matanaliz

31

Приклад 4.4.

8

>> 1; ÿêùî x > 0;

<

1.

sgn(x) =

>

0;

ÿêùî

x = 0;

¡

:

¡1;

ÿêùî

x < 0:

lim

0

sgn(x) =

1,>lim

sgn(x) = 1.

x

!¡

x

+0

f(x) =

!

1

=

lim

1

2.

1

¡1

,

x . xlim0 x

x

!

+0 x

!¡

3.

f(x) = [x] цiла частина числа

x

lim

[x] = a

¡

1,

x

lim

[x] = a.

a

0

!

a+0

! ¡

= 1.

x. Äëÿ a 2 Z ìà¹ìî

4.4. Перша та друга важливi границi

Теорема 4.6 (Перша важлива границя).

lim sin x = 1;

x!0 x

тобто вiдношення синуса малого кута до самого кута, вираженого в радiанах, пряму¹ до одиницi.

6

B©

C

©©

©©©

©©©

©

©

© x

-

Доведення.

O

D

A

OA = OB = 1, 0 < x < ¼2 . Ç 4OBD: BD = sin x; ç 4OCA: AC = tg x. Îñêiëüêè

S4OBA < Sñåêò.AOB < S4AOC;

òî

sin x

< x <

tg x

2 2 2 , àáî

0 < sin x < x < tg x:

(4.4.1)

З теореми про три функцi¨, оскiльки lim 0 = 0 i lim x = 0, отриму¹мо

x!0

x!0

lim sin x = 0:

(4.4.2)

x!0

Îñêiëüêè

2

x

x2

ïðè

, òî lim(1

cos x) = 0. Тобто

1 ¡ cos x = 2 sin

2 ·

2 ! 0

x ! 0

¡

x 0

!

lim cos x = 1:

x!0

Ïîäiëèìî íåðiâíiñòü 4.4.1 íà sin x:

1 <

x

<

1

;

sin x

cos x

àáî

sin x

cos x <

< 1:

x

За теоремою про три функцi¨ отриму¹мо потрiбний результат:

lim

sin x

= 1:

x

x!0

32

(4.4.3)

(4.4.4)

¤

Друга важлива границя виводиться з вiдповiдно¨ границi послiдовностi i

може бути записана у виглядi			¶		x!0
x!1	µ1 + x			x
	1				1
lim					= e; àáî lim (1 + x)x = e	(4.4.5)

33

ÐÎÇÄIË 5

НЕПЕРЕРВНIСТЬ ФУНКЦIЙ

1.Основнi означення.

2.Властивостi неперервних функцiй.

3.Неперервнiсть елементарних функцiй.

4.Важливi приклади.

5.Точки розриву функцi¨.

6.Нескiнченно малi i нескiнченно великi функцi¨.

7.Властивостi функцiй, неперервних на вiдрiзку.

8.Рiвномiрна неперервнiсть.

5.1. Основнi означення

Нехай A ½ R, f : A ! R, a 2 A гранична точка множини A.

Означення 5.1. Функцiя f неперервна в точцi a, ÿêùî lim f(x) = f(a),

x!a

тобто	³x!a x´	:
x!a
lim f(x) = f	lim

ßêùî a iзольована точка множини A, то функцiя завжди неперервна в цiй точцi.

Означення 5.2. Функцiя f назива¹ться неперервною злiва в точцi a, ÿêùî lim f(x) = f(a) i неперервною справа в точцi a, ÿêùî lim f(x) =

x!a¡0

x!a+0

f(a).

Очевидно, що функцiя неперервна в точцi a тодi i тiльки тодi, коли вона неперервна справа i неперервна злiва в цiй точцi.

Означення 5.3. Функцiя назива¹ться неперервною на множинi A, якщо вона неперервна в кожнiй точцi множини A. Познача¹ться це так: f 2 C(A). C(A) простiр неперервних на A функцiй.

34

5.2. Властивостi неперервних функцiй

Теорема 5.1. Нехай функцi¨ f : A ! R òà g : A ! R неперервнi в точцi

a 2 A i c 2 R довiльне число. Тодi функцi¨ c ¢ f, f § g, f ¢ g	та функцiя f
	g ,
ÿêùî g(a) 6= 0, неперервнi в точцi a.

