matanaliz

101

ÐÎÇÄIË 15

IНТЕГРУВАННЯ ДЕЯКИХ КЛАСIВ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ТА

IРРАЦIОНАЛЬНИХ ФУНКЦIЙ

1.Iнтегрування деяких класiв тригонометричних функцiй

2.Iнтегрування iррацiональних функцiй

3.Тригонометричнi пiдстановки

4.Пiдстановки Ейлера

5.Iнтеграли, якi не беруться в квадратурах

15.1. Iнтегрування деяких класiв тригонометричних функцiй

15.1.1.	Z	R(sin x; cos x)dx, äå R рацiональна функцiя двох змiнних.
Такий iнтеграл завжди приводиться до iнтеграла вiд рацiонально¨ функцi¨ за
допомогою унiверсально¨ пiдстановки:
		t = tg	x	:	(15.1.1)
		2

Справдi,

sin x =		2 sin x2 cos x2		=
	sin2 x2 +cos2 x2
cos x =		cos2 x2 ¡sin2	x2		=
		sin2 x2 +cos2	x2

2 tg x2			=			2t		;
1+tg2 x2						1+t2
1¡tg2		x2			1		t2
				=	¡		2	;
1+tg	2	x
		2				1+t

x2 = arctg t;

x = 2 arctg t;

dx =

2 dt

:

1+t2

Тобто

2t

1 ¡ t2

2 dt

sin x =

; cos x =

; dx =

:

(15.1.2)

1 + t2

1 + t2

Òîäi

Z

Z

1 + t2

Z

µ1 + t2

1 + t2

¶

1 + t2

R(sin x; cos x)dx =

R

2 dt

;

1 ¡ t2

2 dt

=

R1(t)dt,

äå R1(t) ðàöiî-

нальна функцiя вiд t.

Приклади.

2 dt

¯

¯

dx

dt

x

1.

=

1+t2

=

= ln tg

+ C:

2t

Z

sin x

Z

Z

t

¯

2

¯

1+t2

¯

¯

2

¯

1+t2

¯

2 dt

x

Z

dx

Z

1+t2

Z

¡

¯

¯

¡

¯

¯

¡

¯

2.

2 dt

¯

¯1 + t

¯

¯

1 + tg 2

¯

dx

¼

cos x =

dx

1

t2

1

t

1

x

tg x

+ C:

1¡t2

=

= ln

¯

=

¯

+ C = ln

¯

З iншого боку,

=

¼

¡

ln tg

³

´¯

+

¯C. Можна показа-

¯

ти, що цi iнтеграли вiдрiзняються на константу.

¯

¯

Z

cos x

Z

¡

¢

¡

¯

2

¡

2

¯

sin

2

x

102

Унiверсальна пiдстановка часто приводить до громiздких виразiв. Iнколи роботу можна спростити,Z застосувавши iншi пiдстановки.

(a) R(sin x) cos x dx. Поклада¹мо t = sin x, dt = cos x dx i приходимо до iнте- грала R R(t) dt.

Приклад 3.

+ t

Z

1

+ sin x

cos x dx = Z

1

dt = ln jtj + t + C = ln j sin xj + sin x + C:

sin x

t

(b) Z

R(cos x) sin x dx. Поклада¹мо t = cos x, dt = sin x dx i приходимо до iнте-

грала ¡

R(t) dt.

ПрикладR

4.

3 x + 3

t3 + 3

t3

Z 3tg x

dx = Z

sin x dx = ¡ Z

cos3 x + 3

cos

dt = ¡

¡ 3 ln jtj + C =

cos x

t

3

cos

x

¡

¢

= ¡

¡ 3 ln j cos xj + C.

3

(c)

Z

R(tg x) dx. Поклада¹мо t =

tg x, dx =

dt

R

1+t2

i приходимо до iнтеграла

dt

R(t)

= R1(t) dt.

1+t2

ПрикладR

5.

4 + t2

tg3 x

Z ¡tg4 x + tg2 x¢dx = Z

t

dt = Z

t2 dt =

+ C:

1 + t2

3

(d) Z

R(sin x; cos x) dx, причому sin òà cos входять у вираз тiльки у парних сте-

пенях. Поклада¹мо t = tg x. Òîäi:

dx =

dt

;

sin

2

x =

t2

;

cos

2

x =

1

:

2

2

1 + t

2

1 + t

1 + t

Приклад 6.

dt

1 + cos2 x

1

2 + t2

2

1

1+t2

dx = 1 +

=

dt =

+ C =

4

2

t4

4

3

Z

sin

x

Z

µ

1 + t

¶

Z

t

¡

3t

¡ t

(1+t2)2

¡

2 ctg3 x

¡ ctg x + C:

3

(e) Z

sinm x cosn x dx,

m; n 2 Z.

