Таблица 9.13
Отрасль промышленности	Индексы производительности	Удельный вес, %
	труда
I	1,05	10
II	1,08	12
III	1,10	14
IV	1,04	8
V	1,06	6

Исчислите средний арифметический индекс производительно-

сти руда по отраслям: 1) I и II; 2) II и III; 3) III и IV; 4) IV и V.

ГЛАВА 10. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИИ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ЯВЛЕНИЯМИ

10.1. Расчет параметров уравнения прямой по индивидуальным данным

Методические указания и решение типовых задач

Если результативный признак с увеличением факторного признака равномерно возрастает или убывает, то такая зависимость является линейной и выражается уравнением прямой

y = a0 + a1 x,

где y - индивидуальные значения результативного признака; x - индивидуальные значения факторного признака;

a0, a1 - параметры уравнения прямой (уравнения регрессии). Параметры уравнения прямой a0, a1, определяются путем ре-

шения системы нормальных уравнений, полученных по методу наименьших квадратов:

na0 + a1Σx = Σy;

a0Σx + a1Σx2 = Σyx.

Параметры уравнения можно определить также по следующим формулам:

226

a =	xy − xy	;	a		= y − a x.
	x 2 −(x)2
1				0	1

Задача 1. Имеются следующие данные по десяти однородным предприятиям:

номер предприятия	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
электровооруженность
труда на 1 работаю-
щего, кВт * ч	2	5	3	7	2	6	4	9	8	4
выпуск готовой про-
дукции на 1 работаю-
щего, тыс. руб.	3	6	4	6	4	8	6	9	9	5

Зависимость между электровооруженностью труда и продукцией на одного работающего – линейная и выражается уравнением прямой

yx = a0 + a1x,

где yх – выпуск готовой продукции на одного работающего; x – электровооруженность труда на одного работающего; a0 и a1 - параметры уравнения регрессии.

Для определения параметров уравнения регрессии строим расчетную таблицу.

Таблица 10.1

	Электровоору-	Выпуск готовой
Номер	женность труда	продукции на 1	ху	х2	ух
	на 1 работающе-	работающего,
завода	го, кВтч	тыс. руб.
	х	у
1	2	3	6	4	3,61
2	5	6	30	25	6,0
3	3	4	12	9	4,41
4	7	6	42	49	7,59
5	2	4	8	4	3,61
6	6	8	48	36	6,80
7	4	6	24	16	5,20
8	9	9	81	81	9,19
9	8	9	72	64	8,38
10	4	5	20	16	5,20
Итого	50	60	343	304	60
В среднем	5,0	6,0	34,3	30,4

227

Подставим в систему нормальных уравнений фактические данные из таблицы:

10a0 +50a1 = 60;

50a0 +304a1 =343.

Решаем систему нормальных уравнений в следующей последовательности:

домножим каждый член первого уравнения на 5 50a0 + 250a1 =300; 50a0 +304a1 =343.

Вычтем из второго уравнения первое и получим

43 =54a1 ,

откуда

a1 = 43: 54 = 0,7963.

Подставим значение а1 в первое уравнение, получим а0 = 2,02. Уравнение корреляционной связи примет вид

yx = 2,02 +0796x.

Параметры уравнения регрессии можно определять и по формулам

	a	=	xy − xy	=	34,3	−5 6	= 0,796;
			x 2 −(x)2		30,4	−5 5
	1
	a0	= y − a1 x = 6,0 −0,796 5,0 = 2,02.

После определения параметров уравнения регрессии рассчитываем теоретическую линию регрессии ух путем подстановки значений х в уравнение корреляционной связи:

y1 = 2,02 +0,796 2 =3,61;

y2 = 2,02 +0,796 5 = 6,0 и т.д.

Если параметры уравнения связи определены правильно, то

Σy =Σyx .

Окончательная проверка правильности расчета параметров уравнения связи производится подстановкой а0 и а1 в систему нормальных уравнений.

Используя уравнение корреляционной связи yx = a0 + a1x, можно определить теоретическое значение ух для любой промежу-

228

точной точки (теоретическое значение выпуска готовой продукции на 1 работающего для любого промежуточного значения электровооруженность труда на 1 работающего).

Коэффициент регрессии а1 уточняет связь между х и у. Он показывает, но сколько единиц увеличивается результативный признак при увеличении факторного признака на единицу. В нашем примере а1 = 0,796. Значит, при увеличении электровооруженности труда на 1 работающего на 1 кВтч выпуск продукции увеличивается на 0.796 тыс. руб.

