В этой задаче варианты (процент выполнения плана) являются не индивидуальными, а средними по заводу. Весами является выпуск продукции по плану. При вычислении среднего процента выполнения плана следует использовать формулу средней арифметической взвешенной:

∑х f

х= ∑f ,

где ∑fx - фактически выпущенная продукция, получаемая путем

умножения вариант (процент выполнения плана) на веса (выпуск продукции по плану).

х	f		1,00 18 +1,05 22 +0,9 25 +1,06 20 +1,08 40			128
х = ∑∑f		=			=			=
			125			125

=1,024, или102,4%.

Производя вычисления, варианты (х) лучше брать в коэффициентах. Это позволяет получить фактический выпуск продукции в абсолютных значениях (тыс. руб.) как в целом, так и по каждой группе заводов, что дает возможность сравнивать фактический выпуск с плановым, находить абсолютные приросты выпуска продукции, производить сравнения.

Задачи

7.1. По четырем заводам, производящим продукцию А, имеются следующие данные:

		Таблица 5.28
Номер завода	Затраты времени на единицу	Произведено
	продукции, мин.	продукции, шт.
1	40	1200
2	42	1000
3	50	800
4	38	200

Определите среднее значение затрат времени (среднюю трудоемкость) на изготовление единицы продукции по четырем заводам.

7.2. Имеются следующие данные о выработке текстильной фабрикой хлопчатобумажной ткани трех сортов:

101

		Таблица 5.29
Сорт ткани	Произведено ткани, м	Цена ткани за 1 м, т.руб.
I	40 000	1.1
II	8 000	0.9
III	2 000	0.8
	50 000	-

Определите среднюю цену 1 м. ткани.

7.3. Имеются следующие данные о посевной площади и урожайности пшеницы по бригадам колхоза:

		Таблица 5.30
Номер бригады	Урожайность, ц. с 1 га	Посевная площадь, га
I	27	200
II	24	280
III	26	350
IV	30	170

Определите среднюю урожайность пшеницы по колхозу.

7.4. Инструментальный цех завода выпустил измерительный инструменттрех наименований, допустив некоторыйбракпродукции:

		Таблица 5.31
Наименование инструмента	Брак, %	Произведено изделий, шт.
АС-10	3,0	3 000
АС-12	1,0	2 000
АС-13	5,0	5 000

Определите средний процент брака.

5.6. Расчет средней гармонической

Методические указания и решение типовых задач

Наряду со средней арифметической в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая она может быть простой и взвешенной.

102

числодеталей

Задача 10. Бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затрачивал на одну деталь 12 мин, второй – 15 мин, третий – 14, четвертый – 16 и пятый – 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали.

На первый взгляд кажется, что задача легко решается по формуле средней арифметической простой:

х= ∑х = 12 +15 +11 +16 +14 = 68 =13,6.

п5 5

Полученная средняя была бы правильной, если бы каждый рабочий сделал только по одной детали. Но в течение дня отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей. Для определения числа деталей, изготовленных каждым рабочим, воспользуемся следующим соотношением:

Среднеевремя, затраченное = все затраченноевремя. на однудеталь

Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время, необходимое для изготовления одной детали, равно:

			х =		8 60 +8 60 +8 60 +8 60 +8 60																								=
					8 60 +					8 60 + 8 60 + 8 60 +																	8 60
				12						15							11							16			14
=							2400															=		2400		=13,3 мин.
		40 +32 + 43,6 +30 +34,2																						179,8
Это же решение можно представить иначе:
х =								5 8 60																=		5		=13,3 мин.
				1			1				1				1				1						0,3747
8		60				+				+				+				+
				12			15				11				16				14

Таким образом, формула для расчета средней гармонической простой будет иметь вид:

х =

п

=

п

.

1

+

1

+

1

+... +

1

∑

1

х

х

2

х

х

п

х

1

3

103

Задача 11. Издержки производств и себестоимость единицы продукции А по трем заводам характеризуется следующими данными:

		Таблица 5.32
Номер завода	Издержки производства,	Себестоимость единицы
	тыс. руб.	продукции, руб.
1	200	20
2	460	23
3	110	22

Исчислим среднюю себестоимость изделия по трем заводам. Как и прежде главным условием выбора формы средней является экономическое содержание показателя и исходные данные.

