства продукции по годам (по годам и к базисному 1998 г.): а) темпы роста, б) абсолютные приросты, в) темпы прироста; 2) определите для каждого года абсолютное значение одного процента прироста; 3) представьте полученные данные в табличной форме; 4) определите за пятилетие в целом средний абсолютный прирост.

6.4. Имеются следующие данные о производстве продукции предприятиями объединения за 1998 – 2003 гг. (в сопоставимых

ценах; млн. руб.):
1998	1999	2000	2001	2002	2003
65,3	70,8	76,3	80,0	85,0	91,0

Для анализа ряда динамики: 1) определите показатели, характеризующие рост выпуска продукции по годам и к базисному 1998 г.: а) темпы роста, б) абсолютные приросты, в) темпы прироста; 2) определите для каждого года абсолютные значения одного процента прироста; 3) представьте исчисленные показатели в табличной форме; 4) определите за пятилетие в целом средний абсолютный прирост.

7.1. Жилищный фонд городов и поселков городского типа области характеризуется следующими данными (общая площадь на

конец года; млн. м2):
1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003
31,7	33,.8	36,1	38,2	40,3	42,3	45,5	49,4

На основе приведенных данных: 1) установите начальный, конечный и базисный уровни ряда динамики для определения за годы десятой пятилетки: а) среднего уровня ряда, б) цепных и базисных темпов роста; в) среднегодового абсолютного прироста; 2) исчислите указные в п. 1 показатели анализа ряда динамики.

186

7.2. Вклады населения, хранящиеся в сберегательных кассах Камчатской области, характеризуются следующими данными (ос-

татки вкладов на 1 января; млн. руб.):
2000	2001	2002
570,6	1000,2	1180

На основе приведенных данных: 1) установите начальный, конечный и базисный уровни ряда динамики для определения за годы десятой пятилетки: а) среднего уровня ряда, б) цепных и базисных темпов роста; в) среднего абсолютного прироста; 2) исчислите указные в п. 1 показатели анализа ряда динамики.

7.3. Имеются следующие данные о выпуске пищевой рыбной

продукции, тыс. тонн.
1998	1999	2000	2001	2002
335,7	309,5	483,3	480,8	438,2

На основе приведенных данных: 1) установите начальный, конечный и базисный уровни ряда динамики: а) среднего уровня ряда, б) цепных и базисных темпов роста; в) среднегодового абсолютного прироста; 2) исчислите указные в п. 1 показатели анализа ряда динамики.

7.4. Имеются следующие данные о перевозках грузов автомобильным транспортом Камчатской области, тыс. тонн.

1998	1999	2000	2001	2002
5500	7027	6583	4916	4979

На основе приведенных данных: 1) установите начальный, конечный и базисный уровни ряда динамики для определения за годы десятой пятилетки: а) среднего уровня ряда, б) цепных и базисных темпов роста; в) среднегодового абсолютного прироста; 2) исчислите указные в п. 1 показатели анализа ряда динамики.

8.5.Определите в рядах динамк среднего темпа роста

иприроста

Методические указания и решение типовых задач

При изучении рядов динамики возникает необходимость определения среднего темпа роста явления за отдельные периоды его развития. Для рядов динамик годовых уровней чаще всего производят расчет среднегодовых темпов роста за отдельные этапы эко-

187

номического развития страны (например, пятилетки). В рядах внутригодовой динамики исчисляют среднемесячные и среднеквартальные темпы роста. Для определения среднего темпа роста обычно используют метод средней арифметической. Применительно к рядам динамики формула средней геометрической в общем виде записывается так:

К = п ПК,

где ПК – произведение цепных темпов роста (в коэффициентах); п – число К.

В зависимости от характера исходных данных формула средней геометрической видоизменяется.

Рассмотрим основные случаи определения средних темпов динамики:

1. Исчисление среднего темпа по цепным тепам роста.

Если в качестве исходных данных выступают цепные темпы роста, то для расчета среднего темпа динамки используется формула

К = п К1 К2 ...Кп ,

где К – цепные темпы роста (в коэффициентах); п – число темпов.

Задача 11. Выпуск продукции предприятием характеризуется следующими данными по кварталам 2003 г. в коэффициентах к

предыдущему кварталу:
I			II	III	IV
1,1095	1,240			1,2258	1,1974
Подставив в формулу			= 4	К1 К2 К3 К4 приведенные выше
		К
данные, получаем:

К= 4 1,1095 1,24 1,2258 1,1974 = 2,167.

2.Расчет среднего темпа динамики по базисным темпам роста или прироста.

Если в качестве исходных данных выступают базисные темпы роста или прироста, то на основе зависимости между цепными и базисными коэффициентами динамики расчет среднего темпа производят по формуле

К = т−1 Кб ,

где Кб – базисный темп роста (в коэффициентах);

m – число учетных единиц времени в изучаемом периоде.

188

Задача 12. Планом экономического и социального развития производственного объединения на 1999 – 2003 гг. предусматривается увеличение производства товарной продукции (в сопоставимых ценах) в 1,3 раза, в том числе товаров народного потребления

– на 22%. Требуется определить, какие должны быть у объединения среднегодовые темпы роста производства товарной продукции в одиннадцатой пятилетке.

Заданный коэффициент (1,3) представляет темп развития производства товарной продукции в 2003 г. по сравнению с базой – 1999 годом, т.е. базисный темп роста:

				2003г.		=1,3 = Кб .
		К
				1999г.

Поэтому для определения среднегодового темпа применяется формула

К = т−1 Кб .

При m=6 (число годовых периодов в изучаемом отрезке времени):

К = 6−1 1,3 ≈1,053, или105,3%.

Задание по росту выпуска товаров народного потребления выражено темпов прироста. Для определения среднегодового темпа динамки заданный темп прироста (∆Кб = 22%) необходимо из процентной формы выражения перевести в коэффициент (∆Кб = 0,22) и далее в темп роста:

Кб =∆Кб +1 = 0,22 +1 = 1,22.

Определим значение среднегодового темпа роста:

К= 6−1 1,22 =1,04, или104%.

3.Расчет среднего темпа роста по абсолютным уровням ряда динамики.

Из зависимости К = п К1 К2 ...Кп = т−1 Кб , где Кб = уп : уо рас-

чет среднего темпа роста производится по исходным абсолютным уровням ряда динамики по формуле

К = т−1 уп : у0 ,

где уп – конечный уровень ряда динамики; уо - базисный уровень ряда динамики;

m – число учетных единиц времени в изучаемом периоде.

189

Задача 13. Имеются следующие данные о динамике вылова рыбы и морепродуктов с 1998 по 2002 г., тыс. тонн.

1998 748

1999 707

2000 675,1

2001 637,8

2002 563,4

Требуется определить среднегодовой темп роста вылова рыбы. Определить средний темп роста по цепным коэффициентам

динамики ( К = п К1 К2 Кп ) или по абсолютным уровням ряда ( К = т−1 уп : у0 ) в данном случае нецелесообразно, так как в ряду динамики имеются значительные колебания уровней.

Например, при расчете К по абсолютным уровням ряда получаем:

К = т−1 уп : у0 = 5−1 563,4 : 748 = 4 0,753 ≈ 0,931,

т.е. среднегодовое снижение урожайности в девятой пятилетке составляет 0,8%.

Задачи

8.1. темпы роста объема продукции добывающей промышленности в экономическом районе характеризуется следующими дан-

ными (в процентах к предыдущему году):
1999	2000	2001	2002
94,5	87,7	94,5	88,3
Определите среднегодовые		темпы	роста объема продукции

добывающей промышленности: 1) в девятой пятилетке; 2) в десятой пятилетке; 3) в целом за период с 1999 по 2002 г.

8.2. Темпы роста объема рыбной пищевой продукции Камчатской области характеризуются следующими данными (в процентах

к предыдущему году):
1999	2000	2001	2002
92,2	156,1	99,5	91,1

Определите среднегодовые темпы роста объема продукции данной отрасли: 1) в девятой пятилетке; 2) в десятой пятилетке; 3)

вцелом за период с 1999 по 2002 г.

8.3.По плану экономического и социального развития отрасли на 1999 – 2003 гг. предусматривается увеличение производства то-

190

варной продукции (в сопоставимых ценах) на 32 – 36%, в том числе товаров народного потребления в 1,4 – 1,45 раза. Определите, какие должны быть в одиннадцатой пятилетке среднегодовые темпы прироста производства товарной продукции отрасли, в том числе товаров народного потребления.