Теорема 5.2 (про неперервнiсть суперпозицi¨ двох функцiй). Нехай функцiя f : A ! R неперервна в точцi a 2 A, ff(x) j x 2 Ag ½ B i функцiя

g : B ! R неперервна в точцi f(a). Тодi функцiя h(x) = g(f(x)) неперервна в точцi a. Iнакше,

³´

lim g (f(x)) = g	lim f(x) = g(f(a)):
x!a	x!a

Теорема 5.3 (про iснування i неперервнiсть обернено¨ функцi¨). Нехай функцiя f : (a; b) ! R, ¡1 · a < b · +1, неперервна на (a; b) i строго моно-

тонно зроста¹. Позначимо		lim f(x), d =	lim f(x),	¡1 ·	c < d	·	+	1	.
		c = x!a+0	x!b¡0
Тодi iсну¹ ¹дина функцiя g : (c; d) ! (a; b), яка задовольня¹ умови
1.	g 2 C ((c; d));
2.	g строго монотонно зроста¹;
3.	для всякого x 2 (a; b) g (f(x)) = x i для всякого y 2 (c; d)

f (g(y)) = y.

5.3. Неперервнiсть елементарних функцiй

1. Показниковi функцi¨ y = xn, n 2 N, неперервнi всюди на R. Це означа¹,

ùî (8a 2 R)(8" > 0)(9± = ±(") > 0)(8x 2 R): fjx ¡ aj < ± ) jxn ¡ anj < "g:

Îñêiëüêè jxn ¡ anj = jx ¡ aj ¢ jxn¡1 + xn¡2a + xn¡3a2 + ¢ ¢ ¢ + an¡1j < ", òî

"

jx ¡ aj < jxn¡1 + xn¡2a + xn¡3a2 + ¢ ¢ ¢ + an¡1j

i тому ми можемо покласти, що ± = min			½n( a + 1)n ; 1¾.
					"
2. Функцiя f(x) = x	n			j j
		, визначена на (0; +1), задовольня¹ умовам теоре-

ми про iснування обернено¨ функцi¨. Тому iсну¹ ¹дина неперервна на (0; +1) функцiя g(x) = x1=n, яка обернена до f.

35

3. Многочлен anxn + an¡1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + a1x + a0, ÿê ëiíiéíà êîìáiíàöiÿ показникових функцiй, неперервний всюди; функцiя y = xn=m, n; m 2 N, ÿê

суперпозицiя показниково¨ i обернено¨ до показниково¨, неперервна всюди на областi визначення; рацiональна функцiя неперервна всюди, де знаменник не перетворю¹ться в нуль.

4. Безпосередньо за означенням можна показати, що sin òà cos неперервнi всюди:

j

sin x

¡

sin a

j

=

¯

2 sin

x ¡ a

cos

x + a

¯

·

¯

2 sin

x ¡ a

¯

<

j

x

a ;

2

2

2

¡ j

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

cos x

cos a =

¯

2 sin

x ¡ a

sin

x + a¯

¯

2 sin

x ¡ a¯

<

x

a ;

j

¡

¯¡

¯

·

¯

¯

j

¡

j

2

2

2

j

¯

¯

¯

¯

перших двох.

tg x òà ctg x неперервнi всюди,¯

де вони визначенi,¯

¯ÿê êîìáiíàöi¨¯

¯

¯

¯

¯

Висновок. Можна показати, що всi елементарнi функцi¨ неперервнi в областях свого визначення.

5.4. Важливi приклади

1. Невизначенiсть типу 11.

Нехай потрiбно знайти lim u(x)v(x), äå lim u(x) = 1 i lim v(x) =

1

.

x

!

a

x

a

x

!

a

!

v(x)

1

´

(u(x)¡1)v(x)

lim (u(x)

¡

1)v(x)

= lim

(1 + (u(x)

1))u(x)¡1

lim u(x)

¡

x

a

:

x!a

x!a ³

= e !