I. Одне з чисел m ÷è n непарне. Наприклад, нехай n = 2p + 1. Òîäi ìè ìà¹ìî

випадок (b) чи (a).

sinm x cos2p x cos x dx = Z

sinm x ¡1 ¡ sin2 x¢p d sin x:

Z

sinm x cosn x dx = Z

Приклад 7.

Z

cos3 x

dx =

Z

1 ¡ sin2 x

cos xdx =

Z

1 ¡ t2

dt =

1

1

+ C:

¡3 sin3 x ¡ sin x

sin4 x

sin4 x

t4

103

II. Числа m i n парнi i невiд'¹мнi. Тодi застосову¹мо формули пониження степеня:

							cos	2		x =		1	(1 + cos 2x);			sin		2	x =	1		(1 ¡ cos 2x):
												2								2
		Z sin4 x dx = Z µ							2 (1 ¡ cos 2x)¶ dx =						4		Z µ1 ¡ 2 cos 2x + 2						(1 + cos 4x)¶ =
		Приклад 8.							1					2	1							1
x		¡ sin 2x +	x		+	1	sin 4x + C:
4			8			16

III. Числа m i n парнi i принаймнi одне з них вiд'¹мне. Робимо пiдстановку

t = tg x ֏ t = ctg x.

Приклад 9.

Z

cos x

Z

¡

¢

tg5 x Z

tg3 x

4

2

sin2 x

dx =

sin2 x(sin2 x + cos2 x)

dx =

tg

x + tg

x d(tg x) =

cos6 x

6

+

+ C:

Z

5

(f) Z3 cos mx cos nx dx, Z

sin mx cos nx dx,

sin mx sin nx dx. Застосову¹мо фор-

ìóëè:

cos mx cos nx = 12 (cos(m + n)x + cos(m ¡ n)x) ;

sin mx cos nx = 12 (sin(m + n)x + sin(m ¡ n)x) ;

sin mx sin nx = 12 (cos(m ¡ n)x ¡ cos(m + n)x) :

15.2. Iнтегрування iррацiональних функцiй

(a) I = Z

n1

n2

ns

dx, n1; n2; : : : ; ns 2 Z, m1; m2; : : : ; ms 2 N,

R x; x

m1

; x

m2

; : : : ; x

ms

;

äå R

рацiональна функцiя сво¨х аргументiв.

³

´

Нехай k спiльний знаменник дробiв

n1

;

n2

; : : : ;

ns

, тобто

m

m

m

1

2

s

k = m1 ¢ p1 = m2 ¢ p2 = ¢ ¢ ¢ = ms ¢ ps; p1; p2; : : : ; ps 2 N:

Робимо пiдстановку x = tk, dx = ktk¡1dt:

I = Z

R ³tk; tp1n1 ; tp2n2 ; : : : ; tpsns ´ktk¡1dt = Z

R1(t)dt;

äå R1(t) нова рацiональна функцiя вiд змiнно¨ t.

Ïðèêëàä 10.

px + 5

x = t4;

t2 + 5

3

4 3

4

4

1

dx =

=

4t

dt =

t + 20t + C =

x3

+ 20x

4

+ C:

4

Z

2

dx = 4t3 dt

3 Z

t3

3

3

px3

4

5

104

(b) I = Z R Ãx; µ

ax + b

n1

ax + b

n2

ax + b

ns

!dx,

m1

m2

ms

¶

; µ

¶

; : : : ; µ

¶

cx + d

cx + d

cx + d

äå

ax + b

a

b

, àáî ad 6= bc.

