7. Тема 10

ВИДЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН.

После изучения этой темы вы сможете:

1. обосновать выбор формулы средней величины;

2. раскрыть содержание и особенности расчета средних величин раз­ных видов;

3. объяснить свойства средней арифметической как наиболее распро­страненной в статистике.

Виды средних величин

В предыдущем Теме говорилось о средних как о едином статистиче­ском показателе, поскольку мы касались общей методологии средних. В действительности же, в зависимости от поставленных задач, существуют различные их виды, но наиболее часто применяются четыре: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая и средняя геометрическая. Каждая из них имеет свои особенности и формулу расчета, свою область применения.

Общий вид степенной средней ():

- простая;

- взвешенная,

где x - варианта

z - показатель степени, определяющий вид средней.

f – частота или вес

Если показатель z=1, то средняя называется арифметической и имеет формулы:

- простая;

- взвешенная.

Средняя гармоническая получается при подстановке в формулу степенной средней значения z = -1:

- простая;

- взвешенная.

Средняя гармоническая используется в том случае, если неизвестны частоты признаков, а данные представлены объемом признака (x*f) и вариантами признака.

Если показатель z = 0, то получим при логарифмировании, а затем потенцировании формулы (1) среднюю геометрическую:

- простая;

- взвешенная,

где П - произведение вариантов в степени m: .

Сама форма средних в абстрактном виде подробно рассматривается в матема­тической статистике. Общая теория статистики дает им смысловую, соци­ально-экономическую интерпретацию.

Выбор формулы средней в стати­стике обусловлен материальным содержанием изучаемых явлений, харак­тером имеющейся информации и самой целью расчета средней величины.

В частности, природа общественных явлений такова, что количественные признаки их в подавляющем большинстве случаев осредняются по сред­ней арифметической, когда на промежуточном этапе обобщения происхо­дит суммирование значений осредняемого признака в первой степени, и затем эта сумма делится на число единиц взятой совокупности. Недаром средняя арифметическая считается основной формой средних, применяе­мых в статистике. И практически нет ни одной области явлений, где бы эта форма средней не использовалась. Она в полной мере отвечает и об­щему правилу исчисления средних величин, а именно: все промежуточ­ные операции, связанные с расчетом средних, должны давать значимые результаты.

Признак, по которому находится средняя, т. е. осредняемый признак, обычно обозначается х.

 Величину признака каждой единицы совокупности назовем вариантом изучаемого признака, и отдельные варианты обозначим через х,, х1, х_2,…….Xn; п - число единиц изучаемой совокупности. Саму среднюю обозначим той же буквой, что и осредняемый признак, лишь с чертой наверху. Тогда формула сред­ней арифметической будет

Расчет средней значительно упростится, если в числителе осущест­вим приведение подобных членов и выделим группы, объединяющие одинаковые варианты. Приняв частоту повторения соответствующих ва­риантов за f (или m как в формуле выше) получим

Различают средние простые и взвешенные. Первая средняя называется простой, а вторая называется взве­шенной. В ней варианты взвешиваются на частотах f что лишь упрощает расчет простой средней. В средних взвешенных варианты взвешиваются по значениям других признаков, но связанных с осредняемым.

Скажем, при определении средней выработки продукции на одного рабочего по выделенным группам в качестве веса для групповых средних выступит численность рабочих в этих группах.

Статистическим весом и называются числа, учитывающие значение вели­чины признака (варианта) у отдельной единицы совокупности. Обычно их обозначают буквой f (или реже m). Статистический вес может быть представлен и относительными величинами структуры (частостями), т.е. долей каждой частоты в общей сумме всех частот .

Применяя эти веса, получим еще одну формулу средней арифметической взвешенной: . Если частоты подсчитываются в долях (коэффициентах), то , и тогда фор­мула средней упрощается:.

Вопрос о выборе простой и взвешенной средней решается в зависи­мости от осредняемого признака. Если он первичный, то используется простая средняя, если этот признак вторичный, то осреднение произво­дится по взвешенной средней.

В частности, по средней взвешенной осредняются ранее подсчитанные средние и относительные показатели, как вторичные признаки. И здесь в качестве весов берутся знаменатели от­ношений, в результате которых получены осредняемые признаки.

Остальные формы средней величины имеют более узкое, частное применение, и прежде всего в тех случаях, когда использование средней арифметической может привести к грубым ошибкам или вообще невоз­можно. Средняя гармоническая представляет собой величину, обратную средней арифметической, исчисленной из обратных значений признака.

Формула средней гармонической следующая:

простая ; взвешенная

где f - частота, вес признака;

х – величина или варианта, для которой вычисляется средняя.

Практически она исчисляется в тех случаях, когда необходимые веса в исходных данных прямо отсутствуют, а входят сомножителем в один из имеющихся показателей.

В частности, так определяется средняя цена то­вара по сети магазинов при наличии данных о стоимости (в формуле —f) и цене (х) его продаж в отдельных магазинах, или средняя заработная плата работников фирмы при имеющихся данных о фонде заработной платы и средней заработной плате в отдельных ее подразделениях.

Средняя квадратическая применяется в тех случаях, когда приходит­ся осреднять величины, входящие в исходную информацию в виде квад­ратных функций.

Как будет показано в дальнейшем, они широко используют­ся для расчета показателей вариации. Формула средней квадратической величины следующая:

простая ; взвешенная

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда мы имеем дело не с суммой вариант, а их произведением, и, в частности, с коэффи­циентами роста в динамических рядах.

Более подробно об этом будет ска­зано в дальнейшем. Саму формулу этой средней можно записать

где П - символ произведения;

п - число вариантов (в частности, коэффициентов роста).

Число вариантов будет всегда на единицу меньше, чем число членов ряда.

По правилу мажорантности средних, x (квадратическое) > х (арифметическое) >х(гармоническое) > x(геометрическое).

Задание:

Приведите примеры использования статистических средних в эконо­мических расчетах, желательно связанных с Вашей деятельностью, и прокомментируйте их. Рекомендуется использовать и материалы выполняе­мого Вами Контрольного задания из Теме 5.