средняя себестоимость						=	Издержки производства		=
единицыпродукции (х)								количество продукции
=	200 + 460 +110			=	770			= 22,0 руб.
	200	460	110
				35000
	20,5 +	23,6 +	22,0

Таким образом, формулу для расчета средней гармонической взвешенной можно представить в общем виде:

х =

ω1 +ω2

+ω3 +... +ωп

=

∑ω

.

1

1

1

1

∑

1

ω1 +

ω2

+

ω3 +... +

ωп

ω

х

х

2

х

х

п

х

1

3

Задачи

8.1. По данным о производстве продукции и среднегодовой выработке на одного рабочего по четырем бригадам определите среднюю производительность труда одного рабочего в среднем по заводу.

		Таблица 5.33
Номер	Произведено валовой продукции,	Выработка на одного
бригады	тыс. руб.	рабочего, тыс. руб.
1	57	1,9
2	46	2,0
3	65	2,5
4	70	2,8

104

8.2. По семи цехам завода имеются данные о расходовании материала на производство продукции:

					Таблица 5.34
				Расход материала, м
Номер	Расход материала, м		Номер
	На одно	На все		На одно	На все
цеха			цеха
	изделие	изделия		изделие	изделия
1	0,6	150	5	0,5	250
2	0,7	126	6	1,3	260
3	0,9	261	7	1,4	420
4	0,4	200

Определите расход материала на одно изделие в среднем по заводу.

8.3. Имеются следующие данные о работе строительных организаций области:

			Таблица 5.35
	Строительные	Выполнение плана	Фактический объем строительно-
		строительно-	монтажных работ за отчетный
	организации (СО)
		монтажных работ, %	период, тыс. руб.
	Васильевская	108,0	3 888
	Ново-Московская	109,0	3 815
	Перещипинская	100,0	4 100
	Клиническая	107,0	2 461
	Павлоградская	107,0	6 955

Определите средний процент выполнения плана строительномонтажных работ по области.

8.4. Выпуск товарной продукции станкостроительным заводом характеризуется следующими данными:

		Таблица 5.36
	Фактический выпуск	Выполнение
Вид продукции	товарной продукции	плана, %
	в оптовых ценах, тыс. руб.
Готовые изделия	6120,0	102,0
Полуфабрикаты, поставленные	2790,0	93,0
на сторону
Работы промышленного ха-	3740	220,0
рактера и услуги на сторону
Прочая продукция	2268	108,0

105

Определите средний процент выполнения плана в целом по товарной продукции.

9.1. Имеются следующие данные о заработной плате рабочих завода:

				Таблица 5.37
Номер	Базисный период		Отчетный период
	Средняя заработ-	Числен-	Средняя заработ-	Фонд заработ-
цеха		ность ра-		ной платы, т.
	ная плата, т. руб.	бочих, чел.	ная плата, т. руб.	руб.
1	110	300	110	27 500
2	145	400	152	68 400
3	160	200	170	40 800
4	180	100	210	33 600

Исчислите среднюю заработную плату рабочего в целом по заводу: 1) в базисном периоде; 2) в отчетном периоде. Сравните полученные данные. Укажите, какие виды средних необходимо применить в каждом случае.

9.2. Выработка ткани по цехам фабрики характеризуется следующими показателями:

				Таблица 5.38
	Базисный период		Отчетный период
Номер		Средняя выра-		Средняя выра-
	Численность	ботка ткани на	Выработано	ботка ткани на
цеха	рабочих, чел.	смену одним	ткани всего, м	смену одним
		рабочим. м		рабочим. м.
1	40	74	3555	79
2	60	85	5160	86
3	50	80	4565	83

Определите среднюю выработку ткани по заводу за смену одним рабочим: 1) в базисном периоде; 2) в отчетном периоде. Сравните полученные данные. Укажите, какие виды средних необходимо применить в каждом случае.