нескоротний дрiб, тобто

6=

cx + d

c

d

Нехай k

спiльний знаменник дробiв

n1

;

n2

; : : : ;

ns

m

m

m

, тобто

1

2

s

k = m1 ¢ p1 = m2 ¢ p2 = ¢ ¢ ¢ = ms ¢ ps:

Робимо пiдстановку tk =

ax + b

ax + b = cxtk + dtk,

x =

dtk ¡ b

cx + d . Òîäi

a

¡

ctk ,

k

1

k

k

1

k

k

1

dx =

kdt

¡

(a ¡ ct

) + ckt

¡ (dt

¡ b)

=

kt

¡

(ad ¡ bc)

dt. Пiдставляючи в iнтеграл I,

отрима¹мо

(ctk ¡ a)2

(ctk ¡ a)2

Z

I =

R

dtk ¡ b

; tn1p1 ; ; tp2n2 ; : : : ; tpsns

ktk¡1(ad ¡ bc)

dt =

R1(t)dt;

µa ¡ ctk

¶

(ctk ¡ a)2

Z

äå R1(t) нова рацiональна функцiя вiд змiнно¨ t.

Ïðèêëàä 11.

p

x + 4 = t2; x = t2

4;

2t

dt

1

Z

x + 4

dx = 2

¡

3

=

Z

tt¢2

4

= 2

Z

1 + 4

dt =

x

¡

t2

4

p

4 dx = 2t dt

5

µ

¡

¶

= 2p

+ 2 ln

x + 4

¡ 2

¯

x + 4

+ C:

¯px + 4 + 2

¯

¯

¯

¯

¯

¯

(c) Пiдстановки Чебишова

I = Z

xm (a + bxn)p dx, äå m; n; p рацiональнi числа, m =

m1

, n =

n1

p =

p1

.

m2

n2

p2

Даний iнтеграл береться тiльки в трьох випадках.

1. p цiле. Це пункт (а): поклада¹мо x = tk, äå k спiльний знаменник чисел m i n,

k = rm2 = sn2. Òîäi dx = ktk¡1 dt i

Z Z

I = trm1 (a + btsn1 )p ktk¡1 dt = R(t) dt;

äå R(t) рацiональна функцiя вiд змiнно¨ t.

2. m+1

цiле. Робимо замiну a + bx

n

k

, äå k знаменник числа p (k = p2). Òîäi

n

= t

b ,

³ b

´

1

n

m¡ ¡ ¢

nb n ¡ ¡ ¢

xn = tk¡a x = tk¡a n , dx = 1 b¡ n1 tk

a n1 ¡1 ktk¡1 dt =

k

tk a n1 ¡1 tk¡1 dt,

1

Z µ

b

¶

nb n

³

¡

´

I =

tk

¡ a

n

tp1

k

tk

a

n1 ¡1 tk¡1 dt =

1

=

k

tp1+k¡1

(a + bx)

m+1

¡1 dt = R(t) dt;

n

+1

Z

nb mn

Z

äå R(t) рацiональна функцiя вiд змiнно¨ t.

3. m+1

+ p цiле. Цей випадок зводиться до випадку (2):

n

Z

xm (a + bxn)p dx = Z

xm+np ¡b + ax¡n¢p dx:

число. Тому робимо замiну ax¡n + b = tk, äå k знаменник числа p¡

¢

105

p = p1

öiëå

Позначимо M = m + np, N = ¡n, P = p

i ìà¹ìî M+1

=

m+np+1

= ¡

m+1

+ p

N

¡n

n

¡

¢.

k

15.3. Тригонометричнi пiдстановки

Z ³ p ´

R x; ax2 + bx + c dx :

Видiливши повний квадрат i зробивши вiдповiдну замiну, прийдемо до таких iнтегралiв.

Iнтеграл

Пiдстановка

t; p

t =

n

R1

m2t2 + n2

dt

tg z;

R

¡t; p

¢ dt

t =

m n

R1

m2t2

¡

n2

;

m cos z

R

R1

¡t; pn2

¢ dt

¡ m2t2

t = mn sin z:

R

¡

¢

Приклади.

2

3

1.

dx

3

=

x = sin t;

=

¡

¡

2

¢

t;

p1

x

4

5

Z

Z

dx = cos t dt

2.

dx

3

=

2

x = tg dt

3

=

2

Z

p1 + x

¢

4

dx =

cos2 t

5

Z

¡

dx

x =

1

;

¡

¢

4

cos t

5

¡

3.

