matanaliz

Частина 4

Iнтегрування

92

ÐÎÇÄIË 13

ПЕРВIСНА ТА НЕВИЗНАЧЕНИЙ IНТЕГРАЛ

1.Первiсна та невизначений iнтеграл.

2.Таблиця iнтегралiв.

3.Основнi властивостi невизначеного iнтеграла.

4.Iнтегрування методом замiни змiнно¨ чи способом пiдстановки.

5.Iнтегрування частинами.

6.Деякi класи функцiй, якi iнтегруються частинами.

13.1. Первiсна та невизначений iнтеграл

Нехай функцiя f задана на вiдрiзку [a; b].

Означення 13.1. Функцiя F назива¹ться первiсною вiд функцi¨ f íà [a; b], якщо для всякого x 2 [a; b] ìà¹ìî F 0(x) = f(x).

Приклад 13.1. Знайдемо первiснi деяких функцiй.
1: f(x) = x2;		F (x) =	x3	;	F (x) =	x3	+ 1 ;
		3			3		3
2:	f(x) = cos x;	F (x) = sin x;			F (x) = sin x + 33;
3:	f(x) = ex;	F (x) = ex;			F (x) = ex ¡ 2014:

Теорема 13.1. Якщо F1(x) i F2(x) двi первiснi вiд функцi¨ f íà [a; b], то вони вiдрiзняються на константу C 2 R:

8x 2 [a; b]: F1(x) ¡ F2(x) = C:

Доведення. Позначимо '(x) = F1(x) ¡ F2(x). '0(x) = F10(x) ¡ F20(x) = f(x) ¡

f(x) = 0. ßêùî '0(x) = 0 äëÿ âñiõ x 2 [a; b], òî '(x) = C (наслiдок з теореми Лагран-

æà). ¤

Наслiдок 13.1. Нехай F (x) одна з первiсних для функцi¨ f(x). Тодi вираз

F (x) + C мiстить всi iншi первiснi, якщо C пробiга¹ множину всiх дiйсних чисел.

Означення 13.2. Нехай F первiсна вiд функцi¨ f íà [a; b]. Вираз

Z

F (x) + C def= f(x) dx

93

назива¹ться невизначеним iнтегралом вiд функцi¨ f. R знак iнтеграла;

f(x) пiдiнтегральна функцiя; f(x) dx пiдiнтегральний вираз.

Операцiя вiдшукання первiсно¨ назива¹ться iнтегруванням.

13.2. Таблиця iнтегралiв

1.

R

xa dx =

xa+1

+ C;

a 6= ¡1;

a+1

2.

dxx = ln x + C;

4.

R

cos x dx = sin x + C;

3.

R

¡

sin x dx j=j

cos x + C;

5.

R

dx

= tg x + C;

cos2 x

6.

R

dx

= ¡ ctg x + C;

sin2 x

7.

R

tg x dx =

ln

cos x + C;

8.

R

ctg x dx =¡ln

sinj

x +j C;

9.

R

ex dx = ex + jC;

j

10.

R

ax dx =

ax

+ C;

a > 0;

a = 1;

ln a

11.

R

1+x

6

dx

= arctg x + C;

12.

2

R

+x

a

a

dx

= 1 arctg x + C;

a = 0;

13.

2 2

R

p1¡x2

6

a

dx

= arcsin x + C;

14.

R

dx

= arcsin x

+ C;

a

>

x ;

R

pa2¡x2

a

j j

j

j

15.

2+a2

= ln(x + p

dx

x2 + a2

) + C;

a = 1

16.

R

pxdx

= ln x + p

+ C; x6> a > 0;

x2 a2

R

x2

a2

j

¡ j

j j j j

pdx¡

1

¯

a+x

¯

18.

a 6= 0;

a2¡x2

= 2a ln

17.

R

¯a¡x

¯ + C;

¯

¯

sh x dx = ch x + C;

19.

R

ch x dx = sh x + C;

20.

R

dx

= th x + C;

ch2 x

21.

R

sh x

¡

R

dx

=

cth x + C:

2

Формули (1), (3) (6), (9), (10), (11), (13), (17) (20) випливають безпосередньо з означення. Зараз доведемо формулу (2).

8

(ln jxj)0 = < (ln x)0 : (ln(¡x))0

ïðè

ïðè

x >

0;

8

1

ïðè x >

0;

1

=

x1

=

:

x

·

0;

<

(

¡

1)

ïðè x

·

0;

x

x

:

¡

94

Iншi формули доведемо пiзнiше.