9.3. Имеются следующие данные по двум группам заводов одной отрасли хозяйства:

106

						Таблица 5.39
	Номер за-	Фактиче-	Выполне-	Номер за-	Плановое	Выполне-
	вода I груп-	ский вы-	ние плана,	вода II	задание,	ние плана,
	пы	пуск, млн.	%	группы	млн. Руб.	%
		руб.
	1	18,0	120,0	4	20,0	100,0
	2	28,8	96,0	5	25,0	110,0
	3	20,0	100,0	6	19,0	90,0

Вычислите средний процент выполнения плана: 1) по первой группе заводов; 2) по второй группе заводов. Укажите, какие виды средних необходимо применить при расчетах.

5.7. Расчет моды

Методические указания и решение типовых задач

Характеристиками вариационных рядов наряду со средними являются мода и медиана. Мода – есть величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианты с наибольшей частотой.

Задача 12. Распределение проданной обуви по размерам характеризуется следующими показателями:

Размер обуви	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45 и выше
Число пар, в про-
центах к итогу	-	1	6	8	22	30	20	11	1	1

В этом ряду распределения мода равна 41. Именно этот размер обуви пользовался наибольшим спросом покупателей.

Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле

Мо = хМо + iМо ( − fMo )−+f(Mo−1 − ),

fMo fMo−1 fMo fMo+1

где хМо - начальное значение интервала, содержащего моду; iМо – величина модального интервала;

fМо – частота модального интервала;

fМо-1 - частота интервала, предшествующего модальному; fМо+1 - частота интервала, следующего за модальным.

107

Задача 13. Рассмотрим пример расчета моды. Распределение предприятий по численности промышленно-производственного персонала характеризуется следующими данными:

			Таблица 5.40
Группы предприятий по	Число	Группы предприятий по	Число
числу работающих, чел.	предприятий	числу работающих, чел.	предприятий
100-200	1	500-600	19
200-300	3	600-700	15
300-400	7	700-800	5
400-500	30
			80

В этой задаче наибольшее число предприятий (30) имеет численность работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения. Введем следующие обозначения:

хМо = 400;	fМо-1	= 7;
iМо = 100;	fМо+1	= 19.

fМо = 30;

Подставим эти значения в формулу моды и произведем вычисления:

Мо = хМо + iМо		fMo − fMo−1
				=
		(fMo − fMo−1 )+(fMo − fMo+1 )
		30 −7
= 400 +100			= 467,6 чел.
	(30 −7) +(30 −19)

Задачи

10.1. При определении качества семян пшеницы было получены следующее распределение семян по проценту всхожести:

процент всхожести	70	75	80	83	85	90	92	93	Свыше 93
числопробвпроцентахкитогу	0,5	0,5	6,0	12	30	40	7	2	2

Определите моду.

10.2. В результате обследования рабочих завода получены следующие данные:

группы рабочих по уровню об-	до 4	5	6	7	8	9	10
разования (число классов)
число рабочих	10	10	12	32	15	6	25

108

Определите моду уровня образования рабочих.

10.3. По данным выборочного обследования семей области получено следующее распределение семей по размеру совокупного дохода на члена семьи:

размер совокупного дохода н
члена семьи, т. руб.	65	80	110	130	160	Свыше 160
число семей в процентах к итогу	5	12	42	19	10	12

Определите моду среднедушевого дохода семей.

11.1. Для определения влажности торфа обследовано 50 одинаковых по весу порций торфа, получены следующие данные:

			Таблица 5.41
Группы порций торфа	Число проб	Группы порций торфа	Число проб
по влажности, %		по влажности, %
20-22	3	26-28	18
22-24	6	28-30	7
24-26	11	30-32	5
Итого			50

Определите моду влажности торфа.

11.2. Себестоимость единицы одноименной продукции по предприятиям отрасли характеризуется следующими показателями:

				Таблица 5.42
	Группы предприятий	Число	Группы предприятий
	по себестоимости			Число
		предпри-	по себестоимости еди-
	единицы продукции,			предприятий
	руб.	ятий	ницы продукции, руб.
	1,6-2,0	2	2,8-3,2	7
	2,0-2,4	3	3,2-3,6	10
	2,4-2,8	5	3,6-4,0	3
				30

Определите моду себестоимости единицы продукции.

11.3. По данным условия задачи 5.4. гл. 5 исчислите моду крепости нити.