3

=

2

sin t dt

3

=

2

Z

px

1

dx =

cos2 t

Z

cos t dt

= tg t + C =

p

x

+ C:

cos3 t

1 ¡ x2

cos3 t dt

= sin t + C = sin(arctg x) + C:

cos2 t

cos t dt

1

1

= ¡

+ C = ¡

+ C:

sin2 t

sin t

sin(arccos x1 )

15.4. Пiдстановки Ейлера

Цi пiдстановки стосуються iнтегралiв вигляду R R ¡x; pax2 + bx + c¢ dx: Ðåêî- мендацi¨ щодо ¨х iнтегрування подамо у виглядi таблицi:

Пiдстановка

p

= §p

I:

a > 0

ax2 + bx + c

ax + t

p

= xt § p

II:

c > 0

ax2 + bx + c

c

p

= (x ¡ ®)t

III:

® i ¯

ax2 + bx + c

коренi рiвняння

ax2 + bx + c = 0

Доведемо формулу (15):

= 2

3 =

p

dx

¡

t2

a2

§

t2 a2

¡

§

Z

x

a

x =

¨2t

; dx =

2§t2

dt

a2;

4

x + t = px2

a2; x2

2xt + t2 = x2

5

§

106

Z

t ¡ t2

¨2ta2

2t2

Z

t

j j

j

p

§

j

1

t2

§ a2

dt

+ C.

=

dt =

= ln t

+ C = ln

x + x2

a2

15.5. Iнтеграли, якi не беруться в квадратурах

Iснують iнтеграли, якi не можна зобразити у виглядi скiнченно¨ комбiнацi¨ еле-

ментарних функцiй. Наприклад:

Z ex2 ,

Z

x

dx, Z

x

dx, Z

ln x,

Z p

dx.

1 ¡ k2 sin2 x

dx

sin x

cos x

dx

Деякi з них, якi важливi для застосувань, як, наприклад, Функцiя Лапласа

©(x) = p¼ Z

ex2 , ©(0) = 0 протабульованi.

2

dx

Z p

dx, E(0) = 0, k < 1 елiптичний iнтеграл.

E(x) =

1 ¡ k2 sin2 x

107

ÐÎÇÄIË 16

ВИЗНАЧЕНИЙ IНТЕГРАЛ

1.Означення визначеного iнтеграла

2.Геометричний змiст визначеного iнтеграла

3.Основнi властивостi визначеного iнтеграла

4.Властивостi iнтеграла як функцi¨ верхньо¨ межi

5.Формула Ньютона-Лейбнiца

6.Замiна змiнно¨ та iнтегрування частинами у визначених iнтегралах

16.1. Означення визначеного iнтеграла

6

mi+1

mi

-

x0

xi¡1 xi xi+1

xn

Нехай f : [a; b] ! R обмежена функцiя. Розiб'¹мо [a; b] точками на n частин:

a = x0 < x1 < ¢ ¢ ¢ < xi¡1 < xi < xn = b:

Сукупнiсть точок fx0; x1; : : : ; xng назива¹ться розбиттям T

сегмента [a; b]. Äiàìå-

тром розбиття T назива¹ться число

diam T = maxfx1 ¡ x0; x2 ¡ x1; : : : ; xn ¡ xn¡1:

Позначимо

mi = minff(x) j x 2 [xi¡1; xi]g;

Mi = maxff(x) j x 2 [xi¡1; xi]g;

108

i = 1; 2; : : : ; n. Виберемо з кожного сегмента довiльну точку »i 2 [xi¡1; xi] i утворимо

ñóìó		n
	Xi
		f(»i)(xi ¡ xi¡1) def= ¾(T; »i);
		=1
яка назива¹ться iнтегральною сумою. Очевидно, що
	n	n
	Xi	X
	mi(xi	¡ xi¡1) · ¾(T; »i) · Mi(xi ¡ xi¡1):
	=1	i=1

Означення 16.1. Якщо iсну¹ границя iнтегральних сум за умови, що diam T ! 0

по всеможливих розбиттях i при всеможливих виборах точок »i, то ця границя нази-

Число a назива¹ться нижньою межею iнтеграла, число b верхньою	R	[a; b]
ва¹ться визначеним iнтегралом функцi¨ f íà ïðîìiæêó [a; b] i познача¹ться	b	f(x) dx.

a

межею,

промiжком iнтегрування. Функцiя f назива¹ться iнтегрованою за Рiманом на промiжку [a; b].

Через R[a; b] будемо позначати клас функцiй, iнтегровних за Рiманом на [a; b].

