13. Тема 15

СРЕДНЯЯ И ПРЕДЕЛЬНАЯ ОШИБКИ ВЫБОРКИ

После изучения этой темы вы сможете:

1. обосновать природу ошибок выборки;

2. объяснить формулы расчета средней и предельной ошибок выборки по количественным и альтернативным признакам, способам и видам отбора;

3. получить представление о малой выборке и моментно-выборочном наблюдении;

4. провести практические расчеты по определению ошибок выборки.

В теме 4 уже отмечалась неизбежность ошибок любого выборочного статистиче­ского наблюдения, которая обусловливается расхождением его результатов с реаль­ной действительностью. Вы были ознакомлены с причинами и видами ошибок.

Помимо общих для статистики ошибок регистрации, случайных, технических и преднамеренных ошибок выборочному наблюдению свойственны и особые ошибки - ошибки репрезентативности.

Под ними понимают расхождения между показателями выборочной и генеральной совокупности. Они возникают по двум причинам: из-за нарушения прин­ципа случайности как основного принципа выборки - систематические ошибки — и в результате случайности отбора - случайные ошибки. Первые иногда называют ошибками смещения, они могут быть преднамеренными (при тенденциозном отборе единиц) и непреднамеренными (при подго­товке наблюдения, формировании выборочной совокупности и т.д.). Слу­чайные ошибки носят объективный характер и возникают в результате случайных различий между единицами, попавшими в выборку, и едини­цами генеральной совокупности. Поэтому и структуры этих совокупно­стей чаще всего не совпадают.

Научным обоснованием случайных ошибок выборки является теория вероятностей и ее предельные теоремы.

Применительно к выборочному наблюдению пользуются теоремами русских математиков П.Л.Чебышева и А.М.Ляпунова. Согласно этим теоремам, с увеличением численности выборки размеры случайных ошибок сокращаются. Из этого следует, что при достаточно большом объеме выборки случайная ошибка будет сколь угодно мала, и что характеристики выборочного наблюдения могут над­лежащим образом представлять генеральную совокупность.

Предельные теоремы исходят из закона нормального распределения, по которому большая часть выборочных средних сосредоточивается около гене­ральной средней. Эти теоремы позволяют определять размер случай­ных ошибок выборки. Различают среднюю и предельную ошибку выборки.

Под средней ошибкой понимают такое расхождение между средними вы­борочной и генеральной совокупностями. Предельной ошибкой принято считать максимально возможное рас­хождение этих средних, т.е. максимум ошибки при заданной вероятности ее появления. На основании теоремы П.Л.Чебышева величина средней ошибки собственно-случайного повторного отбора с достаточно большой выборкой при изучении средних показателей определяется по формуле:

где — дисперсия признака х в выборочной совокупности;

п — численность выборочной совокупности.

Иными словами, величина средней ошибки прямо пропорциональна колеблемости признака в выборочной совокупности и обратно пропор­циональна корню квадратному из объема выборки. По теории, лучше взять дисперсию в генеральной совокупности, но она как правило неизвестна, как неизвестна и генеральная средняя..

Предельная ошибка выборки (Δ) определяется по формуле:

где t — заданный коэффициент доверия.

Так, при t = 1 величина предельной ошибки составит Δ = µ , которая гарантируется с вероятностью 0,683. Это означает, что в 683 выборках из тысячи подобных максимальная ошибка выборки (предельная) не превы­сит ±1µ При t = 2 с вероятностью 0,954 она не выйдет за пределы ±2µ и т.д. В практике выборочных наблюдений достаточен предел ±3µ. По ве­личине предельной ошибки можно определять предельные значения ха­рактеристик генеральной совокупности при заданной вероятности, а именно:

х-Δ<х<х+Δ.

Это означает, что с заданной вероятностью значение генеральной средней будет находиться в пределах от х - Δ до х + Δ.

При изучении альтернативного признака (доли w) формула средней ошибки выборки для доли в соответствии с теоремой Я.Бернулли имеет вид:

где w(1 - w).- дисперсия доли изучаемого признака в выборочной сово­купности (лучше брать дисперсию доли признака в генеральной совокуп­ности), если, конечно, она известна). Предельная ошибка альтернативного признака (Δ) определяется аналогично указанной выше формуле.

Практический интерес представляет и показатель относительной ошибки выборки как процентное отношение предельной ошибки выборки к соответствующей характеристике выборочной совокупности:

Следует заметить, что величина ошибки выборки не может не зави­сеть от способа и вида отбора единиц. Так, при том же собственно-случайном, но бесповторном способе отборе, расчет средней ошибки производится по несколько иной формуле:

где доля единиц генеральной совокупности, не попавших в выборку.

Поскольку эта доля меньше 1, ошибка выборки здесь, при прочих равных условиях, всегда меньше, чем при повторном. Кстати, он проще, чем повторный, и применяется чаще. Если доля единиц генеральной сово­купности, не попавших в выборку, большая, величина близка к единице, и тогда расчет средней ошибки производится по общей формуле. По этим же формулам исчисляются и ошибки механического отбора.

При типической выборке (районированной, стратифицированной) средняя ошибка выборки будет зависеть не от величины общей дисперсии, а от величины средней из групповых дисперсий. Поскольку эта дисперсия всегда меньше общей, постольку средняя ошибка типической выборки, при прочих равных условиях, будет меньше средней ошибки собственно-случайного отбора.

Средняя ошибка серийной (гнездовой) выборки определяется по формуле:

Где r — число отобранных серий.

В практике выборочных наблюдений чаще всего применяются ком­бинированные выборки в разном сочетании их способов и видов.

В исследовании многих процессов применяется моментно-выборочное наблюдение. Выборочным такое наблюдение является по времени. Из всего фонда времени в наблюдение попадает лишь его часть, т.е. время, в течение которого ведется регистрация. По охвату же объекта оно - сплошное, и чаще всего применяется для определения средней структуры или средней длительности изучаемых процессов. Отбор в вы­борочную совокупность моментных состояний объекта (именно они вы­ступают здесь единицами и совокупности и наблюдения) осуществляется преимущественно механически. Необходимая численность выборки - чис­ло моментных наблюдений определяется по формуле:

где w— удельный вес изучаемого элемента в долях единицы; d— заранее установленная относительная ошибка наблюдения в процентах. Как пра­вило, t в условиях стабильной ситуации принимается за 2, нестабильной -за 3.

3адание:

Вам предлагается выписать все формулы ошибок выборки, рассмот­ренные в этой теме, и высказать по ним свои суждения.

Контрольное задание

Используя исходные данные Контрольного задания из темы 5, проведите малую выборку по определенному Вами признаку, объему выборки, способу и виду отбора и выполните необходимые расчеты по результатам выборки.