109

5.8. Расчет медианы

Методические указания и решение типовых задач

Медианой в статистике называется варианта, расположенная в середине вариационного ряда. Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине упорядоченного ряда (упорядоченный ряд – это расположение единиц совокупности в возрастающем или убывающем порядке). Например, стаж пяти рабочих составил 2, 4, 7, 8 и 10 лет. В таком упорядоченном ряду медиана – 7 лет. По обе стороны от неё находится одинаковое число рабочих.

Если упорядочены ряд состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух вариант, расположенных в середине ряда. Пусть теперь будет не пять человек в бригаде, а шесть, имеющих стаж работы 2, 4, 6, 7, 8 и 10 лет. В этом ряду имеются две варианты 6 и 7. Средняя арифметическая из этих значений и будет медианой ряда:

Ме = 6 +2 7 = 6,5 лет.

Рассмотрим пример расчета медианы в дискретном ряду. Задача 14. Используя данные условия типовой задачи 2 на-

стоящей главы, определим медиану заработной платы рабочих.

			Таблица 5.43
	Месячная заработная плата,	Число рабочих	Сумма накопленных частот
	тыс. руб.
	1	2	3
	100	2	2
	120	6	8 (2+6)
	150	16	24 (8+16)
	170	12	-
	200	4	-
	Итого	40

Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда (гр. 3 табл.). Наращивание итога продолжается до получения накопленной суммы частот, превышающей половину. В нашем примере сумма частот ряда получилась равной 24. Варианта, соответствующая этой сумме, т.е. 150 тыс. руб., и есть медиана ряда.

110

Если же сумма накопленных частот против одной из вариант равна точно половине суммы частот, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.

Задача 15. Изменив значения частот в условии предыдущей типовой задачи, рассчитаем медиану.

		Таблица 5.44
Месячная заработная плата,	Число	Сумма накопленных
тыс. руб.	рабочих	частот
100	2	2
120	6	8
150	12	20
170	16	-
200	4	-
Итого	40	-

Медиана будет равна:

Ме = 150 +170 = 320 =160 тыс.руб. 2 2

Рассмотрим расчет медианы в интервальном вариационном ряду.

Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле

Ме = хМе + iМе	0,5∑f − SМе−1	,
	fМе

где хМе - начальное значение интервала, содержащего медиану; iМе – величина медианного интервала;

∑f – сумма частот ряда;

SМе-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

fМе – частота медианного интервала.

Задача 16. Используя данные типовой задачи 13 гл. 5, рассчитаем медиану в интервальном вариационном ряду.

111

		Таблица 5.45
		Сумма накопленных
Группы предприятий по числу	Число
рабочих	предприятий	частот
100-200	1	1
200-300	3	4 (1+3)
300-400	7	11 (4+7)
400-500	30	41 (11+30)
500-600	19	-
600-700	15	-
700-800	5	-
Итого	80

Определим прежде всего медианный интервал. В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (41), соответствует интервалу 400-500. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим ее значение по приведенной выше формуле. Известно, что:

ХМе = 400; iМе = 100; ∑f = 80; SМе-1 = 11; fМе = 30.

Следовательно,

Ме= хМе +iMе 0,5∑ff − SМе−1 = Ме

= 400 +100 0,5 80 −11 = 400 +100 40 −11 = 30 30

= 400 +96,66 = 496,66.

112

ГЛАВА 6. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

Практические занятия по теме предусматривают решение следующих типов задач: 1) определение размаха вариации (1.1); 2) определение среднего линейного отклонения по индивидуальным данным и в рядах распределения (2.1 – 3.3); 3) расчет дисперсии и среднего квадратического отклонения по индивидуальным данным и в рядах распределения (4.1 – 6.4); 4) расчет дисперсии по форму-

ле σ 2 = х2 − х2 по индивидуальным данным и в рядах распределения (7.1 – 9.3); 5) расчет дисперсии по способу моментов (10.1 – 10.4); 6) определение коэффициента вариации (11.1 – 12.3); 7) расчет групповой, межгрупповой и общей дисперсии по правилу сложения дисперсий (13.1 – 14.3); 8) расчет эмпирического корреляционного отношения (15.1 – 15.3); 9) расчет коэффициента асимметрии (16.1 – 16.4)

6.1. Определение размаха вариации

Методические указания и решение типовой задачи

Для характеристики совокупностей и исчисленных средних величин важно знать, какая вариация изучаемого признака скрывается за средними. Рассмотрим пример расчета размаха вариации.