8.6. Определение в рядах динамики общей тенденции развития

Методические указания и решение типовых задач

Важной задачей статистики при анализе рядов динамики является определение общей тенденции развития. На развитие явления во времени могут оказать влияние различные по своему характеру и силе воздействия факторы. Одним из них оказывают более или менее постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определенную тенденцию развития. Воздействие же других факторов может быть кратковременным.

При изучении в рядах динамики общей тенденции развития явления применяются различные приемы и методы. Одним из наиболее элементарных способов изучения общей тенденции в ряду динамики является укрепление интервалов. Этот способ основан на укреплении периодов, к которым относятся уровни ряда динамики.

Задача 14. Имеются следующие данные о выпуске продукции группой предприятий по месяцам 2003 г., млн. руб.:

январь	23,2	июль	28,4
февраль	19,1	август	24,1
март	22,3	сентябрь	26,3
апрель	25,1	октябрь	29,1
май	24,5	ноябрь	30,3
июнь	27,3	декабрь	26.5

Для выявления общей тенденции роста выпуска продукции произведем укрепление интервалов. Для этой цели исходные (месячные) данные о выработке продукции объединяем в квартальные, и получаем показатели выпуска продукции группой предприятий

по кварталам 2003г., млн. руб.:
I	II	III	IV
64,5	76,9	78,8	85,9

В результате укрепления интервалов общая тенденция роста выпуска продукции данной группой заводов выступает отчетливо:

191

64,5 < 76,9 < 78,8 < 85,9.

Выявление общей тенденции ряда динамики можно произвести путем сглаживания ряда динамики с помощью подвижной (скользящей) средней. Сущность этого приема состоит в том, что по исходным уровням ряда (эмпирическим данным) определяют расчетные (теоретические) уровни. При этом посредством осреднения эмпирических данных индивидуальные колебания погашаются, и общая тенденция развития явления выражается в виде некоторой плавной линии (теоретические уровни).

Задача 15. По городу имеются следующие данные о комиссионной торговле сельскохозяйственными продуктами потребительской кооперации (среднедневная выручка в сопоставимых ценах; тыс. руб.):

Квартал	2000	2001	2002	2003
I	175	247	420	426
II	263	298	441	449
III	326	366	453	482
IV	297	341	399	460

Для выражения общей тенденции развития явления методом сглаживания рядов динамики необходимо прежде всего определить по эмпирическим данным подвижные (скользящие) средние.

Основное условие применения этого метода состоит в вычислении звеньев подвижной (скользящей) средней из такого числа уровней ряда, которое соответствует длительности наблюдаемых в ряду динамики циклов.

Для ряда внутригодовой динамики с сезонными циклами развития явления по одноименным кварталам года применяют четырехчленны скользящие средние. Расчет состоит в определении средних величин из четырех уровней ряда с отбрасываем при вычислении каждой новой средней одного уровня ряда слева и присоединением одного уровня справа:

первая средняя	у	=			у1 + у2		+ у3 + у4	;
	1						4
вторая средняя	у2	=			у2	+ у3	+ у4 + у5		;
				у3			4
третья средняя	у3	=				+ у4	+ у5 + у6			и т.д.
							4
	192

Применительно к исходным данным получаем тринадцать средних:

первая	у	=	175 + 263 +326 + 297		= 265,25;
	1		4
вторая	у2	=	175 + 263 +326 + 297				= 265,25;
				4
третья	у3	=	263 +326 + 297 + 247				= 283,25;
			4

………………………………………………….

тринадцатая у13 = 426 + 449 + 482 + 460 = 454,25. 4

Особенность сглаживания по четному числу уровней состоит в том, что каждая из численных четырехчленных средних относится к соответствующим промежуткам между двумя смежными кварталами. Так, первая средняя ( у1 = 265,25) относится к промежуткам

между II и III кварталам 2000 г., вторая стадия ( у2 = 283,25) –

к промежуткам между III и IV кварталами 2000 г. и т.д.

Для получения значений сглаженных уровней соответствующих кварталов необходимо провести центрирование расчетных средних.

Так, для определения сглаженного среднего уровня III квартала 2000 г. произведем центрирование первой средней у1 и второй

средней у2 :

усIII кв =	у1 + у2	=	265,25 +	283,26	= 274,25.
	2		2

Для определения сглаженного среднего уровня IV квартала 2000 г. произведем центрирование второй средней у2 и третьей

	средней у3 :
	ус IV кв =	у2 + у3	=	283,25 + 292	= 287,6 ит.д.
		2		2

Ход расчета необходимых данных для получения средних (теоретических) уровней представим в таблице сглаживания ряда динамики по четырехчленной переменной (скользящей) средней:

193

				Таблица 8.3
				Сглаженный
		Исходные	Средняя из суммы
Период			четырех уровней	средний уровень
		уровни	ряда	(с центрированием, ус )
1		2	3	4
	I	175		-
2000	II	263	1061:4=265,25	-
	III	326	1133:4=283,25	274,25
	IV	297	1168:4=292	287,6
	I	247	1208:4=302	297,0
2001	II	298	1252:4=313	307,5
	III	366	1425:4=356,25	334,6
	IV	341	1568:4=392	374,1
	I	420	1655:4=413,75	402,9
2002	II	441	1713:4=428,25	421,0
	III	453	1719:4=429,75	429
	IV	399	1727:4=431,75	430,75
	I	426	1756:4=439	435,37
2003	II	449	1817:4=454,25	446,62
	III	482		-
	IV	460		-

Из нанесенных на график пунктирной линией данных гр. 4 (см. рис. 8.2) видна довольно отчетливая тенденция роста комиссионной торговли продукцией сельскохозяйственного производства.

Спецификой способа сглаживания рядов динамики является то, что полученные средние не дают теоретических рядов, в основе которых лежала бы математически выраженная закономерность.

Более совершенным приемом изучения общей тенденции в рядах динамики является аналитическое выравнивание. При изучении общей тенденции методом аналитического выравнивания исходят из того, что изменения уровней ряда динамки могут быть с той или иной степенью приближения выражены определенными математическими функциями. На основе теоретического анализа выявляется характер развития явления во времени и на этой основе выбирается то или иное математическое выражение типа изменения явления: по прямой, параболе второго порядка, показательной (логарифмической) кривой и т.д.

Рассмотрим применение метода аналитического выравнивания по прямой для выражения общей тенденции на следующем примере.

194

Задача 16. Имеется данные о выпуск продукции предприятиями легкой промышленности района за 1995 – 2003 гг. (в сопоставимых ценах; млн. руб.):

1995	221	2000	320
1996	235	2001	360
1997	272	2002	371
1998	285	2003	395
1999	304

Для выравнивая ряда динамики по прямой используют уравнение

уt = a0 + a1t.

Способ наименьших квадратов дает систему двух нормальных

уравнений для нахождения параметров а0							и а1:
	п+ а1 ∑t = ∑y;
а0
	∑	t + a1	∑	t2	=	∑		yt,
a0

где у – исходные (эмпирические) уровни ряда динамики; п – число членов ряда;

t – время.

Решение системы уравнений позволяет получить выражения для параметров а0 и а1:

∑t2 ∑y −∑t∑ty a0 = n∑t2 −∑t ∑t ;

n∑ty −∑t∑y a1 = n∑t2 −∑t∑t .

В рядах динамики техника расчета параметров уравнения упрощается. Для этой цели показателям времени t придают такие значения, чтобы их сумма была равна нулю, т.е. ∑ t = 0.

Применительно к данному примеру, в котором число исходных (эмпирических) уровней ряда – нечетно (п = 9), это выполнимо

при следующих обозначениях:
1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003
-4	-3	-2	-1	0	+1	+2	+3	+4

При условии что ∑ t = 0, исходные уравнении принимают вид

а0п = ∑у;

а1∑ t2 = ∑tу,

195

откуда а0 = ∑у : п = y ;

а1 = ∑tу : ∑t2.

Произведем расчет необходимых значений в табл. 8.4.