Задачи

1.1.По семи однородным семьям имеются следующие данные

одоходах и потреблении молока за месяц (на одного члена семьи):

номер семьи		1	2	3	4	5	6	7
доход (х), руб		54	63	74	90	112	140	190
потребление	молока (у), л	8	10	11	13	15	17	19

Найдите уравнение корреляционной связи между доходом и потреблением молока (связь линейная). Проанализируйте параметры уравнения регрессии. Изобразите графически данную зависимость.

1.2. По десяти однородным семьям имеются следующие данные о доходах и расходах на промышленные товары за месяц:

номер семьи	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
доход на душу, руб.	100	120	110	115	125	130	125	140	140	150
расходы на промышлен-
ные товары, руб.	12	13	18	19	20	20	25	30	31	35

Найдите уравнение корреляционной связи между доходом и расходами на промышленные товары (связь линейная). проанализируйте параметры уравнения связи. Изобразите корреляционную связь на графике.

1.3. По 8 рабочим механического завода имеются следующие данные:

номер рабочего	1	2	3	4	5	6	7	8
стаж работы (х), лет	1	3	4	2	5	7	8	9
выработкаодногорабочегозасмену(у), шт.	80	90	120	100	110	150	160	130

Найдите уравнение корреляционной связи между стажем работы и выработкой (связь линейная). Проанализируйте пара-

229

метры уравнения регрессии. Изобразите корреляционную связь графически.

1.4. По 10 однородным предприятиям имеются следующие данные:

выпуск готовой продукции
на 1 работающего, тыс. руб.	6.3	6,0	7,5	8,5	3,5	6,2	7,5	8.7	6,0	3,7
электровооруженность труда
на 1 работающего, кВтч	5	4	6	7	3	4	6	7	4	3

Найдите уравнение корреляционной связи между выработкой и электровооруженностью труда. Проанализируйте параметры уравнения регрессии. Изобразите корреляционную связь графически.

10.2. Расчет коэффициента ассоциации

Методические указания и решение типовой задачи

Коэффициент ассоциации применяется для определения степени связи двух признаков, вариации которых носят альтернативный характер.

Для расчета коэффициентов ассоциации строится четырехклеточная корреляционная таблица, которая носит название «таблицы четырех полей». Статистическое сказуемое таблицы можно представить следующим образом:

а	b	a+b
с	d	c+d
а+с	b+d	a+b+c+d

Расчет коэффициента ассоциации производится по формуле

	Ka =	ad −bc	.
		(a +b)(b + c)(a + c)(c + d )

Если Ка не менее 0,3, то это свидетельствует о наличии связи между качественными признаками.

Задача 9. Имеются следующие данные о цвете глаз матерей и дочерей:

230

			Таблица 10.2
Цвет глаз дочери		Цвет глаз матери	итого
	светлый	темный
Светлый	471	148	619
Темный	151	230	381
Итого	622	378	1000

Рассчитаем коэффициент ассоциации

= 471 230 −148 151 =

Ka 0,365.

619 381 622 378

Между цветом глаз матерей и дочерей существует корреляционная связь.

Задачи

9.1. По заводу имеются следующие данные:

			Таблица 10.3
	Число рабочих в группе
Группы рабочих	выполнивших	не выполнивших
	и перевыполнивших			всего
		норму выработки
	норму выработки
Прошедшие	115	20		135
техническое
обучение
Не прошедшие	15	50	65
техническое
обучение
Итого	130	70	200

Установите степень тесноты связи между выполнением норм выработки и технической подготовкой рабочих.

9.2. По району имеются данные о наличии в 100 колхозах подсобных предприятий и садовых насаждений:

			Таблица 10.4
Наличие подсобных	Наличие садовых насаждений
предприятий	есть	нет	итого
Нет	32	14	46
Есть	20	34	54
Итого	52	48	100

231

Установите тесноту связи между наличием подсобных предприятий и садовых насаждений в колхозах.

9.3.По колхозу имеются данные о внесении удобрения в почву

иурожайности по 60 участкам:

				Таблица 10.5
Степень удобрения почвы		Урожайность
	низкая		высокая	итого
Низкая	16		10	26
Высокая	6	28		34
Итого	22	38		60

Установите тесноту связи между урожайностью и степенью удобрения почвы.