16.2. Геометричний змiст визначеного iнтеграла

6y = f(x)

G

-

a

b

Нехай функцiя f : [a; b] ! R неперервна i невiд'¹мна. Розглянемо криволiнiйну трапецiю G, утворену графiком цi¹¨ функцi¨ та прямими x = a, x = b òà y = 0. ˆ¨ площа S означа¹ться як граничне значення площ всiх вписаних (чи описаних) в не¨ многокутникiв. Тому

n	n
Xi	X
	mi(xi ¡ xi¡1) · S · Mi(xi ¡ xi¡1):
=1	i=1

Оскiльки границя в означеннi визначеного iнтеграла береться по всеможливих виборах точок »i (зокрема, може бути, що f(»i) = mi ÷è f(»i) = Mi), òî визначений

iнтеграл	b f(x) dx чисельно рiвний площi криволiнiйно¨ трапецi¨ G.
	a
	R

109

16.3. Основнi властивостi визначеного iнтеграла

1.	Нехай функцiя f iнтегрована за Рiманом, а c 2 R довiльна константа. Тодi
	Zb	Zb
		cf(x) dx = c f(x) dx:
	a	a
2.	Нехай f òà g iнтегрованi за Рiманом функцi¨. Тодi
	Zab (f(x) + g(x)) dx = Zab f(x) dx + Zab g(x) dx:
3.	Нехай a < b < c. Òîäi
	Zab f(x) dx = Zac f(x) dx + Zcb f(x) dx:
4.	Нехай f(x) · g(x) äëÿ âñiõ x 2 [a; b]. Òîäi
	Zb f(x) dx · Zb g(x) dx:
	a	a
5.	Якщо функцiя f неперервна на [a; b], òî iñíó¹ òàêå µ 2 [a; b], ùî
	Zb f(x) dx = f(µ)(b ¡ a):
	a

Теорема 16.1. Якщо функцiя f обмежена на [a; b] i неперервна всюди, крiм

скiнченно¨ множини точок, то вона iнтегрована за Рiманом на [a; b].

16.4. Властивостi iнтеграла як функцi¨ верхньо¨ межi

Нехай функцiя f неперервна на [a; b]. Покладемо

Za Za Zb

f(x) dx def= 0; f(x) dx def= ¡ f(x) dx:

a b a

Нехай '(x) def= Rx f(t) dt. Таким чином ми задали на [a; b] функцiю ', òàêó ùî

a

'(a) = 0. Вона ма¹ такi властивостi.

110

1. Функцiя ' неперервна на [a; b]. Справдi,

'(x00)

'(x0)

= ¯ x00f(t) dt

x0 f(t) dt¯

=

¯ x00f(t) dt¯

M

x00

x0

;

j

¡

j

¯Z

¡ Z

¯

¯Z

¯

·

¢ j

¡

j

¯a

a

¯

¯x

¯

¯

¯

¯ 0

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

äå

¯.

¯

¯

¯

M = maxff(t) j t 2 [a; b]g

2. Функцiя ' ма¹ неперервну похiдну на [a; b] '0(x) = f(x):

¢x!0

¢x ¡

¢x!0 ¢x

Zx

f(x) dx = ¢x!0 ¢x

'(x + ¢x)

'(x)

x+¢x

f(µ)¢x

'0(x) =

lim

=

lim

lim

= f(x)

(òóò µ деяка точка сегментa [x; x + ¢x].)

Теорема 16.2. Iнтегрована за Рiманом функцiя f ма¹ первiсну. Нею, зокрема,

¹ функцiя '.

16.5. Формула Ньютона-Лейбнiца

Теорема 16.3. Нехай функцiя f iнтегрована за Рiманом i G ¨¨ ïåðâiñíà. Òîäi

b	¯
a
Z	¯	b	:	(16.5.1)
	f(x) dx = G(b) ¡ G(a) def= G(x) a
	¯

Ця формула назива¹ться основною формулою iнтегрального числення, або формулою Ньютона-Лейбнiца.

Доведення. Ми зна¹мо, що '(x) = Rx f(t) dt ïåðâiñíà.

a

Zb

= '(b) = '(b) ¡ '(a):

a

Òîäi G(x) = '(x) + C (двi первiснi вiдрiзняються на константу).

G(b) ¡ G(a) = '(b) ¡ C ¡ ('(a) ¡ C) = '(b) ¡ '(a):

¤