					Таблица 8.4
Год	Эмпирические	Условные обозна-	t2	уt	уt
	уровни ряда (уi)	чения времени (t)
1995	221	-4	16	-884	219,32
1996	235	-3	9	-705	241,24
1997	272	-2	4	-544	263,16
1998	285	-1	1	-285	285,08
1999	304	0	0	0	307,0
2000	320	+1	1	320	328,92
2001	360	+2	4	720	350,84
2002	371	+3	9	1 113	372,76
2003	395	+4	16	1 580	394,68
Итого	2 763	0	60	1 315	2 763

По итоговым данным определяем параметры уравнения: a0 = 27639 =307;

a1 = 131560 = 21.9167.

Значение ∑t2 можно вычислить и другим путем.

Для случая нечетного числа уровней ряда динамики используется формула

∑t 2 = (n −1)n(n +1)= 8 9 10 = 60. 12 12

В результате получаем следующее уравнение общей тенденции ряда динамики:

уt = 307 + 21,92t.

Заметим, что при упрощенном способе расчета (∑t = 0) параметр а0 = 307 характеризует величину центрального выравненного уровня ряда, который был принят за t = 0. В рассматриваемом примере это уровень 1999 г. Подставляя в уравнение уt = 307+21,92t принятые обозначения t, вычислим выравненные (теоретические) уровни ряда динамики:

1995 уt = 307 + 21,92(-4) ≈ 219,32; 1996 уt = 307 + 21,92(-3) ≈ 241,24 и т.д.

(см. значения уt в табл. 8.5).

196

Для проверки расчета значений уt используется формула

∑уi = ∑уt.

В нашем примере ∑уi = 2 763 = ∑уt; следовательно, значения уt определены верно.

Полученные величины теоретических уровней ряда уi нанесем пунктирной линией на график с эмпирическими данными ( см. рис. 8.3). Эта линия и есть графический образ общей тенденции выпуска продукции предприятиями легкой промышленности района в

1995 – 2003 гг.

Задачи

17.1. Имеются следующие данные о реализации молочной продукции в магазинах группы городов по месяцам 2000 – 2003 гг. (тыс. т):

				Таблица 8.5
Месяц	2000	2001	2002	2003
Январь	5,3	5,3	8,3	10,4
Февраль	5,2	5,0	7,6	10,2
Март	8,0	8,8	11,0	11,8
Апрель	8,2	9,8	11,5	14,1
Май	9,8	15,4	16,1	17,8
Июнь	14,9	18,3	24,8	27,6
Июль	11,8	17,1	23,8	25,0
Август	10,3	15,4	19,4	19,8
Сентябрь	8,0	12,9	15,7	17,4
Октябрь	6,5	9,5	11,8	12,7
Ноябрь	5,4	9,0	10,2	11,0
Декабрь	5,6	7,5	10,1	8,6

Для изучения общей тенденции реализации данной продукции: 1) произведите преобразование исходных данных путем укрупнения периодов времени: а) в квартальные уровни, б) в годовые уровни; 2) нанесите на линейный график полученные квартальные уровни; 3) произведите сглаживание квартальных уровней с применением четырехчленной скользящей средней; 4) нанесите полученные при сглаживании данные на график с квартальными уровнями; 5) сделайте выводы о характере общей тенденции изучаемого явления.

17.2. По городу имеются данные о реализации яиц в магазинах по месяцам 2000 – 2003 гг. (млн.шт.):

197

				Таблица 8.6
Месяц	2000	2001	2002	2003
Январь	12,7	16,3	23,6	30,8
Февраль	11,5	17,4	14,0	24,1
Март	12,0	18,4	17,4	21,2
Апрель	45,6	78,9	94,8	73,1
Май	40,4	67,3	76,7	60,9
Июнь	60,0	66,6	51,4	77,6
Июль	42,0	42,7	21,2	43,6
Август	23,4	39,9	14,2	40,7
Сентябрь	14,1	28,9	13,5	70,0
Октябрь	14,6	25,2	23,2	40,7
Ноябрь	16,3	27,9	30,4	32,7
Декабрь	18,0	30,5	21,9	33,0

Для изучения общей тенденции реализации данной продукции: 1) произведите преобразование исходных данных путем укрупнения периодов времени: а) в квартальные уровни, б) в годовые уровни; 2) нанесите на линейный график полученные квартальные уровни; 3) произведите сглаживание квартальных уровней с применением четырехчленной скользящей средней; 4) нанесите полученные при сглаживании данные на график с квартальными уровнями; 5) сделайте выводы о характере общей тенденции изучаемого явления.

17.3. Реализации кондитерских изделий в магазинах продовольственного торга города по месяцам 2000 – 2003 гг. характеризуется следующими данными (т):

Таблица 8.7

Месяц	2000	2001	2002	2003
Январь	32,1	31,8	37,3	36,9
Февраль	30,8	27,9	32,2	33,4
Март	33,0	38,9	42,0	36,9
Апрель	34,4	39,5	40,9	46,6
Май	29,1	36,2	36,8	37,5
Июнь	30,9	41,4	40,3	39,2
Июль	31,4	39,4	35,3	38,3
Август	29,3	34,3	34,0	36,3
Сентябрь	32,5	34,7	33,7	36,8
Октябрь	32,2	34,6	34,9	35,4
Ноябрь	34,7	36,3	35,3	39,2
Декабрь	38,2	41,6	42,7	48,1

198

Для изучения общей тенденции реализации данной продукции: 1) произведите преобразование исходных данных путем укрупнения периодов времени: а) в квартальные уровни, б) в годовые уровни; 2) нанесите на линейный график полученные квартальные уровни; 3) произведите сглаживание квартальных уровней с применением четырехчленной скользящей средней; 4) нанесите полученные при сглаживании данные на график с квартальными уровнями; 5) сделайте выводы о характере общей тенденции изучаемого явления.

17.4. Имеются следующие данные о реализации сахара в продовольственных магазинах города по месяцам 2000 – 2003 гг. (т):

				Таблица 8.8
Месяц	2000	2001	2002	2003
Январь	78,9	108,6	129,1	150,7
Февраль	78,1	107,9	128,6	149,6
Март	86,0	106,8	130,7	153,6
Апрель	97,5	132,1	152,8	174,4
Май	83,3	113,0	139,8	153,7
Июнь	86,0	111,8	147,4	158,6
Июль	90,6	124,4	163,8	199,2
Август	86,1	114,1	146,3	164,3
Сентябрь	81,3	108,4	137,8	135,5
Октябрь	105,1	124,0	152,2	159,3
Ноябрь	97,2	118,4	143,2	155,5
Декабрь	102,1	136,3	156,5	158,2

Для изучения общей тенденции реализации данной продукции: 1) произведите преобразование исходных данных путем укрупнения периодов времени: а) в квартальные уровни, б) в годовые уровни; 2) нанесите на линейный график полученные квартальные уровни; 3) произведите сглаживание квартальных уровней с применением четырехчленной скользящей средней; 4) нанесите полученные при сглаживании данные на график с квартальными уровнями; 5) сделайте выводы о характере общей тенденции изучаемого явления.

18. Для изучения общей тенденции развития явлений нанесите месячные уровни на линейный график, произведите сглаживание месячных уровней ряда с применением двенадцатичленной скользящей средней, нанесите полученные сглаженные уровни на гра-

199

фик с исходными (эмпирическими) данными, сделайте выводы о характере общей тенденции изучаемого явления по следующим данным: 1) по данным задачи 17.1; 2) по данным задачи 17.2; 3) по данным задачи 17.3; 4) по данным задачи 17.4.

19.1. Имеются следующие данные об объеме розничного товарооборотаобласти за1997 – 2003 гг. (в сопоставимыхценах; млн. руб.):

1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003
480	500	540	570	580	590	610

Для изучения общей тенденции развития розничного товарооборота: 1) изобразит ряд динамики в виде линейного графика; 2) произведите аналитическое выравнивание уровней ряда по прямой и выразите общую тенденцию роста соответствующим математическим уравнением; 3) определите выравненные (теоретические) уровни ряда динамики и нанесите их на график с исходными (эмпирическими) данными; 4) сделайте выводы.

19.2. реализация овощей на колхозных рынках группы городов за 1999 – 2003 гг. характеризуется следующими данными, тыс. т:

1999	100,0
2000	123,0
2001	120,0
2002	160,0
2003	200,0

Для изучения общей тенденции роста реализации овощей на колхозных рынках: 1) изобразит ряд динамики в виде линейного графика; 2) произведите аналитическое выравнивание уровней ряда по прямой и выразите общую тенденцию роста соответствующим математическим уравнением; 3) определите выравненные (теоретические) уровни ряда динамики и нанесите их на график с исходными (эмпирическими) данными; 4) сделайте выводы.