9.4. В результате обследования населения района получены данные:

				Таблица 10.6
	Семейное	Число лиц,	Число лиц,
		имеющих	не имеющих	Всего
	положение
		сбережения	сбережения
	Одинокие	120	80	200
	Семейные	600	200	800
	Итого	720	280	1000

Установите тесноту связи между семейным положением и наличием сбережений.

10.3. РасчеткоэффициентавзаимнойсопряженностиА.А. Чупрова

Методические указания и решение типовой задачи

Коэффициент взаимной сопряженности А.А. Чупрова применяется для измерения тесноты связи качественных признаков и рассчитывается по формуле

K =	ϕ2
		,
	(K1 −1)(K2 −1)

232

где К1 – обозначает число возможных значений первой статистической величины (число групп);

К2 – число возможных значений второй статистической величины;

ϕ2 – показатель взаимной сопряженности, который определя-

ется как сумма отношений квадратов частот каждой клетки таблицы распределения к произведению итоговых частот соответствующего столбца и строки. Вычитая из этой суммы единицу, получим

величину ϕ2 .

Задача 10. Рассмотрим расчет коэффициента взаимной сопряженности по данным задачи 9.3.

				Таблица 10.7
Степень удобрения почвы		Урожайность
	низкая		высокая	итого
Низкая	16		10	26

(256)(100)

	11,64	263	14,27	0,509
Высокая	6	28	34
	(36)	(784)
	1,63	20,63	22,76	0,618
Итого	22	38	1,1273

Вычислительная работа ϕ2 производится по следующей схеме

(табл. 10.6). Сначала, в верхней части каждой клетки этой схемы записываются частоты таблицы распределения задачи 9.3. Под ними (в скобках) записываются квадраты этих частот. Затем производят деление каждого квадрата на итог частот соответствующего столбца (256 : 22). Полученные результаты записывают в нижней части соответствующих клеток.

После этого, числа записанные внизу каждой клетки, суммируются для каждой строки, суммы записываются в нижней части клеток итогового столбца (11,64 + 2,63 = 14.27). Наконец, эти суммы 14,27; 22,76 делятся на соответствующие итоги строк 26,34 и полученные частные 0,509 и 0,618 записываются в последнем столбце таблицы. Сумма этих чисел 1,127, без единицы, представ-

ляет собой ϕ2 . Таким образом,

ϕ2 =1,127 −1 = 0,127.

233

Теперь вычислим К взаимной сопряженности А.А. Чупрова по формуле

	K =		ϕ2		=	0,127		= 0,127.
		(K1	−1)(K2	−1)		1	1

К1 и К2 равны 2, так как таблица двухклеточная.

Задачи

10. По условиям задач 9.1, 9.2, 9.3 вычислите коэффициент взаимной сопряженности А.А. Чупрова.

10.4. Расчет коэффициента корреляции рангов

Методические указания и решение типовой задачи

Ранговые коэффициенты корреляции являются наиболее простыми показателями измерения тесноты корреляционной зависимости. Одним из таких показателей является коэффициент корреляции рангов К. Спирмэна. Он рассчитывается по формуле

	ρ =1−	6Σd 2			,
		n(n2	−	1)

где ρ – коэффициент корреляции рангов;

d – разность между величинами рангов в изучаемых рядах; n – количество рангов изучаемого ряда.

Коэффициент корреляции рангов изменяется от +1 до – 1. Задача 11. По 10 предприятиям имеются данные о размере ос-

новных фондов (факторный признак) и выпуске продукции (результативный признак):

размер основных
фондов, млн. руб.	4,3	5,4	3,6	6,9	3,9	4,7	4,0	6,4	5,5	6,8
выпуск продукции,
тыс. руб.	22,4	18,6	13,1	25,1	10,2	19,2	15,7	23,4	16,0	21,5

Располагаем индивидуальные величины размера основных фондов в порядке возрастания (или убывания) и устанавливаем ранги (порядковые номера величины признака):

234

размер основных
фондов, млн. руб.	3,6	3,9	4,0	4,3	4,7	5,4	5,5	6,4	6,8	6,9
ранги R1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Располагаем индивидуальные величины выпуска продукции в порядке возрастания и определяем ранги (порядковые номера) величин полученного ряда:

выпуск продукции,
тыс. руб.	10,2	13,1	15,7	16,0	18,6	19,2	21,5	11,4	23,4	25,1
ранги RII	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Составим расчетную таблицу для вычисления рангового коэффициента корреляции.