Задача 1. Имеются следующие данные о производительности труда рабочих в двух бригадах:

			Таблица 6.1
	Табельный номер рабочего	Произведено продукции за смену, шт.
		I бригада	II бригада
	1	2	8
	2	3	9
	3	12	10
	4	15	11
	5	18	12
	ИТОГО:	50	50

Средняя производительность труда в обеих бригадах одинакова:

113

х1 = х2 = 505 =10.

Однако в первой бригаде вариация производительности труда значительно больше, чем во второй, и можно сказать, что первая бригада по своему составу в отношении изучаемого приказа менее однородна, чем вторая. Для изменения степени варьирования признака служат показатели вариации. Наиболее простым показателем вариации является размах вариации R , который определяется как разновидностьмежду наибольшим инаименьшим значением признака:

R = хmax − хmin .

Для нашего примера размах вариации производительности труда для первой бригады составляет: 18-2=16; для второй бригады: 12-8=4. Этот показатель прост в вычислении и указывает на общие размеры вариации, но он не дает представления о степени колеблемости внутри совокупности, так как вычисляется на основе только двух крайних значений приказа совокупности.

Задачи

1.1.Определите размах вариации показателей:

1)по данным таблицы 2.1; 2) по данным таблицы 2.6; 3) по данным таблицы 2.7; 4) по данным таблицы 2.8.

6.2.Определение среднего линейного отклонения

по индивидуальным данным и в рядах распределения

Методические указания и решение типовых задач

Чтобы определить вариацию признака единиц совокупности, надо исчислить отклонения каждого значения признака х от сред-

ней арифметической х :

х1 − х = d1 , х2 − х = d2 , х3 − х = d3 и т.д.

При этом отклонения могут быть положительными или отрицательными в зависимости от значений признака. Из полученных значений отклонений необходимо исчислить среднюю арифметическую:

114

d = ∑nd .

Известно, что сумма отклонений всех значений признака от средней арифметической будет равна нулю. Для определения среднего линейного отклонения, которое часто называют средним абсолютным отклонением, необходимо взять значения отклонений по абсолютной величине без учета знака.

Итак, среднее линейное (абсолютное)отклонение есть средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от общей средней:

										х−									х1 −				+		х2	−			+		х3 −						+... +					хп			−
									∑													х					х								х												х
				∑d									х
	d =					=										=																																	.
				n						n																					п
	Задача 2. Исчислим среднее линейное отклонение по данным
	типовой задачи 1 гл. 6.
																																													Таблица 6.2.
																																							2-ая бригада
	Табельный															1-ая бригада
	номер рабочего									х1									х − х							х − х								х2						х − х										х − х
	1								2					-8												8						8							-2							2
	2								3					-7												7						9							-1							1
	3								12					+2												2						10							0							0
	4								15					+5												5						11							+1							1
	5								18					+8												8						12							+2							2
									50					0												30						50							0							6
																																		х−
			R =		∑			х−		х1		=			30		= 6,0;									R				=	∑					х2				=	6	=1,2
				1					п					5												2								п					5

Порядок расчета среднего линейного отклонения следующий:

1.по значениям признака исчисляется средняя арифметиче-

ская х = ∑пх;

2.определяются отклонения каждой варианты х от средней

х− х;

3.рассчитывается сумма абсолютных величин отклоне-

ний: ∑ х− х ;

115

4.сумма абсолютных величин отклонений делится на число

∑ х− х

значений: п .

Если данные наблюдения представлены в виде дискретного ряда распределения с частотами, среднее линейное отклонение исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной:

∑

х−

х

f

х1 −

х

f1 +

х2 −

х

f2 +

x3 −

x

f3 +... +

xn −

x

fn

d =

=

∑ f

f1 + f2 + f3 +... + fn

Рассмотрим пример расчета среднего линейного отклонения взвешенного.

Задача 3. Имеются данные о производительности труда 50 рабочих:

						Таблица 6.3
Произведено продукции од-	Число рабо-	xf					x − x		f
			x − x
ним рабочим за смену, шт.	чих
8	7	56	-2			14
9	10	90	-1			10
10	15	150	0			0
11	12	132	1			12
12	6	72	2			12
	50	500				48

Определить среднюю производительность труда одного рабочего:

х = ∑∑xff = 50050 =10шт.