8.7. Определение в рядах внутригодовой динамики индексов сезонности

Методические указания и решение типовых задач

При анализе рядов динамики важное значение имеет выявление сезонных колебаний. Этим колебаниям свойственны более или менее устойчивые изменения уровней ряда по внутригодовым пе-

200

риодам: месяцам, кварталам. Для выявления сезонных колебаний обычно анализируются месячные или квартальные уровни ряда динамики за несколько лет. Сезонные колебания характеризуются специальными показателями – индексами сезонности Is. Способы определения индексов сезонности различны; они зависят прежде всего от характера общей тенденции ряда динамики.

Для ряда внутригодовой динамики, в которой не наблюдается общая тенденция роста (или она незначительна), изучение сезонности основано на методе постоянной средней. Определение средних индексов сезонности в таких рядах производится по формуле

Isi = yyi ,

где yi – осредненные эмпирические уровни ряда по одноименным

периодам;

y – общий средний уровень ряда.

Задача 17. Имеются данные о распределении браков заключенных населением города, по месяцам 2001 – 2003 гг.

Таблица 8.9

Месяц	2001	2002	2003	Месяц	2001	2002	2003
Январь	173	183	178	Июль	153	167	177
Февраль	184	185	179	Август	171	173	181
Март	167	162	161	Сентябрь	143	150	157
Апрель	142	160	184	Октябрь	162	165	174
Май	137	143	151	Ноябрь	178	181	193
Июнь	145	150	156	Декабрь	185	189	197

Для выявления характера общей тенденции данного ряда внутригодовой динамики произведем укрепление месячных периодов в годовые уровни и определим темпы роста.

			Таблица 8.10
Год	Годовые уровни	Темпы роста, %
		к предыдущему году	к 2003 г.
2001	1 940	-	100
2002	2 008	103,5	103,5
2003	2 008	104,0	107,6

По изменению уровней укрупненных периодов видно, что изучаемое явление не имеет значительной общей тенденции роста.

201

Поэтому определение индексов сезонности можно произвести на основе метода постоянной средней

Ιsi = yi : y.

Для получения значений yi произведем по способу средней

простой (невзвешенной) осреднение уровней одноименных периодов за три года:

январь	уi	=	уянв.2001	+ уянв.2002		+ уянв.2003		;
					∑t
февраль	уi	=	уфевр.2001		+ уфевр.2002 + уфевр.2003				;
			удек.2001		∑t
декабрь	уi	=		+ удек.2002		+ удек.2003	;
					∑t

При этом в знаменателе ∑t – число календарных дней в осредняемых месячных периодах. Это позволяет исключить несопоставимость уровней ряда в связи с различной продолжительностью месяцев (январь – 31 день, февраль28 или 29 дней и т.д.).

Определим осредненные значения уровней ряда уi для каждого месяца годового цикла:

	январь	у =	173 +183 +178		=	534		= 5,74;
				31+31+31			93
	февраль	у =	184 +185 +179		=	548		= 6,45 и т.д.
				29 + 28 + 28			85
	Далее по исчисленным месячным средним уровням уi опреде-
	лим общий средний уровень у:
	у = ∑уi	5,74 +6,45 +5,27 +5,4 + 4,63 +5,01+
		= +5,34 +5,64 +5,0 +5,39 +6,13 +6,14 =5,51.
	n		12
	Значение общего среднего уровня можно также получить и по
	итоговым данным за отдельные годы:
	у =	∑∑уi = 1940 +2008 +2088				= 6036 =5,51,
		∑n	366 +365 +365			1096

где п – число дней в году;

∑уi - сумма уровней ряда динамики. 202

И, наконец, определим по месяцам года индексы сезонности:

	январь		s	=	5,74		=1,042, или104,2%;
		Ι
					5,51
	февраль		s	=	6,45		=1,171, или117,1% ит.д.
		Ι
					5,51

Весь ход расчета индексов сезонности методом постоянной средней изложим в табл. 8.12.

Таблица 8.11

	Год						Месяц							Ито-
		I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII	го
	2001	173	184	167	142	137	145	153	171	143	162	178	185	1940
	2002	183	185	162	160	143	150	167	173	150	165	181	189	2008
	2003	178	179	161	184	151	156	177	181	157	174	193	197	2008
	Итого	534	548	490	486	431	451	497	525	450	501	552	571	6036
	Средне-
	дневные
	уровни	5,74	6,45	5,27	5,4	4,63	5,01	5,34	5,64	5,0	5,39	6,13	6,14	5,51
	по пе-
	риодам
	Индексы
	сезонно-	104,2	117,1	95,6	88,0	84,0	91,0	96,9	102,4	90,7	97,8	111,3	111,4	100,0
	сти

Совокупность исчисленных для каждого месяца годового цикла индексов сезонности характеризует сезонную волну развития изучения явления во внутригодовой динамике. Для получения наглядного представления о сезонной волне изобразим полученные индексы сезонности в виде линейного графика (рис. 8.4).

Если в ряду внутригодовой динамики имеется ярко выраженная общая тенденция роста, то индексы сезонности определяются на основе методов, позволяющих исключить (элиминировать) влияние тенденции роста. Рассмотрим применение одного из таких приемов на решении типовой задачи, в которой индексы сезонности определяются на основе аналитического выравнивания по прямой.

203

120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
Рис. 8.4. Сезонная волна заключения браков населением города
			в 2001 – 2003 гг. по месяцам

Задача 18. Реализация молочной продукции в магазинах города по кварталам 2000 – 2003 гг. характеризуется следующими данными (тыс. т):

				Таблица 8.12
				2003
Квартал	2000	2001	2002
I	39,9	38,1	45,9	55,7
II	65,8	82,3	101,5	115,5
III	63,9	83,4	103,8	121,7
IV	38,5	45,1	63,8	65,5
Итого	208,1	248,9	315,0	358,4

Существенной особенностью данного ряда является наличие ярко выраженной тенденции роста. Для её исключения используем метод, основанный на аналитическом выравнивании уровней ряда.

Формула расчета индекса сезонности в рядах динамики с общей тенденцией роста имеет следующий вид:

		y		i
Ιsi = ∑					: n,
		y
			t
				i

где уi – исходные (эмпирические) уровни ряда;

уt - выровненные (теоретические) уровни ряда; n – число годовых периодов.

Для нахождения выровненных по прямой уровней ряда уt используем уравнение

уt = a0 + a1t.

204

Параметры этого уравнения a0 и a1 определим упрощенным способом:

a0 = ∑nyi ; a1 = ∑∑tyt 2i .

Выберем начало отчета t таким образом, чтобы было выполнено условие ∑t = 0.

Поскольку в рассматриваемом примере число членов ряда четное (п = 16), то пронумеруем 8 уровней первой половины ряда (I – IV кварталы 2000 и 2001 гг.) числами (от середины) -1, -3, -5, -7, -9, -11, -13, -15, а 8 членов второй половины ряда (I – IV кварталы

2002 и 2003 гг.) – числами (от середины) +1, +3, +5, +7, +9, +11, +13, +15. При таком порядке обозначений уровней ряда ∑t = 0.

Ход последующих расчетов представим в таблице аналитического выравнивания ряда по прямой (упрощенным способом).

					Таблица 8.13
Период	Эмпирические	Обозначение	tуi	yti			yi	100
(п)	уровни ряда (уi)	(t)					yti
2000
I	39.9	-15	-598.5	46,65		85,5
II	65.8	-13	-855.4	49,85		132,0
III	63.9	-11	-702.9	53,05		120,0
IV	38.5	-9	-346.5	56,25		68,4
2001
I	38.1	-7	-266.7	59,45		64,1
II	82.3	-5	-411,5	62,65		131,4
III	83.4	-3	-250,2	65,85		126,6
IV	45.1	-1	-45,1	69,05		65,3
2002
I	45.9	+1	+45,9	72,25		63,5
II	101.5	+3	+304,5	75,45		134,5
III	103.8	+5	+519,0	78,65		132,0
IV	63.8	+7	+446,6	81,85		77,9
2003
I	55.7	+9	+501,3	85,05		65,5
II	115.5	+11	+1270,5	88,25		130,9
III	121.7	+13	+1582,1	91,45		133,1
IV	65.5	+15	+982,5	94,65		69,2

205

Из таблицы имеем:

∑yi = 1130,4; ∑t = 0; ∑tyi = 2175,6.