= ex!a µ

¡ ¶

(5.4.1)

x ¡ 2

¡

¡

Наприклад, lim

x + 3

= e¡10:

x!1 µx + 3¶

1

lim

x ¡ 2

1

(2x

1)

2x

loga(1 + x)

1=x

1=x

1

2. lim

= lim loga(1 + x)

= loga

lim (1 + x)

= loga e =

;

x

ln a

x!0

x!0

x!0

зокрема lim

ln(1 + x)

= 1.

x

x!0

x

e

x

3. lim

a

¡ 1

= ln a (a > 0), зокрема lim

¡ 1

= 1.

x!0

x

x!0

x

Позначимо ax ¡ 1 = t. Òîäi ïðè x ! 0 i t ! 0. Ìà¹ìî ax = t + 1, x ln a =

ln(t + 1), çâiäêè x = ln(t+1)

ln a .

lim

ax ¡ 1

= lim

t ln a

= lim

ln a

=

ln a

= ln a:

x

ln e

x!0

t!0 ln(t + 1)

t!0 ln(t + 1)1=t

36

4. lim (1 + x)a ¡ 1 = a.

x!0 x

Робимо замiну (1 + x)a ¡1 = y, òîäi ïðè x ! 0 i y ! 0. Ìà¹ìî a ln(1 + x) =

ln(1 + y) i

¡

x ! 0

x ! 0

µln(1 + y)

¶ =

x!0

x

=

x

=

x

lim

(1 + x)a

1

lim

y

lim

y

a ln(1 + x)

y ! 0

y ! 0

1

lim ln(1 + x)1=x = a:

= ylim0 ln(1 + y)1=y

¢ a ¢

x

!

0

!

5.5. Точки розриву функцi¨

Означення 5.4. Нехай a гранична точка множини A. Кажемо, що функцiя f : A ! R ма¹ розрив у точцi a, якщо вона не ¹ неперервна в цiй точцi.

Можливi три види точок розриву.

5.5.1. Усувний розрив. Точка a 2 A назива¹ться точкою усувного

розриву функцi¨

y

= f(x), ÿêùî iñíó¹ lim f(x)

2 R

, àëå àáî lim f(x)

6=

f(a),

x

!

a

x

!

a

або функцiя f â òî÷öi a не означена.

Приклад 5.1. sin x

1. Функцiя

f(x) =

R n f0g

i lim f(x) = 1. Òîìó â

x визначена на множинi

x!o

òî÷öi x = 0 ма¹мо усувний розрив: ми можемо доозначити нашу функцiю до

функцi¨	8 sinx x ;
g(x) =			ÿêùî
	<	1;	ÿêùî
яка ¹ неперервна всюди.	:
2. Функцiя	<	0;	ÿêùî
f(x) =	8 exx¡1 ;		ÿêùî
	:

x =6 0; x = 0;

x =6 0; x = 0;

				37
ма¹ усувний розрив в точцi x = 0, îñêiëüêè		lim	ex ¡ 1	= 1 = 0 = f(0). Ùîá
		x!0	x	6
зробити дану функцiю неперервною в нулi, потрiбно ¨¨ переозначити:
g(x) = 8 exx¡1 ;	ÿêùî	x 6= 0;
< 1;	ÿêùî	x = 0:
:

5.5.2. Розрив першого роду. Точка a ¹ точкою розриву першого роду функцi¨ f, якщо в цiй точцi iснують скiнченнi права та лiва границi i

lim f(x) 6= lim f(x):

x!a¡0 x!a+0

Ще кажуть, що функцiя f ì๠стрибок â öié òî÷öi.

Приклад 5.2.

1. Функцiя

8

>> 1;

<

sgn(x) = > 0;

>

: ¡1;

ÿêùî

ÿêùî

ÿêùî

x > 0; x = 0; x < 0:

â òî÷öi 0 ма¹ стрибок, оскiльки

8

>>< x2 + 1;

2. Функцiя f(x) = > 0;

>

: ¡1 ¡ x;

теж ма¹ стрибок в нулi.

lim sgn(x) = ¡1 i lim sgn(x) = +1.

x!¡0 x!+0

ÿêùî x > 0; ÿêùî x = 0; ÿêùî x < 0

5.5.3. Розрив другого роду. Точка a ¹ точкою розриву другого роду

функцi¨ f, якщо в цiй точцi принаймнi одна з однобiчних границь не iсну¹ або не ¹ скiнченною.