Таблица 10.8

Номер	Размер ос-	Выпуск	Ранги разме-	Ранги вы-	d=RII--	2
пред-	новных фон-	продукции,	ров основных	пуска про-	- RI	d
приятия	дов, млн. руб.	тыс. руб.	фондов R1	дукции
1	4,3	22,4	4	8	4	16
2	5,4	18,6	6	5	-1	1
3	3,6	13,1	1	2	1	1
4	6,9	25,1	10	10	0	0
5	3,9	10,2	2	1	-1	1
6	4,7	19,2	5	6	1	1
7	4,0	15,7	3	3	0	0
8	6,4	23,4	8	9	1	1
9	5,5	16,0	7	4	-3	9
10	6,8	21,5	9	7	-2	4
Итого					+7	34
					- 7

Коэффициент корреляции рангов свидетельствует о наличии прямой тесной связи между размером основных фондов и выпуском продукции.

Задачи

11.1. Имеются следующие данные по 8 предприятиям:

среднесписочная числен-
ность работающих, чел.	400	460	1000	1300	2000	300	900	1100
выпуск продукции, млн. руб.	2,5	5,0	6,0	3,0	1,6	2,0	1,5	10,5

235

Рассчитайте ранговый коэффициент корреляции. 11.2. Имеются следующие данные по 7 предприятиям:

размер основных фондов, млн. руб.	6	8	9	5	10	11	7
выпуск продукции, тыс. руб.	18	21	22	15	14	19	21

Рассчитайте ранговый коэффициент корреляции. 11.3. имеются следующие данные по 8 предприятиям:

валовая продукция, тыс. руб.	400	620	980	850	540	850	350	620
издержки производства, тыс. руб.	62	75	45	49	68	80	50	40

Рассчитайте ранговый коэффициент корреляции.

11.4. Имеются следующие данные по 10 промтоварным магазинам, тыс. руб.:

товарооборот	670	560	580	630	610	650	520	500	560	470
издержки обращения	35	27	30	40	36	31	28	30	24	70

Рассчитайте ранговый коэффициент корреляции.

Список рекомендуемой литературы

1.Гусаров В.М. Статистика: Учебное пособие для вузов. –

М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2002. – 463 с.

2.Гусаров В.М. Теория статистики: Учеб. пособие для вузов.

-М.: ЮНИТИ, 1998.

3.Елисеева И.И. Статистические методы измерения связей.

– Л.: Изд-во ЛГУ, 1982.

4.Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник для вузов. – М.: Инфра-М, 1996.

5.Курс социально-экономической статистики: Учебник для вузов/ Под ред. М.Г. Назарова. – М.: Финстатинформ, ЮНИТИ – ДАНА, 2000.

6.Методологические положения по статистике. Вып. 1 – Госкомстат России. – М., 1996.

7.Национальное счетоводство: Учебник/ Под ред. Г.Д. Кулагиной. – М.: Финансы и статистика, 1997.

8.Новиков М.М., Теслюк И.Е. макроэкономическая статистика: Учебное пособие. – Минск.: БГЭУ, 1996.

236

9.Практикум по статистике: Учеб. пособие для вузов/ Под ред. В.М. Симчеры/ВЗФЭИ. – М.: Финстатинформ, 1999.

10.Рябушкин Б.Т. Национальные счета и экономический баланс. – М.: Финансы и статистика, 1999.

11.Симчера В.М., Едронова В.Н., Сафронова В.П. Практикум по финансовой и биржевой статистике: Учеб. пособие – М.:

ВЗФЭИ, 1993.

12.Статистика: Курс лекций для вузов/ Под ред. В.Г. Ионина.

–М.: ИНФРА – М, 1996.

13.Теория статистики: Учебник/ Под ред. Р.А. Шмойловой – 2-е изд., доп. и перераб. – М.: Финансы и статистика, 1998. – 576 с.

14.Теслюк И.Е. Статистика финансов: Учеб. пособие. – Минск.: Высш. шк., 1994.

15.Экономическая статистка: Учебник/ Под ред. Ю.Н. Иванова. – М.: ИНФРА-М, 1998.

16.Экономика и статистика фирм: Учебник/ Под ред. С.Д. Ильенковой. – М.: Финансы и статистика, 1996.

17.Российский статистический ежегодник. – М.: 1999.