Значение ∑t2 определим по следующей формуле (при четном числе п):

∑t2 = (n −1)n(n +1)= 15 16 17 =1360. 3 3

Рассчитаем значение параметров:

a0 = ∑nyi = 113016 ,4 = 70,65;

a1 = ∑∑tyt 2i = 21751360,6 =1,6.

По исчисленным параметрам составляем уравнение прямой выравненного ряда динамики:

yt =70,65 + 1,6t.

На основании этого уравнения определяем значение уровней выравненного ряда динамики yt для каждого периода (квартала):

I квартал 2000 г. yt =70,65 + 1,6 · (-15) = 46,65; II квартал 2000 г. yt =70,65 + 1,6 · (-13) = 49,86 и т.д.

Значения yti для каждого квартала ряда динамики помещены в гр. 5 табл. 8.14.

Далее необходимо сопоставить по отдельным кварталам исходные (эмпирические) уровни ряда yi с соответствующими расчетными (теоретическими) уровнями yti , т.е. найти отношение yi : yt по кварталам:

	I	2000 г. =		39,9			= 0,855, или85,5%;
			46,65
	II	2000 г. =	65,8				=1,320, или132,0%;
			49,85
	III	2000 г. =	63,9			=1,2, или120%;
			53,05
	IV	2000 г. =		38,5			= 0,684, или 68,4%;
			56,25

. . . . . . . . . . . . . . . . .

	IV	2003 г. =	65,5	= 0,692, или 69,2%;
			94,65
				206

Значения процентных отношений ( уi				100 ) для каждого квар-
			yti
тала изучаемого ряда динамики помещены в гр. 6 табл. 8.14. Далее
может быть произведено осреднение исчисленных величин по од-
ноименным кварталам, %:
I = 85,5 +64,1+63,5 +65,5			= 69,6;
		4
II =	132,0 +131,4 +134,5 +130,9 =132,2;
		4
III =	120 +126,6 +132,0 +133,1 =127,9;
		4
IV =	68,4 + 65,3 + 77,9 +69,2 = 70,2.
		4
140		132,2
130			127,9
120
110
100
90
80				70,2
70		69,6
60
	I	II	III	IV

Рис. 8.5. Сезонность реализации молочной продукции в 2000 – 2003 гг. по кварталам (в процентах к среднегодовой реализации, принятой за 100%)

В результате получаем ряд индексов, характеризующих сезонную волну реализации молочной продукции по кварталам, в процентах к среднегодовой реализации, принятой за 100%:

I II III IV

69,6 132,2 127,9 70,2

Для наглядного представления сезонной волны реализации молочной продукции нанесем исчисленные индексы сезонности на график (рис. 8.5). Расчет индексов сезонности в рядах внутригодовой динамики производят и на основе подвижной (скользящей) средней. Рассмотрим применение этого способа, используя условие типовой задачи 15 данной главы.

207

Задача 19. В результате сглаживания ряда динамики при помощи подвижной (скользящей) средней получены следующие расчетные уровни:

Таблица 8.14

Исходные

Сглажен-

Исходные

Сглажен-

Год

Квар-

(эмпириче-

ные (рас-

Год

Квар-

(эмпириче-

ные (рас-

тал

ские) уров-

четные)

тал

ские) уров-

четные)

ни (уi)

уровни

ни (уi)

уровни

ряда (усi)

ряда (усi)

2000

I

175

-

2002

I

420

402,9

II

263

-

II

441

421,0

III

326

247,25

III

453

429,0

IV

297

287,6

IV

399

430,75

2001

I

247

297,0

2003

I

426

435,37

II

298

307,5

II

449

446,62

III

366

334,6

III

482

-

IV

341

374,1

IV

460

-

Определение индексов сезонности по

способу

подвижной

(скользящей) средней производится по формуле

y

i

Ιsi = ∑

: n,

y

c

i

где уi - исходные (эмпирические) уровни ряда;

ус – сглаженные (расчетные) уровни ряда;

п – число годовых периодов.

Для получения значений

yi

сопоставим по отдельным внут-

yci

ригодовым периодам (кварталам) исходные (эмпирические) уровни уi с соответствующими расчетными (сглаженными) уровнями усi :

	Квартал	Год		326			Индексы
	III	2000 =					=1,318, или131,8%;
			247,25
	IV	2000 =		297			=1,033, или103,3%;
			287,25
	I	2001 =	247		=	0,832, или 83,2%;
			297
			208

II

III

IV

I

II

III

IV

I

II

2001 =

2001 =

2001 =

2002 =

2002 =

2002 =

2002 =

2003 =

2003 =

307298,5 = 0,969, или 96,9%;

334366,6 =1,094, или109,4%;

374341,1 = 0,911, или 91,1%;

402420,9 =1,042, или104,2%;

441421 =1,047, или104,7%;

429453 =1,056, или105,6%;

430399,75 = 0,926, или 92,6%;

435426,37 = 0,978, или 97,8%;

446449,62 =1,005, или100,5%;

Произведем осреднение исчисленных величин по одноименным периодам – кварталам года, %:

I

=

83,2 +104,2 +97,8

=

285,2

=95,1;

3

3

II

=

96,9 +104,7 +100,5

=

302,1

=100,7;

3

3

III

=

131,8 +109,4 +105,6

=

346,8

=115,6;

3

3

IV

=

103,3 +91,1+92,6

=

287

= 95,7.

3

3

В результате получим ряд индексов, характеризующий сезонную волну реализации сельскохозяйственной продукции (в процентах к среднегодовой реализации, принятой за 100%) по кварталам:

I	II	III	IV
95,1	100,7	115,6	95,7
	209

120
115				115,6
110
105
100			100,7
95	95,1			95,7
90
	I	II	III	IV

Рис. 8.6. Сезонность комиссионной торговли продуктами сельскохозяйственного производства по кварталам 2000 – 2003 гг. (в процентах к среднегодовой реализации, принимаемой за 100%)

Для наглядного представления сезонной волны, характеризующей внутригодовую динамику комиссионной торговли продуктами сельскохозяйственного производства, изобразим полученные индексы сезонности в виде линейного графика (рис. 8.6).

Задачи

20.1. Имеются следующие данные по городу о численности родившихся детей по месяцам 2001 – 2003 гг. (чел.):

Таблица 8.15

Месяц	2001	2002	2003	Месяц	2001	2002	2003
Январь	454	413	410	Июль	363	347	351
Февраль	389	354	352	Август	358	350	346
Март	420	394	394	Сентябрь	345	336	333
Апрель	393	370	373	Октябрь	342	335	334
Май	391	374	383	Ноябрь	328	322	319
Июнь	358	343	341	Декабрь	315	316	310

Для анализа ряда внутригодовой динамики: 1) определите индексы сезонности методом постоянной средней; 2) представьте в виде линейного графика сезонную волну развития изучаемого явления по месяцам года; 3) сделайте выводы.

20.2. Получены следующие данные о внутригодовой динамике числа расторгнутых браков населением города по месяцам 2001 – 2003 гг. (число случаев):

210

Таблица 8.16

Месяц	2001	2002	2003	Месяц	2001	2002	2003
Январь	195	158	144	Июль	126	128	124
Февраль	164	141	136	Август	121	122	119
Март	153	153	146	Сентябрь	118	118	118
Апрель	136	140	132	Октябрь	126	130	128
Май	136	136	136	Ноябрь	129	131	135
Июнь	123	129	125	Декабрь	138	141	139

Для анализа внутригодовой динамики расторжения гражданских браков: 1) определите индексы сезонности методом постоянной средней; 2) представьте в виде линейного графика сезонную волну развития изучаемого явления по месяцам года; 3) сделайте выводы.

