Перевірка наявності тенденції середнього рівня

Один із способів перевірки наявності тенденції заснований на порівнянні середніх рівнів ряду: часовий ряд розбивають на дві при­близно рівні частини, кожну з яких розглядають як деяку самостійну вибіркову сукупність, що має нормальний розподіл. Якщо часовий ряд має тенденцію до змінювання, то середні значення, обчислені для кожної сукупності, мають істотно (значно) різнитися між собою. Якщо розбіжність буде незначною (неістотною, випадковою), це оз­начатиме, що часовий ряд не має тенденції.

Отже, перевірка наявності тренда в досліджуваному ряді зводиться до перевірки гіпотези про рівність середніх двох нормально розподілених сукупностей.

Обчислення за цим методом складається з наступних етапів:

1. вхідний часовий ряд у₁,у₂, у₃, …, у_л розбивають на дві приблиз­но рівні частини обсягом п₁ ≈ п₂ , де (п₁ + п₂ = п);

2. для кожної з частин обчислюють середні значення та дис­персії:

3. висувають основну гіпотезу про рівність середніх значень:

проти альтернативної і допоміжну гіпотезу про рівність дисперсій проти альтернативної ;

4. перевіряють допоміжну гіпотезу за допомогою F-критерію Фішера. Для цього порівнюють розрахункове (експериментальне) зна­чення критерію:

з табличним (критичним) значенням розподілу Фішера F_табл = F(а, k₁,k₂), де a – заданий рівень значущості, k_i = п.–1 – степені вільності, і = 1,2.

Якщо за критерієм Фішера дисперсії виявляться нерівними (F_експ > F_табл), то основну гіпотезу не перевіряють. Інакше переходять до наступного пункту;

5. основну гіпотезу про відсутність тренда перевіряють за допомогою t-критерію Стьюдента. Для цього обчислюють вибіркову статис­тику – розрахункове значення критерію Стьюдента за формулою

де  – середньоквадратичне відхилення різниці середніх;

Якщо розрахункове значення t_експ менше від табличного значення розподілу Стьюдента (t_експ  t_табл), де t_табл =t(а, (п–2)), то основна гіпоте­за Н₀ приймається, тобто середні значення рівні, отже, ряд не має тренда.

Якщо H₀ відхиляється, то ряд має тенденцію до змінювання (тренд є).

Метод ковзної середньої

Метод ковзної середньої є найбільш простим способом згладжування емпіричних кривих. Суть цього методу складається в заміні фактичних значень показника їхніми усередненими величинами, що мають значно меншу варіацію, чим вихідні рівні ряду.

Залежно від періоду усереднення розрізняють ковзні середні, розраховані для непарного й парного числа інтервалів часу. Розглянемо порядок побудови ковзної середньої з непарним числом членів.

Є динамічний ряд, що складається з рівнів y₁, y₂, y₃, …, y_n.

Для визначення ковзної середньої послідовно розраховують суми m елементів ряду (де m – непарне число), поступово переходячи від перших членів y₁, y₂, y₃, …y_n до наступних груп рівнів: y₂, y₃, …y_m+1; y₃, y₄, …y_m+2; y₄, y₅, …y_m+3; і т.д.

По окремих сумах визначають середні арифметичні, кожна з яких міняє свою величину («ковзає») у міру збільшення параметра t. Із середніх арифметичних формується новий динамічний ряд, елементи якого в значній мірі вільні від випадкових зовнішніх впливів на прогнозований показник. Вважається, що ковзні середні більш точно характеризують тенденцію зміни ознаки, чим рівні вихідного тимчасового ряду. Найбільше часто на практиці застосовуються трьох- і п’ятичленні середні.

Їхній розрахунок ведеться по формулах

y_t′ = (y_t-1 + y_t + y_t+1)/3, t=2,3…,(n–1);

14y_t′ = (y_t-2 + y_t-1 + y_t + y_t+1+ y_t+2)/5, t=3,4…,(n–2),

де y_t′ – ковзна середня.

Більш складна обчислювальна схема використовується в тих випадках, коли ковзна середня визначається по парному числу елементів. При парному періоді згладжування проста середня арифметична має один істотний недолік – вона не може бути приписана жодному реальному значенню t, оскільки доводиться на проміжок часу між двома роками. Наприклад, при t = 4 середня арифметична буде ставитися до проміжку між другим і третім роком; при m=6 – до проміжку між третім і четвертим роком і т.д.

При виконанні реальних розрахунків ковзну середню з парним періодом вирівнювання визначають у два етапи. Спочатку знаходять середні для проміжків часу (t–1 й t, t й t+1), а потім отримані величини підсумують і знову використають для розрахунку середньої.

З ковзних середніх з парним числом елементів найчастіше використається згладжування по чотирьох рівнях динамічного ряду. Обчислення чотиричленної ковзної середньої здійснюється по формулі

,

t=3,4…,(n–2),

Застосування ковзних середніх дозволяє «вирівняти» контури вхідної кривої, що створює умови для більш точного відтворення динаміки зміни показника.

Приклад 1. Перевірка наявності тенденції

Дослідити часовий ряд на наявність тренду (тенденції). Умовні дані про витрати на впровадження інновацій в попередньому періоді, тис грн. (Y).

Вхідні дані та обчислення оформимо у таблиці (табл. 7.1).

Таблиця 7.1

t (рік)	X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Витрати на впровадження інновацій в попередньому періоді, тис грн.	Y	3,52	9,7	8,9	9,8	10,1	13,9	19,9	14,3	11,5	19,5	14,2
		-9,52	-3,34	-4,14	-3,24	-2,94	0,86	6,86	1,26	-1,54	6,46	1,16
		90,63	11,16	17,14	10,50	8,64	0,74	47,06	1,59	2,37	90,63	11,16

Продовження таблиці 7.1

12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
14	20,2	22,7	28,2	25,2	25	24,3	21,5	27,1	36,3	34,1	34,1	35,2	44,5
0,96	7,16	-7,15	-1,65	-4,65	-4,85	-5,55	-8,35	-2,75	6,45	4,25	4,25	5,35	14,65
	13,04											=	29,85
41,73	1,35	0,92	51,27	51,12	2,72	21,62	23,52	30,80	69,72	7,56	41,60	18,06	18,06

285,09 528,05