Приклад 5.3.

1. Функцiя f(x) = x1

â òî÷öi x = 0 ма¹ розрив другого роду, оскiльки

1

,

lim

1

= +

.

xlim0 x

1

= ¡1 x

!

+0 x

!¡

2. Функцiя f(x) = 8 sin x1 ;

ÿêùî

x 6= 0;

< 1;

ÿêùî

x = 0

â òî÷öi

x = 0

ма¹ розрив другого роду, оскiльки lim f(x) не iсну¹. Справдi,

:

x!0

якщо взяти послiдовнiсть fxng, xn =

1

, xn ! 0 ïðè n ! +1, òî f(xn) =

¼n

x!a+0 x!b¡0

x!c+0

lim f(x). Òî-

x!c¡0

					38
sin(	1	) = sin(¼n) = 0; якщо ж взяти послiдовнiсть fyng, yn =			1	, yn ! 0
	1=¼n				2¼n+¼=2
ïðè n ! +1, òî f(yn) = sin(			1	) = sin(2¼n + ¼=2) = 1.
			2¼n+¼=2

Теорема 5.4. Нехай функцiя f : [a; b] ! R ¹ монотонною. Тодi для всяко¨ внутрiшньо¨ точки c 2 (a; b) iснують скiнченнi одностороннi границi lim f(x) i lim f(x), а також iсну¹ть скiнченнi границi lim f(x) òà

му функцiя f може мати тiльки не бiльш нiж злiченну кiлькiсть розривiв першого роду.

Приклад 5.4.

Функцiя f(x) = [x] цiла частина числа, монотонно неспада¹. Множина ¨¨ стрибкiв це Z. Це злiченна множина, бо ¨¨ елементи можна перенумерувати натуральними числами.

1	2	3	4	5	6	7	8	: : :
#	#	#	#	#	#	#	#
0	1	¡1 2		¡2 3		¡3 4		: : :

5.6. Нескiнченно малi i нескiнченно великi функцi¨

Нехай a гранична точка множини A.

Означення 5.5. Функцiя ®: A ! R назива¹ться нескiнченно малою â

òî÷öi a, ÿêùî lim ®(x) = 0.

x!a

Наприклад, (x ¡ a)n нескiнченно мала в точцi a, x, sin x, tg x, x5

нескiнченно малi в точцi 0	, 1 1		нескiнченно малi в +1, e	x, 1
	x ,	x3			x2	нескiнченно
ìàëi â ¡1.
Зауваження 5.1. Функцiя f ма¹ границю в точцi a				lim f(x) = b òîäi i
				x!a

тiльки тодi, коли функцiя ®(x) = f(x) ¡ b ¹ нескiнченно мала. Тому ми можемо зобразити функцiю так:

f(x) = b + ®(x):

39

Означення 5.6. Нехай ®(x); ¯(x): A ! R нескiнченно малi в точцi a i

	iсну¹ границя			®(x)
	lim					= C	2 R	:
	x	!	a ¯(x)

ßêùî C = 0, òî ®(x) назива¹ться нескiнченно малою вищого порядку малостi, íiæ ¯(x), à ¯(x) нищого порядку малостi, íiæ ®(x). Записують це

òàê:

® = o(¯); àáî ®(x) = o(¯(x)) ïðè x ! a:

ßêùî C =6 0, òî ® i ¯ називаються нескiнченно малими одного порядку, зокрема, якщо C = 1, òî ® i ¯ еквiвалентнi нескiнченно малi. Познача¹ться це так: ® » ¯.

Наприклад, ми вже встановили, що в нулi x » sin x » tg x » arcsin x »

arctg x » ln(1 + x) » ex ¡ 1.

Найпростiшi властивостi нескiнченно малих.