20.3. Имеются следующие данные о реализации животных жиров через продовольственные магазины города по месяцам 2001 – 2003 гг. (т):

Таблица 8.17

Месяц	2001	2002	2003	Месяц	2001	2002	2003
Январь	20,1	27,5	19,9	Июль	25,1	26,0	26,1
Февраль	21,3	29,1	22,4	Август	29,0	24,9	28,7
Март	21,5	30,8	26,4	Сентябрь	32,5	28,6	30,7
Апрель	28,2	31,5	27,1	Октябрь	33,4	27,0	32,7
Май	23,0	26,8	21,6	Ноябрь	30,4	23,1	31,2
Июнь	26,3	28,2	26,2	Декабрь	33,2	22,1	30,9

Для изучения внутригодовой динамики реализации жиров (животных): 1) определите индексы сезонности методом постоянной средней; 2) представьте в виде линейного графика сезонную волну развития изучаемого явления по месяцам года; 3) сделайте выводы.

211

ГЛАВА 9. ИНДЕКСЫ

9.1. Расчеты индивидуальных индексов объема производства, товаооборота, цен и себестоимости

Методические указания и решение типовой задачи

Расчеты индивидуальных (однотоварных) индексов просты по своей сущности и выполняются путем вычисления отношения двух индексируемых величин. Однако индивидуальные индексы могут исчисляться в виде индексного ряда за несколько периодов. При этом существуют два способа расчета индивидуальных индексов: цепной и базисный. При цепном способе расчета за базу отношения принимается индексируемая величина соседнего прошлого периода. В этом случае база расчета в ряду постоянно меняется. При базисном способе расчета за базу принимается индексируемая величина какого-то одного периода. Индексы, рассчитанные цепным способом, называются цепными, рассчитанные базисным способом - базисными. Для индивидуальных индексов действует правило: произведение цепных индексов дает базисный индекс или, наоборот, частное от деления базисных индексов дает цепной индекс. Поэтому, имея цепные индексы, можно перейти к базисным, а имея базисные, - к цепным без прямого расчета.

Задача 1. Рассмотрим пример расчета индивидуальных индексов на примере индексов объема производства продукции А. Имеются данные, тыс. т:

1998	1999	2000	2001	2002	2003
400	420	446	478	492	520

Исчислим сначала цепные индексы:

индекс продукта А 1999 г. к 1998 г. iq = q99 = 420 =1,05, или 105%; q98 400

	индекс 2000 г. к 1999 г. iq	=	q2000	=	446	=1,062, или 106,2% и т.д.
			q99		420

В результате расчетов получим индивидуальные цепные индексы объема производства продукции А:

212

	1998	1999	2000	2001	2002	2003
Коэффициенты	-	1,05	1,062	1,072	1,029	1,057
Проценты	-	105	106,2	107,2	102,9	105.7

Рассчитаем базисные индексы путем перемножения цепных индексов. Постоянной базой при этом будет 1998 г. Базисный индекс 1999 г. к 1998 г. равен цепному (1,05).

Базисный индекс 2000 г. к 1998 г.

iq

=

q99

q2000

=

q2000

=1,05 1,062 =1,115.

q98

q98

q99

Базисный индекс 2001 г. к 1998 г.

iq

=

q2000

q01

=

q01

=1,115 1,072 =1,195.

q2000

q98

q98

Базисный индекс 2002 г. к 1998 г.

iq =

q02

q02

=

q02

=1,195 1,029 =1,23.

q98

q01

q98

Базисный индекс 2003 г. к 1998 г.

iq =

q02

q03

=

q03

=1,23 1,057 =1,3.

q02

q98

q98

Проверим наш расчет исчислением базисного индекса 2003 г.

к 1998 г. прямым путем: 520 : 400=1,30 (или 130%).

Такая проверка может быть проведена для любого года. Аналогичным образом производятся расчеты индивидуальных

индексов физического объема товарооборота iq, цен ip и себестоимости iz.

Задачи

1. Имеются следующие данные о производстве тканей в РФ за

1999-2003 г.г. (тыс. м):

					Таблица 9.1
	Год		Ткани
		Хлопчатобумажные	шерстяные	льняные	шелковые
	1999	7810	552	768	1517
	2000	7899	567	781	1588
	2001	7902	574	787	1609
	2002	8049	579	796	1619
	2003	8027	572	729	1615

213

Исчислите цепные индексы производства продукции в коэффициентах и процентах. На основе цепных индексов рассчитайте для каждого года базисные индексы, принимая за базу 1999 г. Для 2003г. проверьте правильность расчета базисного индекса прямым способом. Абсолютные цифры нанесите на график. Выполните указанное задание: 1) по хлопчатобумажным тканям; 2) по шерстяным тканям; 3) по льняным тканям; 4) по шелковым тканям.

2.Имеются следующие данные о производстве сахара и масла

вРФ за 1999-2003 г.г. (тонн):

					Таблица 9.2.
	Год	Сахар-	Сахар-песок	Масло жи-	Масло расти-
		рафинад		вотное	тельное
	1999	2478	10382	1231	3344
	2000	2525	9249	1263	2775
	2001	2593	12036	1408	2943
	2002	2692	12207	1381	2967
	2003	2656	10647	1325	2819

Исчислите базисные индексы (в коэффициентах и процентах) объема производства продукции, приняв за базу 1999 г., нанесите значения полученных базисных индексов на график и на основе базисных индексов исчислите цепные индексы для 2001, 2002 и 2003 г.г.: 1) по сахару-рафинаду; 2) по сахару-песку; 3) по маслу животному; 4) по маслу растительному.

9.2. Расчеты агрегатных общих и групповых индексов объема производства (товарооборота), цен, себестоимости и производительности труда

Методические указание и решение типовой задачи

Агрегатный индекс является основной формой общих и групповых индексов физического объема производства (товарооборота). Цен, себестоимости и производительности труда (по трудовым затратам). Он представляет собой отношение сумм произведений индексируемых величин и их весов. Так как весами служат показате-

ли, экономически тесно связанные с индексируемыми величинами, то полученные произведения образуют определенные экономиче-

214

ские категории. Так, в индексах объема производства (товарообо-

рота) индексируются натуральные количества q произведенной (проданной) продукции, в качестве весов берутся цены р, а полученные произведения образуют стоимости pq отдельных видов произведенной (проданной) продукции. В индексах цен индексируются цены, в качестве весов берутся натуральные количества произведенной продукции, а полученные произведения дают стоимости отдельных видов продукции. В индексах себестоимости индексируются себестоимости единицы продукции z, в качестве весов выступают количества произведенной продукции q, а полученные произведения показывают затраты в производстве на отдельные виды продукции zq. И наконец, в индексах производительности труда по трудовым затратам индексируются затраты труда на единицу продукции t, в качестве весов выступают количества продукции q, а полученные произведения показывают общие затраты труда на данный вид продукции tq.

Вагрегатных индексах индексируемые величины в числителе

изнаменателе относятся к разным периодам (отчетному и базисному), а веса – неизменные, относящиеся к какому-либо одному периоду. При этом индексы объемных показателей рассчитываются по весам (обычно ценам) базисного периода, а индексы качественных показателей (цен, себестоимости, производительности труда) – по весам (объему продукции) отчетного периода.

Задача 2. Рассмотрим пример расчета агрегатного индекса цен. в качестве исходной информации используем цены отдельных товаров и количественные объемы продаж за отчетный и базисный периоды на колхозном рынке, приведенные в табл. 9.3.

Общий индекс цен по всем товарам будет равен:

I p = Σp1q1 = 48000 =1,010, или 101,0%. Σp0q1 47500

Следовательно, цены в среднем повысились на 1%. В числителе индекса – фактическая стоимость товаров, проданных в отчетном периоде, а в знаменателе – стоимость этих же товаров в ценах базисного периода. Стоимость товаров в ценах базисного периода меньше фактической, значит покупатели заплатили в отчетном периоде на 500 руб. (48000 – 47500) больше в связи с ростом цен.

Общее повышение цен на 1% явилось результатом различных тенденций движения цен отдельных товаров. Исходные данные

215

показывают, что цены на овощную группу товаров снижались, а на молочную – росли. Более широкую информацию о динамике цен на колхозном рынке мы получим, если в дополнение к общему индексу рассчитаем групповые индексы цен овощной и молочной групп товаров. Расчет делаем по аналогичной методике.