Отклонения каждого значения признака от средней и взвешенные отклонения представлены в таблице. Определим среднее линейное отклонение:

		=	∑	x −	x	f	=	48	= 0.96шт.
	d
				∑ f				50

Среднее линейное отклонениевеличина именованная и выражается в единицах измерения признака.

Если статистические данные представлены в виде интервального ряда распределения, то предварительно определяется дис-

116

кретная величина признака в каждой группе, а затем производится расчет по средней арифметической взвешенной, как указано выше.

Порядок расчета среднего линейного отклонения взвешенного следующий:

1.вычисляется средняя арифметическая взвешенная: ∑∑xff ;

2.определяются абсолютные отклонения вариант от средней

х− х ;

3.полученные отклонения умножаются на частоты х− х f ;

4.находится сумма взвешенных отклонений без учета знака

∑ х− х f ;

5.сумма взвешенных отклонений делится на сумму частот

∑ x − x f

.

∑ f

Этот показатель делает более полное представление о степени колеблемости признака по сравнению с размахом вариации.

Задачи

2.1. В результате обследования работы станков в механических цехах завода получены следующие данные:

		Таблица 6.4
Цех	Отработано станко-часов
	токарными станками	заточными станками
№1	2000	700
№2	1900	600
№3	2200	800
№4	2500	800
№5	1800	900
№6	1900	1000

Исчислите среднее линейное отклонение времени работы: 1) токарных станков; 2) заточных станков.

2.2. По данным задачи 1.1. гл. 5 исчислите среднее линейное отклонение числовой производительности труда рабочих завода.

117

2.3. По данным табл. 5.2. исчислите среднее отклонение выпуска продукции на одно предприятие.

3.1. Урожайность зерновых по колхозу характеризуется следующими данными:

		Таблица 6.5
		Посевная площадь, га
Номер бригады	Урожайность кукурузы, ц с 1га
1	80	18,0
2	70	30,0
3	65	80,0
4	72	50,0
5	60	22,0

Исчислитесреднеелинейноеотклонениеурожайности кукурузы.

3.2.По данным табл. 5.7 исчислите среднее линейное отклонение времени простоя одного станка.

3.3.По данным табл. 5.10 исчислите среднее линейное отклонение стажа работы инженерно – технических работников.

6.3.Расчет дисперсии и среднего квадратического отклонения по индивидуальным данным и в рядах распределения

Методические указания и решение типовых задач

Основными показателями вариации в статистике являются дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия – это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. Дисперсия обычно называется средним квадратом отклонений и обозначается

σ 2 . В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой или взвешенной:

σ2 = ∑(хп− х)2 - дисперсия невзвешенная (простая);

σ2 = ∑(х− х)2 f - дисперсия взвешенная.

∑f

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии и обозначается σ :

118

	∑(х−			)2
σ =		х			-	среднее квадратическое отклонение невзве-
шенное;	п
	∑(х−		)2
					f
σ =		х				- среднее квадратическое отклонение взве-
	∑ f

шенное.

Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности. Выражается оно в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, процентах, гектарах и т.д.).

Вычислению среднего квадратического отклонения предшествует расчет дисперсии. Покажем расчет на примерах.

Задача 4. Исчислим дисперсию по данным типовой задачи 3

гл. 6.

Таблица 6.6

Произведено
продукции одним								2			2
рабочим, шт.	Число рабочих f	xf	x − x			(x − x)			(x − x)			f
( х варианта)
8	7	56	-2			4			28
9	10	90	-1			1			10
10	15	150	0			0			0
11	12	132	1			1			12
12	6	72	2			4			24
Итого	50	500							74

Исчислим среднюю арифметическую взвешенную:

		=	∑xf	=			500		=10шт.
	х
			∑ f					50
Значения отклонений от средней и их квадратов представлены
в таблице. Определим дисперсию:
σ 2 = ∑(x −						)2		f =		74
					x						=1,48.
										50
			∑ f

Среднее квадратное отклонение будет равно:

σ = σ 2 = 1,48 =1,216шт.

119

Если исходные данные представлены в виде интервального ряда распределения, то сначала надо определить дискретное значение признака, а далее применить тот же метод, что изложен выше.