13.3. Основнi властивостi невизначеного iнтеграла

1. Похiдна вiд невизначеного iнтеграла рiвна пiдiнтегральнiй функцi¨:

µZ ¶0

f(x) dx = (F (x) + C)0 = f(x):

2. Диференцiал невизначеного iнтеграла рiвний пiдiнтегральному виразу:

µZ ¶

df(x) dx = (F (x) + C)0 dx = f(x) dx:

3.Невизначений iнтеграл вiд диференцiала довiльно¨ функцi¨ рiвний цiй функцi¨ плюс константа:

Z Z Z

dF (x) = F 0(x)dx = f(x) dx = F (x) + C:

4. Константу можна винести за знак iнтеграла:

ZZ

af(x) dx = a f(x) dx:

5. Невизначений iнтеграл вiд суми (рiзницi) двох функцiй дорiвню¹ сумi (рiзницi) iнтегралiв вiд цих функцiй:

Z Z Z

(f(x) § g(x)) dx = f(x) dx § g(x) dx:

R R

6. Нехай f(x) dx = F (x) + C. Òîäi f(ax + b) dx = a1 F (ax + b) + C.

Приклад 13.2. Доведемо формулу (12):

Z

dx

1

Z

dx

1

x

1

x

+ C:

a2 + x2

dx = a2

1 +

xa

2 dx = a2 a arctg a

+ C = a arctg a

Доведемо формулу (14):

¡

¢

Z

p

1

1

Z

dx

x

dx =

dx = arcsin

+ C:

a

a

a2

¡

x2

1 x

¢

2

q

¡ ¡a

95

13.4. Iнтегрування методом замiни змiнно¨ чи способом пiдстановки

Теорема 13.2. Нехай x = '(t) неперервна функцiя з неперервною похiдною i вона ма¹ обернену '¡1. Òîäi

¡R

Z

Z

Z

¡R

f(x) dx =

f('(t))'0(t) dt:

(13.4.1)

Доведення.

('(t¢

0 = f(x);

f(x) dx

¢ dx

¢

'0(t)

¤

¢x

¡R

¢t

f('(t))'0(t) dt 0 =

f

))'0

(t) dt

0

dt

= f('(t))'0(t)

1

= f(x):

Це спосiб пiдстановки.

Приклад 13.3.

= 2

x = t2

3

2t dt

dt

dxp

=

= 2

= 2 ln 1 + t + C = 2 ln 1 + px + C:

t2 + t

t + 1

4

5

Z

Z

j

j

j

j

x +

x

dx = 2t dt

(Î.Ä.Ç. (0; +1).)

R

äî

R f(x) dx. Це метод замiни змiнно¨.

На практицi частiше роблять протилежну дiю: вiд

f('(t))'0(t) dt переходять

Приклад 13.4. Доведемо формулу (7):

tg x dx =

sin x dx

=

4

t = cos x

5

=

dt

=

ln t + C =

ln

cos x

+ C:

¡

cos x

t

Z

Z

dt =

sin x dx

¡ Z

¡

j j

¡

j

j

Доведемо формулу (8):

Z

ctg x dx = Z

cos x dx

4

t = sin x

5

= Z

dt

= ln jtj + C = ln j sin xj + C:

sin x

=

2

dt = cos x dx

3

t

13.5. Iнтегрування частинами

Згада¹мо, що d(uv) = u dv + v du, àáî u dv = d(uv) ¡ v du. Проiнтегру¹мо цю

формулу:	Z	u dv = uv ¡ Z
			v du:	(13.5.1)

Це формула iнтегрування частинами.

96

Приклад 13.5.

	arctg x dx =	2	u = arctg x				du =	dx	3	=
								1+x2
	Z	4	dv = dx				v = x		5
= x arctg x ¡ Z	1 + x2 = x arctg x ¡ 2			Z	1 + x2 = x arctg x ¡ 2 ln(1 + x2) + C:
	xdx		1		dx2					1

13.6. Деякi класи функцiй, якi iнтегруються частинами

Окремо видiлимо три класи iнтегралiв, якi беруть частинами.

Перший клас. Пiдiнтегральна функцiя ма¹ множником одну з функцiй arctg x,

arcctg x, ln x, arccos x, arcsin x, а другий множник похiдна вiдомо¨ функцi¨. Тодi поклада¹мо u = arctg x : : : .

Приклад 13.6.

Z

2

dv = dx

v = x

3 = x ln x

¡ Z

¡

ln x dx =

u = ln x

du = dxx

dx = x ln x

x + C:

4

5

n

R

u = Rn

R

ax

Другий клас.

Pn(x) sin ax dx,

Pn(x) cos ax dx,

Pn(x)e dx, äå Pn(x) много-

÷ëåí

-го степеня. Поклада¹мо

P (x) i n разiв беремо частинами.

Приклад 13.7.