237

Содержание

Глава 1. Статистическое наблюдение ...........................................	3
1.1. Программа статистического наблюдения .............................	3
1.2. Организация статистического наблюдения ..........................	8
1.3. Приемы контроля результатов
статистического наблюдения ........................................................	11
Глава 2. Сводка и группировка
статистических данных ..................................................................	16
2.1. Построение рядов распределения
по количественному признаку,
по атрибутивному признаку ..........................................................	16
2.2. Построение группировки типологической,
структурной и аналитической .......................................................	26
2.3. Приемы вторичной группировки ...........................................	34
Глава 3. Статистические таблицы .................................................	40
Глава 4. Абсолютные и относительные
величины .........................................................................................	67
4.1. Пересчет абсолютных величин
в условные единицы измерения ....................................................	67
4.2. Определение относительных
величин выполнения плана ............................................................	70
4.3. Определение относительных
величин структуры .........................................................................	75
4.4. Определение относительных величин
координации и сравнения ..............................................................	79
4.5. Определение относительных
величин динамики ..........................................................................	81
4.6. Определение относительных
величин интенсивности ..................................................................	82
Глава 5. Средние величины ...........................................................	84
5.1. Исчисление средней арифметической простой
по индивидуальным данным .........................................................	84
5.2. Исчисление средней арифметической
взвешенной в дискретном ряду распределения ...........................	86
238

5.3. Исчисление средней арифметической
взвешенной в интервальном ряду распределения
с закрытыми и открытыми интервалами ......................................					92
5.4. Исчисление средней арифметической
взвешенной по способу моментов ................................................					96
5.5. Расчет средней арифметической
из групповых средних ....................................................................					100
5.6. Расчет средней гармонической ..............................................					102
5.7. Расчет моды ..............................................................................					107
5.8. Расчет медианы ........................................................................					110
Глава 6. Показатели вариации .......................................................					113
6.1. Определение размаха вариации .............................................					113
6.2. Определение среднего линейного отклонения
по индивидуальным данным
и в рядах распределения ................................................................					114
6.3. Расчет дисперсии и среднего квадратического
отклонения по индивидуальным данным
и в рядах распределения ................................................................					118
6.4. Расчет дисперсии по формуле σ2 =		−		2 .
	х2
			х
По индивидуальным данным и в рядах распределения ..............					123
6.5. Расчет дисперсии по способу моментов ................................					128
6.6. Определение коэффициента вариации ..................................					131
6.7. Расчет групповой, межгрупповой и общей
дисперсии (по правилу сложения дисперсии) .............................					133
6.8. Расчет эмпирического корреляционного отношения ...........					137
6.9. Расчет коэффициента асимметрии .........................................					140
7.1. Определение ошибки выборочной
средней при собственно-случайном
и механическом отборе ..................................................................					143
7.2. Определение ошибки выборочной доли
при собственно-случайном и механическом отборе ...................					147
7.3. Определение необходимой численности
выборки при изучении средней для
собственно-случайного и механического отбора ........................					150
7.4. Определение необходимой численности
выборки при изучении выборочной доли
для собственно-случайноого и механического отбора ...............					153
239

7.5. Определение ошибки выборочной
средней типической выборки ........................................................	154
7.6. Определение ошибки выборочной доли
в районированной и типической выборке ....................................	158
7.7. Определение необходимой численности
выборки для расчета выборочной средней
районированной и типической выборки ......................................	161
7.8. Определение необходимой численности
выборки для расчета выборочной доли
при районированной и типической выборке ................................	163
7.9. Определение ошибки выборочной
средней при серийной выборке .....................................................	165
7.10. Определение ошибки выборочной
доли при серийной выборке ..........................................................	167
7.11. Определение необходимой численности
выборки для расчета выборочной средней
при серийной выборке ....................................................................	168
Глава 8. Ряды динамики .................................................................	170
8.1. Установление вида ряда динамики ........................................	170
8.2. Приведение рядов динамики
к сопоставимому виду ....................................................................	171
8.3. Определение среднего уровня ряда динамики .....................	174
8.4. Определение показателей изменения
уровней ряда динамики, определение
среднего абсолютного прироста ...................................................	179
8.5. Определение в рядах динамики
среднего темпа роста и прироста ..................................................	187
8.6. Определение в рядах динамики
общей тенденции развития ............................................................	191
8.7. Определение в рядах внутригодовой
динамики индексов сезонности .....................................................	200
Глава 9. Индексы ............................................................................	212
9.1. Расчеты индивидуальных индексов
объема производства, товарооборота,
цен и себестоимости .......................................................................	212
9.2. Расчеты агрегатных общих и групповых индексов
объема производства (товарооборота), цен,
себестоимости и производительности труда ...............................	214
240