Тема 26

КОРРЕЛЯЦИЯ РАНГОВ И АТРИБУТИВНЫХ ПРИЗНАКОВ

После изучения этой темы вы сможете:

1. объяснить методику расчетов коэффициентов ранговой корреляции

К. Спирмена и М. Кендэла

2. провести практические расчеты этих коэффициентов

3. иметь представление о корреляционных связях атрибутивных при­знаков;

4. объяснить методику расчета коэффициентов ассоциации, контингенции, коллигации и сопряженности и практически осуществить такие расчеты.

Пусть n объектов совокупности N пронумерованы в порядке возрастания или убывания какого-то признака х, то есть они ранжированы по этому признаку. Ранг указывает то место , которое занимает объект среди других объектов. Это очень распространенная задача. Для такого рода ранжированных объектов показателями связи служат коэффициенты корреляции рангов. Наибольшее распространение из них получили коэффициенты К. Спирмена и М. Кендэла

Коэффициент корреляции рангов К. Спирмена (ρ) основан на рассмотрении разности рангов значений признаков.

Ρ = 1 – (6Σd)/(n(n-1))

Где n – число сопоставимых пар; d – разность между рангами (порядковыми номерами) в двух рядах. Этот коэффициент понимается так же, как и коэффициент линейной корреляции, имеет те же свойства и пределы изменения. В отличии от коэффициентов линейной корреляции он относится к так называемым непараметрическим методам корреляционного анализа и может применяться при любой форме распределения и для любых признаков.

Коэффициент ранговой корреляции М. Кендэла (r) вычисляется так:

R = (2S)/(n(n-1))

где S - алгебраическая сумма числа высших рангов по отношению к каж­дому низшему рангу, взятому последовательно как значение у и сопостав­ленному с рядом значений х в восходящем и нисходящем порядках. Эту величину можно представить как Р + Q При определении слагаемого Р нужно установить, сколько чисел, находящихся справа от каждого из эле­ментов последовательности рангов переменной у, имеют величину ранга, превышающую ранг рассматриваемого элемента. Суммируя полученные таким образом числа, мы определим Р, которое можно рассматривать как меру соответствия последовательности рангов переменной у последова­тельности рангов переменной x. Второе слагаемое Q характеризует сте­пень несоответствия последовательности рангов переменной у последова­тельности рангов переменной х. Чтобы определить Q, подсчитываем, сколько чисел, находящихся справа от каждого из членов последователь­ности рангов переменной у, имеют ранг меньше, чем этот фактор. Такие величины берутся со знаком минус. Коэффициент М.Кендэла изменяется в тех же пределах (от -1 до +1) и равен нулю при отсутствии связи между рядами рангов. Между коэффициентами ранговой корреляции К. Спирмэна и М. Кендэла при достаточно большом числе наблюдений справедливо следующее соотношение:

ρ= 3/2r

Приведем пример расчета обоих коэффициентов корреляции рангов на условных данных.

Таблица 24

	X	У	Rx		Ry		Rx - Ry		(Rx - Ry)
	201	0,2	1		1		-6		36
	178	0,6	2		6		-4		16
	155	1,1	3		4		-1		1
	154	0,8	4		5		-1		1
	126	2,5	5		3		+2		4
	81	4,4	6		2		+4		16
	71	16,9	7		1		+6		36
п = 1	-		-	-		-		ПО

Определим коэффициент К. Спирмэна:

ρ = 1 – (6*110)/(7(49-1))

Для вычисления коэффициента М. Кендэла определим величины Р и Q. Р - величина, вычисляемая для каждого ранга второго ряда (если пер­вый ряд ранжирован строго в порядке возрастания вариант) как сумма последующих рангов, больших по своей величине, чем взятый ранг. Так, число рангов, превышающих ранг 7, равно 0, ранг 6 - равно 0 и т.д.

Р=0+0+ 1 +0 + 0 + 0 = 1.

Для вычисления Q необходимо для каждого ранга второго ряда опре­делить число последующих рангов, меньших по своей величине, чем взя­тый ранг, и просуммировать их:

Q = (-6) + (-5) + (-3) + (-3) + (-2) + (-1) = -20.

Следовательно, r = -0,905.

Оба коэффициента показывают высокую степень отрицательной (об­ратной) связи между взятыми признаками, и вполне логично, что первый коэффициент оказался несколько выше.