2 dv = e2x dx

3 = 2 (x + 5)e2x ¡

Z (x + 5)e2x dx =

v =

21 e2x

2 Z e2x dx =

4

u = x + 5

du = dx

5

1

1

1

1

2x

2x

=

(x + 5)e

¡

e

+ C:

2

4

Òðåòié êëàñ. R eax cos bx dx,

R eax sin bx dx, R sin(ln x) dx, R cos(ln x) dx. Äâà ðàçè

беремо частинами i отриму¹мо рiвняння вiдносно шуканого iнтеграла.

Приклад 13.8.

2

3

I =

sin(ln x) dx =

u = sin(ln x)

du = cos(ln x) dxx

=

Z

4

dv = dx

v = x

5

2

3

= x sin(ln x)

cos(ln x) dx =

u = cos(ln x)

du = ¡ sin(ln x) dxx

=

¡ Z

4

dv = dx

v = x

5

= x sin(ln x) ¡ x cos(ln x) ¡ Z

sin(ln x) dx = x sin(ln x) ¡ x cos(ln x) ¡ I;

x

(sin(ln x) ¡ cos(ln x)) + C:

I =

2

97

ÐÎÇÄIË 14

IНТЕГРУВАННЯ РАЦIОНАЛЬНИХ ФУНКЦIЙ

1.Один важливий iнтеграл

2.Iнтегрування елементарних дробiв

3.Розклад рацiонально¨ функцi¨ на елементарнi дроби

14.1. Один важливий iнтеграл

Виведемо рекурентну формулу для обчислення iнтеграла

(14.1.1)

Kn = Z

(t2 + m2)n ;

dt

äå n 2 N.

K1 = Z

dt

1

t

=

arctg

+ C;

t2 + m2

m

m

n =

(t2 + m2)n = 2

(t +m

)

(t +m

)

3 =

Z

dt

u =

1

du =

¡n2t dt

K

4

2

2 n

2

2 n+1

5

dv = dt

v = t

(t2 + m2)n

Z

(t2 + m2)n+1

(t2 + m2)n

¡K

¡

K

¢

t

+ 2n

t2 + m2 ¡ m2

dt =

t

+ 2n

n

m2

n+1

:

Отриму¹мо рекурентну формулу:

µ(2n ¡ 1)Kn + (t2

+ m2)n ¶

+ C:

(14.1.2)

Kn+1 = 2nm2

1

t

Знайдемо K2:

K2

= 2m2

µm arctg m + t2 + m2

¶

+ C:

1

1

t

t

Аналогiчно, крок за кроком, знаходяться всi iншi iнтеграли.

14.2. Iнтегрування елементарних дробiв

Означення 14.1. Вирази вигляду

(I)

A

; (II)

A

; (III)

Ax + B

; (IV)

Ax + B

;

(14.2.1)

x ¡ a

(x ¡ a)

n

2

2

n

x + bx + c

(x + bx + c)

äå n > 1

натуральне, а рiвняння x2 + bx + c = 0 íå ì๠ðîçâ'ÿçêiâ (b2 ¡ 4c < 0) ,

називаються елементарними дробами.

98

Елементарнi дроби iнтегруються так.

(I) Z

A dx

= A ln jx ¡ aj + C.

x ¡ a

(II) Z

A dx

A

=

+ C; n 2 N; n > 1.

(x ¡ a)n

(1 ¡ n)(x ¡ a)n¡1

Ax + B

dx = 2

t = x2 + bx + c

3

dt = 2x + b

=

(III) Z x2 + bx + c

6

Ax + B = A (2x + b) + B

Ab

7

6

2

¡

2

7

4

5

A

Z

dt

µB ¡

Ab

¶Z

dx

=

+

=

2

t

2

x2 + bx + c

A

2

Ab

dx

=

ln(x + bx + c) +

B

=

2

¡

2 ¶Z

x2 + 2

b

b

2

+ b

b 2

µ

2 x +

2

¢ ´

¡ ¡

2

¢

A

Ab

³

dx

¡

b

=

ln(x2 + bx + c) +

B

=

2

t = x +

2 b2

3

=

b2

2

2

b

2

4c

2

4c

µ

¡

¶Z

x + 2

¢

+

³

¡4

´

4

m

=

¡4

> 0

A

2

µB ¡

Ab

¶Z

¡

dt

5

=

ln(x + bx + c) +

=

2

2

t2 + m2

A

2

µB ¡

Ab

¶

p

2

x + 2b

=

ln(x + bx + c) +

arctg

+ C:

2

2

4c ¡ b2

4c ¡ b2

(IV) Z

Ax + B

2

t = x2 + bx + c

3

dx =

dt = 2x + b

=

(x2 + bx + c)n

6

Ax + B =

A (2x + b) + B

Ab

7

6

2

¡

2

7

=

A

dt

+

B

¡

Ab

¶Z

4

dx

=

5

2 + 4c¡4 b2

n

2

Z tn

µ

2

x +

2b

A

³¡

¢Ab

³

´´

=

+ µB ¡

¶Kn;

2(1 ¡ n)(x2 + bx + c)n¡1

2

dt

µt = x +

p

¶ знаходимо за рекурент-

b

4c b2

де iнтеграл Kn =

2 ;

m =

¡

(t2 + m2)n

2

Z

2

> 0, îñêiëüêè â

ною формулою (14.1.2). Тут ми припуска¹мо, що n > 1 i 4c ¡ b

знаменнику ми ма¹мо незвiдний тричлен.