									Таблица 9.3
п/пНомер			измеренияЕдиница					Стоимость това-
				Цена, коп.		Продано в нату-		ров, руб., продан-
						ральных единицах		ных в отчетном
		Товары						периоде по ценам
				базис-	отчет-	базис-	отчет-	базис-		отчет-
				ный	ный	ный	ный	ный		ный
				период	период	период	период	период		период
				(p0)	(p1)	(q0)	(q1)	(p0q1)		(p1q1)
1		Карто-	кг	16	15	80000	100000	16000		15000
		фель
2		Капуста	кг	20	20	45000	50000	10000		10000
		свежая
3		Морковь	кг	40	35	15000	20000	8000		7000
4		Молоко	кг	50	60	12000	10000	5000		6000
5		Творог	кг	150	180	4000	5000	7500		9000
6		Сметана	кг	200	200	200	500	1000		1000
		Итого	-	-	-	-		47500		48000
в том числе
		овощи	-	-	-	-		34000		32000
	(1+2+3)
	молочные
	продукты		-	-	-	-		13500		16000
	(4+5+6)

Индекс цен по товарам овощной группы равен:

I p = Σp1q1 = 32000 = 0,941, или 94,1%. Σp0q1 34000

Индекс цен по товарам молочной группы равен:

I p = Σp1q1 = 16000 =1,185, или 118,5%. Σp0q1 13500

Значит, по овощной группе товаров цены снизились на 5,9%, и покупатели имели экономию в сумме 2000 руб., в то время как по молочной группе цены повысились на 18,5%, и покупатели заплатили в связи с этим на 2500 руб. больше.

216

Аналогичным образом производится расчет индекса себестоимости. При этом сравниваются суммы затрат в производстве в отчетном периоде (Σz1q1 – числитель индекса) с суммой затрат в производстве на продукцию отчетного периода по себестоимости базисного периода (Σz0q1 – знаменатель).

Аналогично может быть произведен расчет и индекса производительности труда по методу трудовых затрат. Это делается путем сравнения общей суммы затрат труда на продукцию отчетного периода, рассчитанную по затратам труда на единицу продукции базисного периода Σt0q1, с фактическими затратами труда на ту же

продукцию в отчетном периоде Σt1q1. Этот индекс ( It = Σt0 q1 ) пока-

Σt1q1

зывает, на сколько процентов повысилась производительность труда и какова сумма экономии в трудовых затратах. Особенность его заключается в том, что в числителе дроби находится индексируемая величина базисного периода t0, а в знаменателе – отчетного периода t1. Это объясняется тем, что индексируются затраты труда на единицу продукции, т.е. величины, обратные производительности труда.

Расчет агрегатного индекса физического объема производства (и товарооборота) производится по весам (ценам) базисного периода. В соответствии с этим числитель индекса будет Σq1p0, а знаменатель – Σq0p0. Это означает, что в индексе сравниваются стоимости произведенной (или проданной) продукции в одинаковых (неизменных) для обоих периодов ценах.

Используя данные условия задачи, рассчитаем индекс физического объема товарооборота:

I

q

=

Σq1 p1

=

Σq0 p0

=

47500

=

80000 0,16 + 45000 0,2 +15000 0,4 +12000 0,5 + 4000 1,5 + 200 2

=

47500

=

47500

=1,181,

12800

+ 9000 + 6000 + 6000 + 6000 + 400

40200

или 118,1%.

Значит, объем проданной товарной массы в неизменных ценах увеличился на 18,1%.

Так же, как и при расчете индекса цен, здесь могут быть исчислены групповые индексы физического объема продукции по

217

овощной и молочной группам. Индекс объема продукции по овощной группе равен:

Iq = 3400027800 =1,223, или 122,3%.

Индекс объема продукции по молочной группе равен:

Iq = 1350012400 =1,125, или 112,5%.

Задачи

5. Имеются следующие данные об объеме продаж и ценах на колхозном рынке:

				Таблица 9.4
Товар	Продано, кг		Цена 1 кг, руб.
	базисный	отчетный	базисный	отчетный
	период	период	период	период
Картофель	5000	6000	5	4,5
Капуста	2000	2500	3,5	3
Свекла	800	900	1	1,2
Морковь	1000	1500	4	3,5
Молоко	10000	12000	20	18
Сметана	500	550	25	22

Исчислите групповой агрегатный индекс и определите абсолютную сумму экономии (переплаты) денежных средств у населения от снижения (роста) цен на товары: 1) капусту, картофель, свеклу и морковь; 2) молока и сметаны.

6.Используя данные предыдущей задачи, исчислите групповой агрегатный индекс физического объема продаж: 1) картофеля, капусты, свеклы и моркови; 2) молока и сметаны.

7.Имеются следующие данные о себестоимости произведенной продукции на заводе N:

			Таблица 9.5
Изделие	Себестоимость единицы продукции, коп.		Произведено продукции в
	базисный период	отчетный период	отчетном периоде, тыс. шт.
А	28	27	5000
Б	59	55	8000
В	15	12	2000
Г	83	80	6000
Д	75	73	5000

218

Исчислите групповой агрегатный индекс себестоимости: 1) изделий А и Б; 2) изделий Б и В; 3) изделий В и Г; 4) изделий

Ги Д.

8.Имеются следующие данные о затратах труда на единицу продукции на заводе М:

			Таблица 9.6
			Произведено продукции в
Изделие	Затраты труда на единицу продукции, ч
	базисный период	отчетный период	отчетном периоде, тыс. ед.
А	2,5	2,2	1000
Б	0,5	0,4	2500
В	3,2	2,8	500
Г	1,5	1,2	3000
Д	0,8	0,75	800

Исчислите групповой агрегатный индекс производительности труда (по трудовым затратам): 1) для продукции А и Б; 2) для продукции Б и В; 3) для продукции В и Г; 4) для продукции Г и Д.

9.3.Расчеты агрегатных индексов с постоянными

ипеременнымивесами, цепных ибазисныхагрегатных индексов

Методические указания и решение типовых задач

В предыдущем параграфе отмечалось, что расчет агрегатных индексов физического объема продукции и товарооборота производится по неизменным ценам базисного периода. Это позволяет, используя индексный ряд за несколько периодов, получить динамику стоимости продукции и динамику товарооборота в неизменных ценах, т.е. в ценах какого-то одного прошлого периода. Такие индексные ряды называются индексами с постоянными весами; в них действует правило: произведение цепных индексов дает индекс базисный.

Задача 3. По заводу имеются следующие данные об объеме производства и стоимости продукции:

219

																			Таблица 9.7
Вид продукции																		Стоимость продук-
		Единица					Произведено								Цена			ции в неизменных
							продукции							в 1998 г.,				ценах 1998 г.,
		измерения
														тыс. руб.				тыс. руб.
							2001	2002			2003							2001	2002		2003
А		тыс. т					60	64			69			5000			300		320		345
Б		млн. шт.					5,5	6,2			7,0			2000			11000		12400		14000
Всего							-	-			-			-			11300		12720		14345
	Требуется рассчитать индексы физического объема продукции
с постоянными весами.
	Исчислим индексы с постоянной базой (базисные):
		I 2002			=		12720		=1,126;		I 2003			=	14350		=1,270.
							11300							11300
		2001									2001

Исчислим индексы с переменной базой (цепные):

	I 2002		=	12720	=1,126;	I 2003		=	14350		=1,128.
				11300					12720
		2001					2002

Убедимся, что произведение цепных индексов равно базисно-

му: 1,126 1,128 =1,270.

Иное положение с индексами цен, себестоимости и производительности труда. Имея в качестве весов количество продукции отчетного периода q1, эти индексы образуют индексные ряды с переменными весами, поскольку в каждом отдельном индексе отчетный период изменяется. Индексный ряд с переменными весами не подчиняется правилу, согласно которому произведение цепных индексов дает индекс базисный. Величина ошибки, возникающей при этом, зависит от степени варьирования индивидуальных индексов индексируемых величин и весов, а также от степени тесноты связи между их изменениями.

В качестве примера разберем индексы себестоимости с переменными весами.

Задача 4. по цеху имеются следующие данные об объеме производства и себестоимости продукции:

220

									Таблица 9.8
Вид про-	Единица	Выработано продукции					Себестоимость единицы
			за квартал				продукции в квартале, руб.
дукции	измерения
		I		II		III	I	II		III
А	шт.	100	120			150	10,0	9,9	9,6
Б	>>	300	310			320	35	35	34
В	кг	7800	8200			8500	0.5	0,48	0,45

Требуется рассчитать индексы себестоимости с переменными весами:

I IIKB..