1.ßêùî ® òà ¯ нескiнченно малi в точцi a, òî ® § ¯ теж нескiнченно мала в точцi a.

2.ßêùî ® òà ¯ нескiнченно малi в точцi a, òî ® ¢ ¯ теж нескiнченно мала в точцi a, причому ® ¢ ¯ = o(®) i ® ¢ ¯ = o(¯).

3.ßêùî ® нескiнченно мала в точцi a, à f обмежена в деякому околi цi¹¨ точки, то ®f нескiнченно мала в точцi a.

4.Зокрема, c® нескiнченно мала в точцi a (c const).

5.ßêùî ® òà ¯ двi еквiвалентнi нескiнченно малi (® » ¯), òî ® ¡ ¯ =

o(®) i ® ¡ ¯ = o(¯) i навпаки, якщо ® ¡ ¯ = o(®) ÷è ® ¡ ¯ = o(¯), òî ® » ¯.

Теорема 5.5. Нехай ® òà ¯ еквiвалентнi нескiнченно малi в точцi a i ®(x) =6 0, ¯(x) =6 0, в деякому околi цi¹¨ точки. Тодi для довiльно¨ функцi¨ h: A ! R з iснування однi¹¨ з границь

lim (®(x)h(x)) ÷è	lim (¯(x)h(x))
x!a	x!a

слiду¹ iснування друго¨ i ¨х рiвнiсть i з iснування однi¹¨ з границь

lim	h(x)		lim	h(x)
x!a ®(x) ÷è			x!a ¯(x)
слiду¹ iснування друго¨ i ¨х рiвнiсть.

неперервна всюди. Тому для довiльного

40

На практицi це означа¹, що шукаючи границi, ми можемо у виразах замiнювати нескiнченно малi еквiвалентними до них.

Приклад 5.5.

sin

x3

¡ tg3 x

1. Знайти границю lim

3

x sin2 x .

x

3x!0

x

3

Îñêiëüêè

sin

sin x » x

i

, òî

3 »

3,

3

3

tg x » x

lim

sin

x

¡ tg3 x

= lim

x

¡ x3

=

2

3

3

¡3.

x!0

x sin2 x

x!0

x ¢ x2

2. lim

2x

log2(1 + x)

1

=

2x ¡ 1 » x ln 2;

sin x » x;

=

x!0

¡sin x

tg 2x ¡

2 log

(1 + x)

x

;

tg 2x

2x

3

» ln 2

»

x ln 2

x

¡ ln 2

1

4

2

5

¡ ln 2

¡ ln 2

ln2

lim

=

= 1

¡

2.

x

x

!

0

¡

2x

1

¡

Означення 5.7. Функцiя B : A ! R назива¹ться нескiнченно великою

â òî÷öi a, ÿêùî

lim ®(x) =

§1

.

x

a 0

! §

5.7. Властивостi функцiй, неперервних на вiдрiзку

Теорема 5.6 (Перша теорема Вей¹рштрасса). Якщо функцiя f неперервна на [a; b], то вона обмежена на [a; b].

Наприклад, функцiя f(x) = x2

сегмента [a; b] функцiя f обмежена на ньому. Справдi, для всякого c 2 [a; b] ìà¹ìî 0 · f(c) · maxfa2; b2g. Функцiя tg x неперервна на пiвiнтервалi [0; ¼=2), але необмежена на ньому. Проте для всякого як завгодно малого числа " > 0 функцiя tg обмежена на сегментi [0; ¼=2 ¡ "].

Наслiдок 5.1. Нехай функцiя f неперервна всюди на R i перiодична. Тодi ця функцiя обмежена на R.

Теорема 5.7 (Друга теорема Вей¹рштрасса). Неперервна на замкненому вiдрiзку функцiя f : [a; b] ! R прийма¹ на цьому вiдрiзку найбiльше i найменше

значення. Iнакше:

(9x¤ 2 [a; b])(8x 2 [a; b]): ff(x) · f(x¤))g; (9x¤ 2 [a; b])(8x 2 [a; b]): ff(x) ¸ f(x¤))g.