14.3. Розклад рацiонально¨ функцi¨ на елементарнi дроби

Означення 14.2. Вираз Pn(x)			Pn(x), Qm(x) многочлени степенiв n i m,
	Q (x) , äå
	m

назива¹ться рацiональним дробом чи рацiональною функцi¹ю. Якщо n < m, то дрiб назива¹ться правильним.

Теорема 14.1. Будь-який рацiональний дрiб можна зобразити у виглядi

Pn(x) = Sk(x) + Rl(x) ; Qm(x) Qm(x)

99

äå Sk(x), Rl(x) многочлени степеней k i l, l < m, тобто дрiб Rl(x)

Qm(x) правильний.

Нагада¹мо наслiдок з основно¨ теореми алгебри.

Теорема 14.2. Довiльний многочлен Qm(x) над полем дiйсних чисел R можна зобразити таким чином:

Qm(x) = A(x ¡ a1)®1 : : : (x ¡ ak)®k (x2 + b1x + c1)¯1 : : : (x2 + bsx + cs)¯s ; (14.3.1)

äå ®1 + ¢ ¢ ¢ + ®k + 2(¯1 + ¢ ¢ ¢ + ¯s) = m, i x2 + bjx + cj нерозкладний тричлен (b2j ¡ 4cj < 0).

Теорема 14.3. Нехай Rl(x)

Qm(x) правильний дрiб i його знаменник розкладений на множники за формулою (14.3.1). Тодi цей дрiб можна зобразити у виглядi суми елементарних дробiв

Rl(x)

A11

A1®1

A21

A2®2

=

+ ¢ ¢ ¢ +

+

+ ¢ ¢ ¢ +

+

Qm(x)

x ¡ a1

(x ¡ a1)®1

x ¡ a2

(x ¡ a2)®2

Ak1

Ak®k

B11x + C11

B1¯1 x + C1¯1

+ ¢ ¢ ¢ +

+ ¢ ¢ ¢ +

+

+ ¢ ¢ ¢ +

+

x ¡ ak

(x ¡ ak)®k

x2 + b1x + c1

(x2 + b1x + c1)¯1

B21x + C21

B2¯2 x + C2¯2

Bs1x + Cs1

Bs¯s x + Cs¯s

+ ¢ ¢ ¢ +

+ ¢ ¢ ¢ +

+ ¢ ¢ ¢ +

:

x2 + b2x + c2

(x2 + b2x + c2)¯2

x2 + bsx + cs

(x2 + bsx + cs)¯s

Числа Aij, Bij, Cij знаходяться, наприклад, методом невизначених коефiцi¹нтiв, який ми продемонстру¹мо на прикладi.

Приклад 14.1. Знайти iнтеграл

Z	x5	+ 3x4 ¡ x3 ¡ 6x2 + 5x + 7	dx:
		x3 + 3x2 ¡ 4

Спочатку видiля¹мо правильний дрiб (теорема (14.1)) i розклада¹мо його знаменник на множники (теорема (14.2)):

	x5 + 3x4 ¡ x3 ¡ 6x2 + 5x + 7	= x2	¡	1 +	x2 + 5x + 3	:
					(x ¡ 1)(x + 2)2
	x3 + 3x2 ¡ 4

Далi зобража¹мо правильний дрiб як суму елементарних дробiв (теорема (14.3)):

x2 + 5x + 3	=	A	+	B	+	C	:
(x ¡ 1)(x + 2)2		x ¡ 1		x + 2		(x + 2)2

Невiдомi числа визнача¹мо методом невизначених коефiцi¹нтiв:

x2 + 5x + 3 = A(x2 + 4x + 4) + B(x2 + x ¡ 2) + C(x ¡ 1);

100

Знаходимо розв'язок системи

I = Z	µx2 ¡ 1 + x ¡ 1
	1

x2 : 1 = A + B;

x1 : 5 = 4A + B + C; x0 : 3 = 4A ¡ 2B ¡ C:

A = 1, B = 0, C = 1 i пiдставля¹мо в шуканий iнтеграл:

	1	¶dx =	x3	1
+				¡ x + ln jx ¡ 1j ¡		+ C:
	(x + 2)2		3		x + 2