IKB.

=9,9 120 +35 310 +0,48 8200 = 10 120 +35 310 +0,50 8200

=

1188 +10850

+3936

==

15974

= 0,989;

+ 4100

1200 +10850

16150

I IIIKB..

=

9,6

150

+34 320 + 0,45 8500

=

150

+35 320 +0,48 8500

9,9

IIKB.

=

1440 +10880 +3825

==

16145

= 0,963.

1485 +11200

+ 4080

16765

Перемножив цепные индексы, получим:

0,989 0,963 = 0,9524. .

Рассчитаем базисный индекс III квартала:

III кв.

=

9,6 150 +34 320 + 0,45 8500

=

I кв.

10

150

+35 320 +0,50 8500

=

1440 +10880 +3825

==

16145

= 0,9525.

1500 +11200 + 4250

16950

Как видим, расхождение есть, но оно проявляется только в четвертом знаке после запятой. Величина расхождения не многим более 0,01% (0,0001 от 0,9524).

Задачи

9.1. Имеются следующие данные о ценах и количестве товаров, проданных на колхозном рынке города А:

221

Таблица 9.9

	Товар		Продано			Среднегодовая цена, руб.
		2001	2002	2003	2001		2002	2003
	Молоко, тыс. л	200	250	300		22000	20000	25000
	Картофель, т	600	750	900	15000		14000	14000
	Яйца, тыс. десятков	20	15	25	11000		12500	12000

Исчислите индексы цен: 1) 2002 г. к 2001 г.; 2) 2003 г. к 2002 г.; 3) 2003 г. к 2001 г.

9.4. Расчеты средних арифметических индексов объема производства и производительности труда

Методические указания и решение типовых задач

Всякий агрегатный индекс может быть преобразован в средний арифметический из индивидуальных индексов. Для этого индексируемая величина отчетного периода, стоящая в числителе агрегатного индекса, заменяется произведением индивидуального индекса на индексируемую величину базисного периода (исключением является индекс производительности труда).

	Так индивидуальный индекс цен равен i =	p1	, откуда p1 = ip0 .
		p0

Следовательно, преобразование агрегатного индекса цен в средний арифметический имеет вид

I

p

=

Σp1q1

=

Σip0q1 .

Σp

q

Σp q

0

1

0

1

Аналогично

индекс

себестоимости равен

i =

z1

, откуда

z0

z

= iz

, следовательно I

z

=

Σz1q1

=

Σiz0q1 .

1

0

Σz

q

Σz

q

0

1

0

1

Аналогично индекс физического объема продукции (товаро-

оборота) равен i = q1 , откуда q1 =iq0 , следовательно, q0

I	p	=	Σq1 p0	=	Σiq0 p0 .
			Σq0 p0		Σq0 p0
			222

Индекс производительности труда равен i =							t0	, откуда t	0	=it ,
							t1			1
следовательно, I	t	=	Σt0 q1		=	Σit1q1 .
			Σt q			Σt1q
			1	1		1

Из приведенных формул средних арифметических индексов видно, что индексы физического объема продукции и производительности труда отличаются весами индивидуальных индексов. В качестве весов в указанных средних арифметических индексах выступают либо фактические стоимости продукции базисного периода q0p0, либо фактические затраты труда на продукцию отчетного периода t1q1. Это обстоятельство определяет преимущества и практическую значимость средних арифметических индексов физического объема продукции и производительности руда по сравнению с агрегатными, так как их можно применять в том случае, когда в исходной информации нет раздельных значений p и q или t и q.

В средних арифметических индексах цен и себестоимости весами служат произведения p и q и z и q, в которых p и z относятся к базисному периоду, а q – к отчетному. Значит, для определения этих весов необходимо иметь в исходной информации раздельные значения p и q или z и q. Если же имеются такие значения в исходной информации, то можно применять непосредственно агрегатный индекс. Значит, средние арифметические индексы цен и себестоимости продукции не имеют преимущества перед агрегатными , это обстоятельство лишает их практической значимости. Поэтому практически средние арифметические индексы применяются для расчета общих и групповых индексов физического объема продукции (товарооборота) и производительности труда по трудовым затратам.

Задача 5. Рассмотрим метод определения среднего арифметического индекса физического объема продукции на следующем примере. Имеются данные:

		Таблица 9.10
		Индексы физического объема
	Стоимость продукции
Отрасль производства	в базисном году, млн.	продукции отчетном году
	руб.	(базисный год = i)
Сахарная	20,0	1,47
Мукомольно-крупяная	30,0	1,55
Мясная	25,0	1,71
Рыбная	15,0	2,10
Итого	90,0	-

223

Рассчитаем средний арифметический индекс физического объема продукции по четырем отраслям

	I		=	Σiq0 p0 =	1,47 20	+1,55 30 +1,71 25 + 2,10 15				=
		q		Σq0 p0			20 +30 + 25 +15
=	19,9 + 46,5 + 42,75 +31,5					=		150,15	=1,667, или 166,7%.
							90
				90

Физический объем продукции четырех отраслей увеличился на 66,7%. Такой же результат мы получим, если вместо абсолютных сумм стоимости продукции базисного периода используем в качестве весов удельные веса (в процентах) каждой отрасли в общем итоге стоимости продукции базисного периода.

Задача 6. Рассмотрим метод расчета среднего арифметического индекса производительности труда на следующем примере. имеются данные:

					Таблица 9.11
	Затраты труда на еди-		Удельный вес		Взвешен-
	ницу продукции, чел.-ч		затрат труда на	Индивиду-
Вид					ные индек-
			производство	альные ин-	сы произ-
продук-	базисный	отчетный	отдельных ви-	дексы произ-	водительно
ции	период	период	дов продукции	водительност	сти труда
	(t0)	(t1)	в отчетном пе-	и труда ( i )	(iT1)
			риоде, % (T1)
А	5,94	5,4	30	1,1	33
Б	7,98	7,6	50	1,05	52,5
В	3	3	20	1,0	20
Итого	-	-	100	-	105,5

Рассчитаем средний арифметический индекс производительности труда по трем видам продукции

It = ΣiT1 = 105,5 =1,055 , или 105,5%. ΣT1 100

Задачи

1.1. Имеются следующие данные о темпах роста продукции по отдельным отраслям промышленности в отчетном году по сравнению с базисными и об удельном весе стоимости продукции данной отрасли в стоимости всей промышленной продукции в базисном периоде:

224

		Таблица 9.12
Отрасль промышленности	Темп роста	Удельный вес, %
I	1,08	15
II	1,05	10
III	1,12	20
IV	1,10	12
V	1,09	8

Исчислите средний арифметический индекс объема произведенной продукции: 1) по I и II отраслям вместе; 2) по II и III отраслям вместе; 3) по III и IV отраслям вместе; 4) по IV и V отраслям вместе.

12.1.Товарооборот в 1, 2 и 3-й секциях магазина составил в прошлом году соответственно 16, 18 и 20 млн. руб. Определите общий индекс физического объема товарооборота магазина в отчетном году, если известно, что товарооборот в неизменных ценах увеличился в 1-й секции на 20%, во 2-й – на 16% и в 3-й – на 12%.

12.2.Определите общий индекс физического объема товарооборота магазина в отчетном году при условии, что товарооборот прошлого года в 1, 2 и 3-й секциях составил соответственно 35, 25

и8 млн. руб., а темпы прироста товарооборота в неизменных ценах составил соответственно 5, 8 и 12%.

12.3.Определите общий индекс физического объема товарооборота магазина в отчетном году при условии, что товарооборот прошлого года во 2-й секции был вдвое больше, чем в 1-й, и в 3-й

– в 1,5 раза больше, чем во 2-й, а темп прироста товарооборота в 1, 2 и 3-й секциях в неизменных ценах составил соответственно

10, 15 и 20%.

12.4.Определите общий индекс физического объема товарооборота магазина в отчетном году при условии, что товарооборот в прошлом году составил в 1-й секции 8 млн. руб., во 2-й – 6 млн. руб. и в 3-й – 10 млн. руб., а темпы прироста товарооборота в неизменных ценах составили соответственно 8, 5 и 4%.

13. Имеются следующие данные о росте производительности труда по отраслям промышленности и удельном весе этих отраслей в общем объеме затрат труда по всем отраслям промышленности в отчетном периоде:

225