Задача 5. Покажем расчет дисперсии для интервального ряда на данных о распределении посевной площади колхоза по урожайности пшеницы:

Таблица 6.7

Урожайность	Посевная								2			2
пшеницы ц/га	площадь, га	х	xf	x − x			(x − x)			(x − x)			f
14-16	100	15	1500	-3,4			11,56			1156
16-18	300	17	5100	-1,4			1,96			588
18-20	400	19	7600	0,6			0,36			144
20-22	200	21	4200	2,6			6,76			1352
	1000		18400							3240

Средняя арифметическая равна:

х = ∑∑xff = 184001000 =18,4 ц с 1га.

Исчислим дисперсию:

σ2 = ∑(х− х)2 f = 3240 =3,24.

∑f 1000

Порядок расчета дисперсии в этом случае следующий:

1. определяют среднюю арифметическую взвешенную

х = ∑∑xff ;

2.

находят отклонение от средней x −

x

;

3.

возводят в квадрат отклонение каждой варианты от средней

(x −

)2 ;

x

4.

умножают

варианты

отклонений на

веса

(частоты)

(x −

)2

f ;

x

)2 f

5.

суммируют полученные произведения ∑(х−

;

х

6.

полученную

сумму

делят на сумму

весов

(частот):

(x −

)2

f

.

x

∑ f

120

Задачи

4.1. По данным о выпуске продукции по заводам отрасли исчислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

Номер завода	1	2	3	4	5	6
Выпущено продукции за год, тыс.т	60	52	40	60	50	38

4.2. Время простоя токарных станков за смену характеризуется средними данными (мин):

		Таблица 6.8
Номер станка	Простои
	Из-за отсутствия материалов	Из-за отсутствия электроэнергии
1	40	20
2	30	16
3	24	20
4	20	30
5	50	26
6	26	20
7	20	15

Исчислите по каждому виду причин простоя: 1) дисперсию; 2) среднее квадратическое отклонение.

4.3. По десяти однородным предприятиям имеются данные об электровооруженности труда и одного работника:

Номер предприятия	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Электровооруженность труда, кВт*ч	5	4	6	7	3	5	6	7	4	3

Определите вариацию электровооруженности труда работников предприятий, исчислив: 1) дисперсию; 2) среднее квадратическое отклонение.

5.1. По колхозам пригородных районов области были получены данныео выходе продукции на100га сельскохозяйственныхугодий:

			Таблица 6.9
			Число колхозов
Продукции на 100 га	Число колхозов	Продукции на 100 га
угодий, тыс.руб.		угодий, тыс.руб.	3
10	2	20
20	5	22	2
17	7	25	1
Итого			20

121

Определите по данным о выходе продукции на 100 га угодий:

1)дисперсию; 2) среднее квадратическое отклонение.

5.2.Для определения скорости износа резцов проведено обследование 1000 резцов. Получены следующие результаты:

			Таблица 6.10
Время работы резца, ч	Число резцов	Время работы резца, ч	Число резцов
2	20	11	240
3	30	12	300
5	40	15	110
8	100	16	30
10	110	20	20

По данным исследования исчислите: 1) дисперсию; 2) среднее квадратичное отклонение.

5.3. По данным табл. 5.9 исчислите среднее квадратическое отклонение тарифных разрядов: 1) по заводу 1; по заводу 2.

6.1. Имеются следующие данные о распределении посевной площади колхозов района по урожайности хлопка – сырца:

	Таблица 6.11
Урожайность хлопка – сырца, ц с 1га	Посевная площадь в процентах к итогу
10-14	18
14-18	18
18-22	25
22-26	25
26-30	13
30-34	1
Итого	100

Исчислите показатели вариации урожайности: 1) дисперсию;

2)среднее квадратичное отклонение.

6.2.По данным задачи 4.1 гл. 5 исчислите показатели вариации капитальных затрат по леспромхозам: 1) дисперсию; 2) среднее квадратичное отклонение.

6.3.По данным табл. 5.17 исчислите среднее квадратическое отклонение состава строительных бригад.

6.4.Для изучения норм выработки на заводе проведено обследование затрат времени рабочих – станочников. Получено распределение рабочих по затратам времени на обработку одной детали:

122